高考数学专题复习：课时达标检测（七） 函数的奇偶性及周期性 5页

课时达标检测（七） 函数的奇偶性及周期性 [练基础小题——强化运算能力] 1．(2016·肇庆三模)在函数 y＝xcos x，y＝e x＋x2，y＝lg x2－2，y＝xsin x 中，偶函数 的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 B　y＝xcos x 是奇函数，y＝lg x2－2和 y＝xsin x 是偶函数，y＝ex＋x2 是非 奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2，故选 B. 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝ x B．f(x)＝ex C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x 解析：选 D　对于 A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于 B，f(－x)≠－f(x)， 故不符合要求；对于 C，满足 f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于 D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－ (ex－e－x)＝－f(x)，∴f(x)＝ex－e－x 为奇函数，故选 D. 3．(2017·江南十校联考)设 f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)在 R 上单调递增 C．f(x)的值域为 R D．f(x)是周期函数 解析：选 D　因为 f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数， 故 A 正确；因为 f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数 f(x)在 R 上单调递增，故 B 正确；f(x)的值 域为 R，故 C 正确；f(x)不是周期函数，D 错误，故选 D. 4．奇函数 f(x)的周期为 4，且 x∈[0,2]，f(x)＝2x－x 2，则 f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020) 的值为________． 解析：函数 f(x)是奇函数，则 f(0)＝0，由 f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知 f(1)＝1，f(2)＝0， 又 f(x)的周期为 4，所以 f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1) ＝－1. 答案：－1 5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝ x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝ x＋1，∴当 x<0 时，即－x>0，f(x)＝－f(－ x)＝－( －x＋1)，即 x<0 时，f(x)＝－( －x＋1)＝－ －x－1. 答案：－ －x－1 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　) A．y＝1 x B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝( 1 2 )ln |x| 解析：选 B　A 项，“是偶函数”与“在(0，＋∞)上单调递增”均不满足，故 A 错误； B 项，均满足，B 正确；C 项，不满足“是偶函数”，故 C 错误；D 项，不满足“在(0，＋∞) 上单调递增”．故选 B. 2．(2017·泰安模拟)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(1)＝2，则 f(4)＋ f(5)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：选 A　设 g(x)＝f(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，则 g(－x)＝g(x)，即 f(－x＋1)＝f(x ＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，即 f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋ 2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，则 f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选 A. 3．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，则 f( 23π 6 )＝ (　　) A.1 2 B. 3 2 C．0 D．－1 2 解析：选 A　∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期 T ＝2π，又∵当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，∴f ( 5π 6 )＝0，∴f(－π 6＋π)＝f(－π 6 )＋sin(－π 6 )＝ 0，∴f(－π 6 )＝1 2，∴f( 23π 6 )＝f(4π－π 6)＝f(－π 6 )＝1 2.故选 A. 4．(2016·天津高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递 增．若实数 a 满足 f(2|a－1|)＞f(－ 2)，则 a 的取值范围是(　　) A.(－∞，1 2) B.(－∞，1 2)∪( 3 2，＋∞) C.( 1 2，3 2 ) D.( 3 2，＋∞)解析：选 C　因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由 f(2|a－1|)＞f(－ 2)，f(－ 2)＝f( 2)，可得 2|a －1|＜ 2，即|a－1|＜1 2，所以1 2＜a＜3 2. 5．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)＝x 3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x＞1 2时，f(x＋1 2 )＝f(x－1 2 )，则 f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选 D　由题意知当 x＞1 2时，f(x＋1 2 )＝f(x－1 2 )，则 f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当 x＜0 时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴ f(6)＝2.故选 D. 6．已知函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对 称，且 f(2)＝4，则 f(2 014)＝(　　) A．0 B．－4 C．－8 D．－16 解析：选 B　由题可知，函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f[(x ＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数 f(x)的周期 T＝12.把 y＝f(x－1)的图象向左平移 1 个单位 得 y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数 f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝ f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选 B. 二、填空题 7．(2017·揭阳模拟)已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)， 则 f( 2 016 5 )＋lg 18＝________. 解析：由函数 f(x)是周期为 2 的奇函数得 f( 2 016 5 )＝f( 6 5 )＝f(－4 5 )＝－f( 4 5 )， 又当 x∈[0,1)时，f(x)＝lg(x＋1)， 所以 f( 2 016 5 )＝－f( 4 5 )＝－lg9 5＝lg5 9， 故 f( 2 016 5 )＋lg 18＝lg5 9＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：1 8．函数 f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数 h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)＝________. 解析：由题意可知 h(x)＋g(x)＝ex＋x　①， 用－x 代替 x 得 h(－x)＋g(－x)＝e－x－x， 因为 h(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 所以－h(x)＋g(x)＝e－x－x　②. 由(①＋②)÷2 得 g(x)＝ex＋e－x 2 ， 所以 g(0)＝e0＋e0 2 ＝1. 答案：1 9．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x，若 f(2－a2)＞f(a)，则 实数 a 的取值范围是________．解析： ∵f(x)是奇函数，∴当 x＜0 时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数 f(x)的大致图象如图中实线所 示，结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数，由 f(2－a2)＞f(a)，得 2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 答案：(－2,1) 10．设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)； ③当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x－1.则 f( 1 2 )＋f(1)＋f( 3 2 )＋f(2)＋f( 5 2 )＝________. 解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，则 f( 1 2 )＋f(1)＋f( 3 2 )＋f(2)＋f ( 5 2 )＝f( 1 2 )＋f(1)＋f(－1 2 )＋f(0)＋f( 1 2 )＝f( 1 2 )＋f(1)＋f(0)＝2 1 2－1＋21－1＋ 20－1＝ 2. 答案： 2 三、解答题 11．已知函数 f(x)＝Error!是奇函数． (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x<0，则－x>0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1＜a≤3， 故实数 a 的取值范围是(1,3]． 12．函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋ f(x2)． (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)＝1，f(x－1)<2, 且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围． 解：(1)∵对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数． 证明：令 x1＝x2＝－1，有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝1 2f(1)＝0. 令 x1＝－1，x2＝x， 有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (3)依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)