【数学】山东省高唐县第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考试题 （解析版） 14页

山东省高唐县第一中学2019-2020学年高一下学期 第二次月考数学试题 ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. z对应点在第二象限 B. ‎ C. 复数z的虚部为 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 对应的点在第四象限，选项A错误；‎ ‎，选项B正确；‎ 的虚部为，选项C错误；‎ ‎，选项D错误.‎ 故选：B ‎2.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（ ）‎ A. 85 B. ‎86 ‎C. 85.5 D. 86.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，‎ 因为，‎ 所以这组数据的75百分位数是第八个数据86.‎ 故选：B ‎3.已知向量，，向量与的夹角为，则的值为（ ）‎ A. 7 B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，‎ 又因为，且向量与的夹角为，‎ 所以，，.‎ 故选：A ‎4.设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确 对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确 对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误 对于④：假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确 故选C．‎ ‎5.圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，矩形是圆柱的轴截面，它的外接圆是球的大圆，由题意，，所以，即圆柱底面半径为，所以 ‎．‎ 故选：A．‎ ‎6.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )‎ ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.‎ ‎7.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，E是的中点，过、C、E的截面图形为（ ）‎ A. 矩形 B. 三角形 C. 正方形 D. 等腰梯形 ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，取的中点，连接，可得，且 根据平面的基本性质，可得共面，且,‎ 所以过、C、E的截面图形为等腰梯形.‎ 故选：D.‎ ‎8.已知，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，‎ 联立方程组，可得，‎ 又由.‎ 故选：B.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2.5分，有选错的得0分 ‎9.抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,‎6”‎为事件A,“向上的点数是1,‎2”‎为事件B,“向上的点数是1,2,‎3”‎为事件C,“向上的点数是1,2,3,‎4”‎为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）‎ A. A与B是互斥事件但不是对立事件 B. A与C是互斥事件也是对立事件 C. A与D是互斥事件 D. C与D不是对立事件也不是互斥事件 ‎【答案】ABD ‎【解析】】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,‎6”‎为事件A,“向上的点数是1,‎2”‎为事件B,‎ ‎“向上的点数是1,2,‎3”‎为事件C,“向上的点数是1,2,3,‎4”‎为事件D,‎ 在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；‎ 在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；‎ 在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；‎ 在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎10.在中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】AB ‎【解析】A已知两角，一边，三角形是确定的，只有唯一解；‎ B已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，唯一；‎ C由正弦定理得，又，即，所以可能为锐角，也可能为钝角，两解；‎ D中，角只能为锐角，已知为钝角，三角形无解．‎ 故选AB．‎ ‎11.某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，‎ ‎，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是 （ ）‎ A. ‎ B. 这名学生中数学成绩在分以下的人数为 C. 这名学生数学成绩的中位数约为 D. 这名学生数学成绩的平均数为 ‎【答案】BC ‎【解析】由频率分布直方图可知，解得，故A不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故B正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故C正确；对于D，这名学生数学成绩的平均数为，故D不正确．综上，正确答案为BC．‎ ‎12.如图，设E，F分别是正方体的棱上两点，且，，则下列说法中正确的是（ ）‎ A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面与平面所成的二面角大小为 D. 直线与平面所成的角为 ‎【答案】BCD ‎【解析】A中由于，因此异面直线与所成的角就是与的夹角，为，A错误；‎ B，面积不变，到平面即平面的距离不变，因此三棱锥体积为变，即三棱锥的体积为定值，正确；‎ C，平面即为平面，为平面与平面所成的二面角的平面角，＝，C正确；‎ D．连接交于，连接，由正方体性质知，，而，因此平面，因此是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以，D正确．‎ 故选：BCD．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，，，，那么a等于______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由余弦定理可得，代入数据，，，可得 ‎，因，解得.‎ 故答案为：4‎ ‎14. 如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，由图象中可知，，则对应三角形中，，又与平行的线段的长度为，则对应三角形的高为，所以三角形的面积为．‎ 考点：斜二测画的应用．‎ ‎15.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎16.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从‎2月7日到‎2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：‎ 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.‎ ‎①_________________________________________________.‎ ‎②_________________________________________________.‎ ‎【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大 ‎【解析】根据折线图知：‎ ‎①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.‎ 故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知复数（），当m取什么值时，复数z是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.‎ 解：由于，复数z可以表示为 ‎.‎ 对应点，‎ 当，‎ 即或时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.‎ ‎18.由于疫情影响，今年我们学校开展线上教学，高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15，0.25，0.35，0.20，0.05，则根据直方图所提供的信息.‎ ‎（1）这一天上网学习时间在分钟之间的学生有多少人？‎ ‎（2）这40位同学的线上平均学习时间是多少？‎ ‎（3）如果只用这40‎ 名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？为什么？‎ 解：（1）因为频数样本容量频率，一天上网学习时间在分钟之间的学生所占频率为0.35,‎ 所以一天上网学习时间在分钟之间的学生人数为（人）‎ ‎（2）40位同学线上学习时间为：‎ 分钟 ‎（3）因为该样本的选取只在高一某班，不具有代表性，所以这样推断不合理.‎ ‎19.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量，且.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若点为边上一点，且满足，，，求面积.‎ 解：（1）由题可知：‎ 则 即 则 化简可得：‎ 所以,又 所以，又所以 ‎（2），可知点是的中点所以，‎ 因为，则 即 ①‎ 由,又 所以化简可得 ②‎ ‎①-②可得： 所以 ‎20.如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ 解：（1）先证,再证，进而完成证明．‎ ‎（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．‎ 详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．‎ 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．‎ 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．‎ MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎21.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是.‎ ‎（1）抽取的400名学生中视力在范围内的学生约有多少人？‎ ‎（2）如果视力达到5.0以上算正常，用样本估计总体，求全市高一学生中视力正常的学生有多少人？‎ ‎（3）从第4组和第5组的学生中按分层抽样的方式抽取样本容量为8人的样本，再从样本中随机抽取2人进行问卷调查，请求出2人来自同一组的概率.‎ 解：（1）由图知，第五小组的频率为，所以第一小组的频率为，所以400名学生中视力在范围内的学生约有（人）.‎ ‎（2）第4组的频率为 所以视力为5.0以上的频率为 所以全市高一学生中视力正常的学生有人 ‎（3）第4组频数为人 第5组频数为人，‎ 所以，按分层抽样的方式，应从第4组抽取人 应从第5组抽取人 再从8人中随机抽取2人，假设从第4组随机抽编号为A，B，C，D，E的五人，从第5组随机抽编号为1，2，3的三人，其样本空间为 共28，事件A表示两人来自同一组，则共13个，‎ 故 所以两人来自同一组的概率为.‎ ‎22.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．‎ ‎（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．‎ 解：（1）取中点，设面，连，‎ 则为二面角的平面角，‎ 为侧棱与底面所成的角，，‎ 设，，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）连，为异面直线与所成的角．‎ 因为，，所以平面.‎ 平面，所以.‎ ‎∵,‎ ‎∴。‎ ‎（3）延长交于，取中点，连、．‎ 因为，，，‎ 故平面，因平面，‎ 故平面平面，‎ 又，故为等边三角形，‎ 所以，由平面，故 因为，所以平面.‎ 取的中点，∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，所以 ‎ ‎∴平面．即为四等分点