广东省佛山市三水区实验中学2018-2019学年高一下学期第三学段考试数学试题 16页

www.ks5u.com ‎2018~2019学年度三水实验中学高一第三学段考试 数学试题 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知中，，，，那么角等于 A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为<，，‎ 正弦定理可知，A=45°‎ 故选C.‎ ‎2.已知数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式知数列为等差数列，且公差已知，首项已知，易求得．‎ ‎【详解】∵，∴，∴数列是公差为的等差数列，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列的某一项，可用基本量法求解．属于基础题．‎ ‎3.下图是2019年我校高一级合唱比赛中，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉最高分和最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）‎ A. 84，4.84 B. 84，1.6 C. 85，4.84 D. 85，1.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图写出除最高分和最低分5个分数，然后计算平均数和方差．‎ ‎【详解】由茎叶图知除最高分和最低分的分数有：84，84，86，84，87，‎ 平均数为，‎ 方差为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数和方差，属于基础题．‎ ‎4.若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的．‎ ‎【详解】若，则、均错，若，则错，‎ ‎∵，∴，C正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错．‎ ‎5.已知平面向量，，且//，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标运算求得参数的值，计算出两向量的和后再由模的坐标表示求得模 ‎【详解】∵//，∴，，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算，考查向量模的坐标运算，解题基础是掌握向量运算的坐标表示．‎ ‎6.下表是高一级甲，乙，丙三位同学在先后五次数学考试中的成绩折线图，那么下列说法正确的是（ ）‎ A. 甲平均分比丙要高；‎ B. 按趋势，第6次的考试成绩最高分必定是丙；‎ C. 每个人五次成绩的标准差最大的是乙；‎ D. 从第1次考试到第5次考试，进步幅度最大的是丙.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由折线图，观察各数据，均值、方差均要计算才能确定，前5次的成绩并不能代表第6次的成绩如何，但是第5次成绩与第1次成绩的差可以判断．由此可得结论．‎ ‎【详解】由于没有具体数据，因此平均分，方差无法比较，A、C不能确定，前5次成绩的变化趋势并不能代表第6次的趋势，B也不能确定，但从图中可知第5次成绩与第一次成绩的差中丙的差最大，即丙进步幅度最大，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查折线图，考查样本数据特征，属于基础题．‎ ‎7.已知向量， ，若，则实数k=（ ）‎ A. 3 B. 2 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两向量的数量积为0可得．‎ ‎【详解】∵，∴，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的条件，即，．‎ ‎8.将一根长为铁管折成一个的角，然后将、两端用木条封上，从而构成三角形在不同的折法中，面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用用基本不等式可求得最大值．‎ ‎【详解】设，，则，‎ ‎，当且仅当，即时取等号．∴最大值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值．基本不等式求最值时，要注意取等号的条件，否则易出错．‎ ‎9.在中，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断角的范围，再用两角和的余弦公式及诱导公式计算．‎ ‎【详解】∵，∴为钝角，从而为锐角，‎ ‎∴，，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的同角关系，考查诱导公式及两角和的余弦公式．三角函数问题中公式较多，要善于分析，选用适当的公式．最主要是分析“已知角”和“未知角”之间的联系，从而确定选用的公式．‎ ‎10.已知是等差数列，是它的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质计算．‎ ‎【详解】∵是等差数列，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，即在等差数列中，若（是正整数），则，特别地，则，由此可得前的性质：．‎ ‎11.已知，， ，则向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知数量积求出，再根据数量积的定义求得其夹角的余弦，从而得角的大小．‎ ‎【详解】由已知，‎ ‎∴，即，，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义和运算法则．‎ ‎12.设，则函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 把函数式凑配出基本不等式要求的形式，然后用基本不等式求得最小值．‎ ‎【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值是9．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时要注意基本不等式的条件：一正二定三相等．这里定值可能要通过凑配法得到，“相等”的条件一定要注意，否则这个最值取不到．‎ 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.不等式的解集是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把二次项系数化为正数，然后因式分解得出相应二次方程的两根，写出不等式的解集．‎ ‎【详解】由得，即，∴．‎ 即不等式的解集为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于基础题．解不含参数的一元二次不等式，一般先化二次项系数为正，然后结合二次方程的根和二次函数的图象直接写出不等式的解集．‎ ‎14.在△中，，则角等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求得，即可得．