【数学】湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期摸底考试试题 10页

湖北省部分重点中学2019-2020学年 高一下学期摸底考试试题 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知实数a、b均不为零，且．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知平面平面，直线，直线，下列结论中，不一定正确的是（ ）‎ A． B． C． D．与不相交 ‎6．下列说法中正确的是（ ）‎ A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 B．若正方体的棱长扩大到原来的2倍，则其体积扩大到原来的6倍 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 D．用一个平面去截圆锥，若该平面过圆锥的轴，则所得的截面是一个等腰三角形 ‎7．函数的最小正周期为，若将其图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎8．在平行四边形ABCD中，M是对角线AC上一点，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．如图，在直三棱柱中， ， ， ，D．E分别是AB． 的中点，则异面直线BE和CD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且， ，若已知，，，，则球O的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．形如（是非负整数）的数称为费马数，记为数学家费马根据，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数．1732年，欧拉算出，也就是说不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式．后来，人们又陆续找到了不少反例．如不是质数那么的位数为（ ）‎ ‎（参考数据：） ‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎12．已知函数，，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．‎ ‎13．函数的零点个数为__________．‎ ‎14．已知向量，，且，若，均为正数，则的最小值是__________．‎ ‎15．在中，已知，，，则在方向上的投影为__________．‎ ‎16．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，若平面经过点A．、P，则它截正方体所得的截面的周长最小值为__________．‎ 三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知平面向量、满足，，与的夹角为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若向量与平行，求实数的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 函数部分图象如图所示．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）已知点M为BC的中点，求AM的长度．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为，点G．E．F．H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，平面平面GEFH，求四边形GEFH的面积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央岀台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔近似地满足，其中．‎ ‎（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔的值；‎ ‎（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知、分别是定义在上的奇函数和偶函数，满足，且，．‎ ‎（1）求实数的值及和的表达式；‎ ‎（2）若关于的方程在区间内恰有两个不等实数根，求常数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-12： DCAC CDBD CCBA 二、填空题 ‎13．2 14．9 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）∵‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵与平行，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎18．（1）由图可得，，‎ ‎∴，，‎ 当时，，可得，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎（2）‎ ‎∵，∴，‎ 当，即时，有最大值为1；‎ 当，即时，有最小值．‎ ‎19．（1）由，，得，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理，可得．‎ ‎∴，．‎ ‎（2）在中，有余弦定理，‎ 得，解得或，‎ 当时，由得为等腰三角形，又，‎ 得为等腰直角三角形，矛盾．∴．‎ 在中，由余弦定理，‎ ‎∴．‎ ‎20．（1）∵平面GEFH，‎ 又∵平面PBC且平面平面，∴．‎ 又∵平面GEFH，‎ 又∵平面ABCD且平面平面，∴，‎ 又∵已证，∴ ．‎ ‎（2）∵平面平面GEFH，‎ 又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∵，∵，∴，‎ 同理，‎ 又由（1）知，，∴，‎ 在四边形GEFH中：，，且，‎ 四边形GEFH为等腰梯形，‎ 如图所示：过G作GM垂直于EF于M，‎ 过H作GN垂直于EF于N，‎ 在直角中，，‎ ‎∴．‎ ‎21．（1）当时，，不满足题意，舍去．‎ 当时，，即．‎ 解得（舍）或，‎ ‎∵，．∴．‎ ‎∴发车时间间隔为4分钟．‎ ‎（2）由题意可得 当，时，（元）‎ 当，时，（元）‎ ‎∴发车时间间隔为7分钟时．净收益最大为280（元）．‎ ‎22．（1）由已知，，‎ 以代，得，‎ 因为是奇函数，是偶函数，所以，‎ 又因为，所以，∴，‎ 由已知，①，‎ 以代，得，‎ 因为是奇函数，是偶函数，所以②，‎ 联立①②可得，，，‎ ‎（2）题意即方程在区间内恰有两个不等实根．‎ 显然不是该方程的根，所以令，‎ 由得，‎ 则原方程可变形为，‎ 易知函数为偶函数，且在区间内单调递增，所以，‎ 且题意转化为方程在区间内有唯一实根．‎ 易知在区间内单调递减，‎ 又时，，所以，‎ ‎（此时每一个，在区间内有且仅有一个值与之对应）‎ ‎∴的取值范围是．‎