2019年高考数学练习题汇总(六)曲线与方程、抛物线 4页

‎(六)曲线与方程、抛物线 ‎1.如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作抛物线的两条弦AB，CD，设直线AC与BD的交点为P，直线AC，BD分别与y轴交于M，N两点．‎ ‎(1)求证：点P恒在抛物线的准线上；‎ ‎(2)求证：四边形PMFN是平行四边形．‎ 证明　(1)由题意知F(1,0)，不妨设A(a2,2a)，D(b2,2b)，a>0，b<0，B(xB，yB)．‎ 直线AB的方程为2ax＋(1－a2)y－2a＝0，‎ 由 得ay2＋2(1－a2)y－4a＝0，‎ 由2ayB＝－4，得yB＝－，‎ 代入抛物线方程y2＝4x，‎ 得xB＝，即B，‎ 同理得C，‎ 则直线AC的方程为y＝x－，‎ 直线BD的方程为y＝x－，‎ 则M，N.‎ 联立直线AC，BD的方程 可得点P的横坐标为定值－1，‎ 即点P恒在抛物线的准线上．‎ ‎(2)因为kFN＝＝＝kAC，‎ kFM＝＝＝kBD，‎ 所以四边形PMFN是平行四边形．‎ ‎2.如图，已知抛物线C：x2＝2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ 解　(1)将点(2,1)代入抛物线C的方程，得p＝2，‎ 所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx－1，‎ 又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)，‎ 由得x2－4kx＋4＝0，‎ 则Δ＝16k2－16>0，x1,2＝，‎ x1x2＝4，x1＋x2＝4k，‎ 所以kA′B＝＝＝，‎ 于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)，‎ 所以y＝(x－x2)＋＝x＋1，‎ 当x＝0时，y＝1，‎ 所以直线A′B过定点(0,1)．‎ ‎3.如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使＝，且·＝0.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C1；‎ ‎(2)圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，‎ C两点(从左到右)，求证：·为定值．‎ ‎(1)解　方法一　设M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)，‎ 则由·＝0，＝及R(0，－3)，得 化简得x2＝4y.‎ 所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．‎ 方法二　设M(x，y)．‎ 由＝，得P，Q.‎ 所以＝，＝.‎ 由·＝0，得·＝0，‎ 即x2－3y＝0，化简得x2＝4y.‎ 所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．‎ ‎(2)证明　由题意，得·＝AB·CD，⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.‎ 设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则AB＝FA－FB＝y1＋1－1＝y1.‎ 同理CD＝y2.‎ 直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 联立得x2－4kx－4＝0，‎ 所以x1,2＝，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，‎ 所以·＝AB·CD＝y1y2‎ ‎＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝－4k2＋4k2＋1＝1，‎ 所以·为定值1.‎ ‎4.如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．‎ ‎(1)若·＝1，求直线l的斜率；‎ ‎(2)求∠ATF的最大值．‎ 解　(1)因为抛物线y2＝4x的焦点为 F(1,0)，T(－1,0)，‎ 当l⊥x轴时，A(1,2)，B(1，－2)，‎ 此时·＝0，与·＝1矛盾，‎ 所以可设直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ x1,2＝，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝1，①‎ 故yy＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.②‎ 因为·＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1，‎ 将①②代入并整理，得k2＝4，所以k＝±2.‎ ‎(2)因为y1>0，‎ 所以tan∠ATF＝＝＝≤1，‎ 当且仅当＝，即y1＝2时取等号，‎ 因为点A在第一象限，‎ 所以∠ATF的最大值为.‎