‎ ‎【详解】∵，∴，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，掌握余弦定理的多种形式是解题基础．‎ ‎15.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则__________．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为是方程的两个根，且等比数列是递增数列，所以，即，则；故填63．‎ 考点：1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．‎ ‎16.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若 ‎，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为轴建立直角坐标系，把向量运算用坐标表示．‎ ‎【详解】‎ 建立如图所求的直角坐标系，则，，设，则，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积运算．平面向量的运算，一般可选取两个向量为基底，其他向量都用基底表示，然后运算即可．建立直角坐标系，可使基底的表示更加方便，运算也更加简单．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求，的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理，将中的边全部变成角即可求出角的大小；‎ ‎（2）根据正弦定理，将变成边的关系代入余弦定理，求出值，进而可求出的值.‎ ‎【详解】解：（1）∵，由正弦定理可得，‎ 因为，得，‎ 又 ‎∴.‎ ‎（2）∵，由正弦定理得，‎ 由余弦定理，得，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理进行角化边，边化角，以及余弦定理，是基础题.‎ ‎18.现有年龄在25到55岁的一群人身体上的某项数据，其频率分布直方图如下.（注：每组包括左端点，不包括右端点）‎ ‎（1）请补全频率分布直方图；‎ ‎（2）估计年龄的平均数；（精确到小数点后一位数字）‎ ‎（3）若50到55岁的人数是50，现在想要从25到35岁的人群中用分层抽样的方法抽取30人，那么25到30岁这一组人中应该抽取多少人？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）36.8；（3）9人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由所有组的频率之和为1可得第二组频率，根据组宽算出组高即可画出；‎ ‎（2）取各个矩形中间的值为这组的均值计算；‎ ‎（3）由50到55岁的人数是50，计算出总人数有1000人，再算出25到35岁之间有多少人，根据比例计算即可．‎ ‎【详解】解：（1）第二组的频率为：‎ 所以直方图的高为，补全的频率分布直方图如图 ‎（2）第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，第六组的频率为，而各组的中点值分别为、、、、、，故可估计年龄的平均数为：‎ ‎ ‎ ‎（3）50到55岁这一组的频率为，人数是50，故得总人数是 从而得25到30岁这一组的人数是， ‎ ‎30到35岁这一组的人数是 ‎ 那么25到30岁这一组人中应该抽取（人）‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，掌握相应的概念是解题基础．‎ ‎19.‎ 已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，‎ ‎，.‎ ‎（1）若，求证：为等腰三角形；‎ ‎（2）若，边长，角，求的面积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.‎ ‎⑵因为，所以.‎ 由余弦定理可知，，即 解方程得：（舍去）‎ 所以.‎ ‎20.已知等差数列的公差为，是它的前项和，，，成等比数列，‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求。‎ ‎【答案】（1）； （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)结合题意求得数列的首项为，则其通项公式为，利用等比数列前n项和公式可得：；‎ ‎(2)结合(1)中求得的数列的前n项和可得,裂项求和可得：.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，，‎ 而，，成等比数列，所以，‎ 即，解得 所以，‎ ‎（2）由（1）知 所以 ‎ ‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎21.已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求的通项公式 ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算出，然后由求出，再看是否与相符，相符就是一个表达式，不相符就用分段函数形式表示；‎ ‎（2）用错位相减法求数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）由得：，因为，解得 ‎ 由知，‎ 两式相减得 因为，所以，即 因此是首项为，公比为的等比数列 所以 ‎ ‎（2）由（1）知，所以数列前项和为：‎ ‎ …① ‎ 则 …② ‎ ‎②-①得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查已知前项和和关系求数列的通项公式，考查用错位相减法求数列的和．在已知和的关系求数列的通项公式时，要注意与后面的（‎ ‎）的求法是不相同的，即中，而．‎ ‎22.解不等式 ‎【答案】①当时，原不等式解集为 ‎②当时，原不等式解集为 ‎③当时，原不等式解集为 ‎④当时，原不等式解集为 ‎⑤当时，原不等式解集为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需要分类讨论，先讨论，和，时，相应二次方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应二次方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类．‎ ‎【详解】当时，不等式等价于，解得，解集为 当时，原不等式 ‎ ‎1）当时，原不等式 ‎①当，即时，易得原不等式解集为 ‎②当，即时，易得原不等式解集为 ‎③当，即时，易得原不等式解集为 ‎ ‎2）当时，原不等式，此时 易得原不等式解集为 ‎ 综上所述得：①当时，原不等式解集为 ‎②当时，原不等式解集为 ‎③当时，原不等式解集为 ‎④当时，原不等式解集为 ‎⑤当时，原不等式解集为 ‎【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论．分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小．‎ ‎ ‎