2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 第75练 高考大题突破练——圆锥曲线中的范围、最值问题 Word版含解析 5页

‎1．(2020·武邑中学期末)抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)O为坐标原点，求证：·＝－3；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎2．(2019·合肥质检)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)相切．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．‎ ‎3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等比数列．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．‎ ‎4．(2019·南阳模拟)如图，设抛物线C1：y2＝－4mx(m>0)的准线l与x轴交于椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点F2，F1为左焦点，椭圆的离心率为e＝，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长PF1交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．‎ ‎(1)当＋取最小值时，求C1和C2的方程；‎ ‎(2)若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，求△MPQ面积的最大值．‎ 答案精析 ‎1．(1)证明　依题意得，F(1,0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 联立消去x得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，‎ 故·＝x1x2＋y1y2＝－3.‎ ‎(2)解　由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB，‎ 由(1)知2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|‎ ‎＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎2．解　(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)相切．‎ 联立消去x得y2－2py＋2p＝0，‎ 从而Δ＝4p2－8p＝0，‎ 解得p＝2或p＝0(舍)．‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由于直线m的斜率不为0，‎ 可设直线m的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ>0，‎ ‎∴y1＋y2＝4t，即x1＋x2＝4t2＋2，‎ ‎∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．‎ 设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，‎ 则dA＋dB＝2d＝2· ‎＝2|t2－t＋1|‎ ‎＝2，‎ ‎∴当t＝时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.‎ ‎3．解　(1)由已知可得解得 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．‎ 与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.‎ 可得线段AB的中点为N.‎ 当k＝0时，线段AB的垂直平分线为y轴，此时m＝0，当k≠0时，直线MN的方程为y＋＝－，‎ 化简得ky＋x－＝0.令y＝0，‎ 得m＝.‎ 所以m＝＝∈.‎ 综上所述，m的取值范围为.‎ ‎4．解　(1)因为c＝m，e＝＝，‎ 则a＝2m，b＝m，‎ 又＋＝m＋≥2＝2(当且仅当m＝1时取等号)，‎ 所以＋取最小值时m＝1，‎ 此时抛物线C1：y2＝－4x，a＝2，b＝，‎ 所以椭圆C2：＋＝1.‎ ‎(2)因为c＝m，e＝＝，则a＝2m，‎ b＝m，设椭圆的标准方程为＋＝1，P(x0，y0)，Q(x1，y1)，‎ 由 得3x2－16mx－12m2＝0，‎ 所以x0＝m或x0＝6m(舍去)，‎ 代入抛物线方程得y0＝m，‎ 即P，‎ 于是|PF1|＝，|PF2|＝2a－|PF1|＝，|F1F2|＝2m＝，‎ 又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，‎ 所以m＝3，此时抛物线方程为 y2＝－12x，F1(－3,0)，P(－2,2)，‎ 则直线PQ的方程为y＝2(x＋3)，‎ 联立 得2x2＋13x＋18＝0，‎ x1＝－或x2＝－2(舍去)，‎ 于是Q.‎ 所以|PQ|＝ ‎＝，‎ 设M到直线PQ的距离为d，‎ 则d＝ ‎＝×，‎ 当t＝时，dmax＝×＝，‎ 所以△MPQ面积的最大值为××＝.‎