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  • 2021-06-30 发布

2019年高考数学练习题汇总(六)曲线与方程、抛物线

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‎(六)曲线与方程、抛物线 ‎1.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的两条弦AB,CD,设直线AC与BD的交点为P,直线AC,BD分别与y轴交于M,N两点.‎ ‎(1)求证:点P恒在抛物线的准线上;‎ ‎(2)求证:四边形PMFN是平行四边形.‎ 证明 (1)由题意知F(1,0),不妨设A(a2,2a),D(b2,2b),a>0,b<0,B(xB,yB).‎ 直线AB的方程为2ax+(1-a2)y-2a=0,‎ 由 得ay2+2(1-a2)y-4a=0,‎ 由2ayB=-4,得yB=-,‎ 代入抛物线方程y2=4x,‎ 得xB=,即B,‎ 同理得C,‎ 则直线AC的方程为y=x-,‎ 直线BD的方程为y=x-,‎ 则M,N.‎ 联立直线AC,BD的方程 可得点P的横坐标为定值-1,‎ 即点P恒在抛物线的准线上.‎ ‎(2)因为kFN===kAC,‎ kFM===kBD,‎ 所以四边形PMFN是平行四边形.‎ ‎2.如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(2,1),直线l过点P(0,-1)与抛物线C交于A,B两点,点A关于y轴的对称点为A′,连结A′B.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程;‎ ‎(2)问直线A′B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.‎ 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C的方程,得p=2,‎ 所以抛物线C的标准方程为x2=4y.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx-1,‎ 又设A(x1,y1),B(x2,y2),则A′(-x1,y1),‎ 由得x2-4kx+4=0,‎ 则Δ=16k2-16>0,x1,2=,‎ x1x2=4,x1+x2=4k,‎ 所以kA′B===,‎ 于是直线A′B的方程为y-=(x-x2),‎ 所以y=(x-x2)+=x+1,‎ 当x=0时,y=1,‎ 所以直线A′B过定点(0,1).‎ ‎3.如图,已知定点R(0,-3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使=,且·=0.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C1;‎ ‎(2)圆C2:x2+(y-1)2=1,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点(从左到右),交C2于B,‎ C两点(从左到右),求证:·为定值.‎ ‎(1)解 方法一 设M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),‎ 则由·=0,=及R(0,-3),得 化简得x2=4y.‎ 所以动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线.‎ 方法二 设M(x,y).‎ 由=,得P,Q.‎ 所以=,=.‎ 由·=0,得·=0,‎ 即x2-3y=0,化简得x2=4y.‎ 所以动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线.‎ ‎(2)证明 由题意,得·=AB·CD,⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.‎ 设A(x1,y1),D(x2,y2),则AB=FA-FB=y1+1-1=y1.‎ 同理CD=y2.‎ 直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+1,‎ 联立得x2-4kx-4=0,‎ 所以x1,2=,‎ 所以x1+x2=4k,x1·x2=-4,‎ 所以·=AB·CD=y1y2‎ ‎=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1‎ ‎=-4k2+4k2+1=1,‎ 所以·为定值1.‎ ‎4.如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.‎ ‎(1)若·=1,求直线l的斜率;‎ ‎(2)求∠ATF的最大值.‎ 解 (1)因为抛物线y2=4x的焦点为 F(1,0),T(-1,0),‎ 当l⊥x轴时,A(1,2),B(1,-2),‎ 此时·=0,与·=1矛盾,‎ 所以可设直线l的方程为y=k(x-1),‎ 代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,‎ x1,2=,‎ 则x1+x2=,x1x2=1,①‎ 故yy=16x1x2=16,y1y2=-4.②‎ 因为·=1,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,‎ 将①②代入并整理,得k2=4,所以k=±2.‎ ‎(2)因为y1>0,‎ 所以tan∠ATF===≤1,‎ 当且仅当=,即y1=2时取等号,‎ 因为点A在第一象限,‎ 所以∠ATF的最大值为.‎