2021高考数学新高考版一轮习题：专题6 第50练 高考大题突破练——数 列 Word版含解析 4页

‎1．(2020·深圳调研)设数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a1＝1.若a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*), 求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎2．在等比数列{an}中，a3＝9，a4＋9a2＝54.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝(2n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎3．(2019·安徽六安一中期末)已知等差数列{an}满足a6＝6＋a3，且a3－1是a2－1，a4的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前项和为Tn，求使Tn<成立的最大正整数n的值．‎ ‎4．(2019·天津市新华中学模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，其前n项和为Sn，且Sn为等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn.设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn＋＝成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，请说明理由．‎ 答案精析 ‎1．解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意，得 即 ‎∵d≠0，解得 ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ Sn＝＝n2.‎ ‎(2)∵bn＝＝，‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋·＝.‎ ‎2．解　(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为a3＝9，a4＋9a2＝54，所以解得 故{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝(2n＋1)·3n－1，‎ 则Sn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)·3n－1，①‎ ‎3Sn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，②‎ ‎①－②得－2Sn＝3＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2·3n－1－(2n＋1)·3n ‎＝－2n·3n，故Sn＝n·3n.‎ ‎3．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，a6－a3＝3d＝6，即d＝2，‎ ‎∴a3－1＝a1＋3，a2－1＝a1＋1，a4＝a1＋6，‎ ‎∵a3－1是a2－1，a4的等比中项，‎ ‎∴(a3－1)2＝(a2－1)·a4，即(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3.‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)得bn＝＝ ‎＝，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝＝.‎ 由<，得n<9，∴使得Tn<成立的最大正整数n的值为8.‎ ‎4．解　(1)由题意可得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝4，结合题意可知Sn＝4n－1，‎ 当n≥2时，Sn－1＝4n－2，‎ 则an＝Sn－Sn－1＝4n－1－4n－2＝3×4n－2，‎ 故an＝ ‎(2)当n≥2时，bn＝＝ ‎＝＝－.而b1＝＝，‎ 由此，当n＝1时，T1＝b1＝，‎ 从而等式Tn＋＝，‎ 即为＋＝，‎ 解得λ＝，它不是整数，不符合题意．‎ 当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝＋＋…＋‎ ＝－.‎ 则等式Tn＋＝，‎ 即为－＋＝，‎ 解得λ＝5－.‎ 由λ是整数，得4n－1＋1是5的因数．而当且仅当n＝2时，是整数，由此λ＝4.‎ 综上所述，当且仅当λ＝4时，存在正整数n＝2，使等式Tn＋＝成立．‎