山东省实验中学2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版附解析） 17页

‎2019-2020学年第二学期高二期中考试 数学试题 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式化简集合，根据交集概念进行运算可得结果.‎ ‎【详解】因为或，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题.‎ ‎2.复数的共轭复数在复平面内的对应点为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘除法运算法则化简复数得，再根据共轭复数的概念得其共轭复数为，再根据复数的几何意义可得结果.‎ ‎【详解】，其共轭复数为，‎ 在复平面内的对应点为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3.命题“对任意，都有”的否定是（ ）‎ A. 对任意，都有 B. 不存在，使得 C. 存在，使得 D. 存在，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先否定量词，再否定结论即可得到答案.‎ ‎【详解】命题“对任意，都有”的否定是：存在，使得，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了特称量词命题的否定，解题方法是：先否定量词，再否定结论.属于基础题.‎ ‎4.设随机变量，若，则等于（ ）‎ A. 0.5 ‎B. ‎0.6 ‎C. 0.7 D. 0.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态曲线的对称性可得，再根据概率的性质可得结果.‎ ‎【详解】因为正态曲线关于对称，且，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，考查了概率的性质，属于基础题.‎ ‎5.函数在上的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，证明当时，，即，从而当时，，排除B，C，D，即可得解.‎ ‎【详解】记，，‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ 又，‎ 当时，，即，‎ 又，‎ 当时，，‎ 故排除B，C，D.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.‎ ‎6.设，则的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找中间两0和1比较可得答案.‎ ‎【详解】因为，，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了诱导公式，余弦函数的值域，属于基础题.‎ ‎7.已知角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数和正切函数的定义计算可得，，再相除即可得到答案.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点，‎ 所以，，‎ 所以 .‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了正弦函数和正切函数的定义，属于基础题.‎ ‎8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．‎ ‎【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，‎ 每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，‎ 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.函数，则下列结论正确的有（ ）‎ A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数和偶函数的定义分别对四个选项进行奇偶性的判断可得答案.‎ ‎【详解】因为的定义域为，又，所以选项正确，不正确；‎ 因为，所以是偶函数，所以选项正确；‎ 因为，所以是偶函数，故选项不正确.‎ 故选：AC ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性的定义，考查了正弦函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎10.设离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）‎ A. B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据 和分别可得和，由此可得答案.‎ ‎【详解】由概率的性质可得，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎,‎ 故选：CD ‎【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，若的零点为，极值点为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. 的极小值为 D. 有最大值 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ 分析】‎ 分两段利用导数研究函数的极值，讨论函数的零点和最值可得答案.‎ ‎【详解】当时，，此时函数无零点，‎ 当时，，函数的零点为2，所以，‎ 当时，，由得，由，得，所以函数在处取得极小值，极小值点为，极小值为，‎ 当时，为递增函数，此时无极值，也无最大值，‎ 所以，所以，‎ 故选：BC ‎【点睛】本题考查了分段函数的零点，极值点、极值和最值，属于基础题.‎ ‎12.下列说法中，正确的命题是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若则 D. 函数的最小值为 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的图象翻折得到的图象，可得不正确；由，消去可得，由此可得，，故正确；根据直线经过点可得，故正确；由可求出，可知正确.‎ ‎【详解】函数的最小正周期为,故不正确；‎ 因为，，所以，所以，又，所以，，故正确；‎ 因为，所以，解得，故正确；‎ 因为，所以，所以，所以，所以函数的最小值为，故正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了求非线性回归方程，考查了线性回归直线经过样本中心点，考查了求三角函数的最值，属于基础题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.曲线在处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式可得切线方程.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以切线的斜率为，又时，，‎ 由点斜式可得切线方程为，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.‎ ‎14.从进入决赛的9名选手中决出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【详解】第一步，决出三等奖，有种；‎ 第二步，决出二等奖，有种；‎ 第三步，决出一等奖，有种，‎ 根据分步计数原理可得，共有种.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了分步计数原理，考查了组合数公式，属于基础题.‎ ‎15.某商场销售某种商品，该商品的成本为3元/千克，每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式，其中，当销售价格为_______元时，商场每日销售该商品所获得的最大利润为__________元.‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). 21‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意列出利润关于销售价的函数关系式，再利用导数可求得最大值.‎ ‎【详解】设商场每日销售该商品所获得的利润为元，‎ 则，‎ 则，‎ 令，得，令，得，‎ 所以函数在上递增，在上递减，‎ 所以时，取得最大值，最大值为21元.‎ 故答案为：（1）4 （2）21‎ ‎【点睛】本题考查了函数的应用，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.‎ ‎16.已知，记函数的最小值是________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据其单调性可得等价于，等价于，由此得到分段函数的解析式，求出其值域，可得最小值.‎ ‎【详解】令，则为上的增函数，‎ 又时，，‎ 所以时，，即，此时，该函数为递减函数，所以；‎ 时，，即，此时，‎ 所以的最小值为1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了求分段函数得解析式，考查了利用单调性求分段函数的值域和最值，属于基础题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知复数 ‎（1）若复数为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据纯虚数的概念列式可解得结果；‎ ‎（2）根据横坐标小于0，纵坐标大于0，列式解得即可.‎ ‎【详解】（1）由题意，解得.‎ ‎（2）复数在复平面内对应的点在第二象限，‎ ‎，解得： ，‎ 实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了纯虚数的概念，考查了一元二次不等式的解法，考查了复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎18.已知二项式展开式中的第4项是常数项.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求展开式中有理项的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）5项 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出通项公式，根据第四项中的指数为0，解得可得；‎ ‎（2）写出通项公式，根据的指数为整数可得结果.‎ ‎【详解】（1）二项式展开式中的通项公式为，‎ 第4项是为是常数项，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）要使展开式中的项为有理项，需为整数，故有，‎ 故展开式中有理项共有5项.‎ ‎【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎19.019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据：‎ ‎（1）请将列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？‎ 有接触史 无接触史 总计 有武汉旅行史 ‎4‎ 无武汉旅行史 ‎10‎ 总计 ‎25‎ ‎45‎ ‎（2）已知在无武汉旅行史的10名患者中，有2名无症状感染者.现在从无武汉旅行史的10名患者中，选出2名进行病例研究，记选出无症状感染者的人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.076‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）填表见解析；能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系（2）分布列见解析，期望为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格中数据可得列联表，根据公式计算可得观测值，根据观测值，结合临界值表可得答案；‎ ‎（2）根据题意，的值可能为0，1，2，根据古典概型的概率公式可得的各个取值的概率，从而可得分布列，根据数学期望的公式计算可得数学期望.‎ ‎【详解】（1）列联表补充如下：‎ 有接触史 无接触史 总计 有武汉旅行史 ‎15‎ ‎4‎ ‎19‎ 无武汉旅行史 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 总计 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 随机变量的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系.‎ ‎（2）根据题意，的值可能为0，1，2.‎ 则，，，‎ 故的分布列如下：‎ 故的数学期望：.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，考查了古典概型的概率公式，考查了随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，在上的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在，上是减函数，在上是增函数（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导后，对分类讨论，利用导数的符号可得函数的单调性；‎ ‎（2）由（1）知，当时，在，上单调递减，从而可得最小值，进一步可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得的定义域为，，‎ ‎①当时，，故在上为增函数；‎ ‎②当时，由得；‎ 由得；由得；‎ 在，上为减函数，在上为增函数.‎ 综上，当时，在上是增函数；‎ 当时，在，上减函数，在上是增函数.‎ ‎（2）由（1）知，当时，在，上单调递减，‎ ‎（e），解得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数单调性，考查了利用单调性求函数的最值，属于中档题.‎ ‎21.新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每 年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取.‎ ‎（1）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求.假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率；‎ ‎（2）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取.假设某考生在省会考六科的成绩，考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相互独立事件的乘法公式计算可得结果；‎ ‎（2）由二项分布的概念可知，，根据二项分布的概率公式可得的各个取值的概率，从而可得分布列，根据二项分布的期望公式可得数学期望.‎ ‎【详解】（1）记事件：“该生英语等级考试成绩为优”，则，‎ 事件：“该生直到高二下期英语等级考试成绩才为优”，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的乘法公式，考查了二项分布的分布列和数学期望，属于 基础题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.‎ 因为，所以，‎ 当时，在上恒成立，函数在单调递减，‎ ‎∴在上没有极值点； ‎ 当时，由得，由得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，‎ ‎∴，‎ 令，所以，‎ 令可得在上递减，令可得在上递增，‎ ‎∴，即. ‎ 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.‎