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- 2021-06-30 发布
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2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高一上学期六科联赛数学试题
一、单选题
1.设集合,则等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解出集合Q,利用交集定义即可得解.
【详解】
集合 ,则.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式解法及交集,属于基础题.
2.下列四个说法正确的是( )
A.两两相交的三条直线必在同一平面内
B.若四点不共面,则其中任意三点都不共线
C.在空间中,四边相等的四边形是菱形
D.在空间中,有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【解析】空间中的三个公理对四个命题逐一判断,空间中三个公理公理一是线在面内的基础,公理二是确定平面的依据,公理三是证明两面交于一线的依据.
【详解】
对于选项A,如果三条直线交于一点,则此时三条直线不一定在同一平面内,故A不对;
对选项B,若四点不共面,则一定不存在三点共线,若有三点共线,则第四点与此线确定一个平面,这样就会出现四点共面,与已知条件不符合,故B正确;
对于选项C,在空间中四边相等的四边形可能是空间四边形,故C不对;
对于选项D,空间四边形中也存在三个角是直角的情况,故D不对.
故选:B.
【点睛】
本题考点是空间图形的公理,考查用三个公理判断空间中点线面的关系.空间中三个公理与其推论是立体几何的基础,应好好理解掌握.
3.已知a、b表示两条不同的直线,表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是( ).
①若,则 ②若,则
③若, 则 ④若,,则
A.① ② B.③ ④ C.② ③ D.③
【答案】D
【解析】根据点线面的位置关系逐个进行判断即可.
【详解】
①若,则不一定成立,可能在内,故①错;
②若,则或,故②错;
③若,则 故③ 对;
④若,,则或与异面故④错;
故选D.
【点睛】
本题考查了点线面的位置关系,熟练掌握线与线,线与面,面与面的平行与垂直的判定定理与性质定理是关键,也考查了学生的空间想象能力.
4.函数( )
【答案】A
【解析】由于函数为偶函数又过(0,0)所以直接选A.
【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查,注意函数的特征即可,属于简单题.
5.设函数是R上的奇函数,当时,,则的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点,再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0
转化成两个函数,转化为判断两函数交点个数问题,最后根据奇函数的对称性确定答案.
【详解】
∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,所以0是函数f(x)的一个零点;当x>0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3,分别画出函数y=ex,和y=-x+3的图象,如图所示,
有一个交点,所以函数f(x)有一个零点,又根据对称性知,当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3个,
故选:C.
【点睛】
本题是个基础题,函数的奇偶性是函数最重要的性质之一,同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用,此题就与函数的零点结合,符合高考题的特点.
6.若,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用指数的运算法则得出==,把,代入即可.
【详解】
,则==;
故选D.
【点睛】
本题考查了指数的运算法则,熟记法则是关键,属于基础题.
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,那么
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】A
【解析】试题分析:由题意直线在平面上与底面正方形四条边都相交故,直线与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的前后两个侧面、上下两个底面相交,故,所以.
【考点】直线与平面的位置关系.
8.如图,L、M、N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )
A.垂直 B.相交不垂直
C.平行 D.重合
【答案】C
【解析】将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL, 因PQAL可得出PQ平面LMN,同理可得出PR平面LMN,由面面平行的判定定理即可得出结果.
【详解】
如图
分别取另三条棱的中点A,B,C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因PQAL,AL 平面LMN,PQ平面LMN,故PQ平面LMN,同理,由PRCN,可得PR
平面LMN,
因PQ,PR为平面PQR内两相交直线,故平面PQR平面LMN.
故选C.
【点睛】
本题考查了面面平行的判定定理,把平面进行延展是本题的关键,是解题的突破口,因此在平时学习要对平面延展性加强练习.
9.如图所示,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的中点,则EF的长是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】先取BC的中点D,连接ED与FD,根据中位线定理可知ED∥SB,FD∥AC,根据题意可知三角形EDF为等腰直角三角形,然后解三角形即可.
【详解】
取BC的中点D,连接ED与FD∵E、F分别是SC和AB的中点,点D为BC的中点∴ED∥SB,FD∥AC,而SB⊥AC,SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1即EF=.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了中位线定理,以及异面直线所成角的应用,同时考查了转化与划归的思想,属于基础题.
10.将半径为,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的体积为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先求圆锥的底面半径以及高,再根据相似得内切球的半径,最后根据球的体积公式求结果.
【详解】
设圆锥的底面半径为r,高为h,则 ,
设内切球的半径为R,则 选A.
【点睛】
本题考查圆锥展开图相关知识,考查基本求解能力.
11.若三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求解底面长方形的外接圆,PA⊥平面ABC,球心到圆心的距离为1,利用圆心与球心构造直角三角形求解即可.
【详解】
由题意,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=2,∴平面ABC是直角三角形,补形底面为长方形.∴球心到圆心的距离为1,底面长方形的外接圆r=,∴R2=r2+1,即R=,∴球O的表面积S=4πR2=12π.
故选:A.
【点睛】
本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
12.定义在上的函数满足,且当时, ,对,,使得,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集.当时,,由二次函数及对勾函数的图象及性质,得此时,由,可得,当时,.则在的值域为.当时,,则有,解得,当时,,不符合题意;当时,,则有,解得.综上所述,可得的取值范围为 .故本题答案选.
点睛:求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系,求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围.讨论应该 不重复不遗漏.
二、填空题
13.函数的定义城为_________.
【答案】
【解析】由偶次根式下的代数式大于等于0,对数式的真数大于0联立不等式组求解即可.
【详解】
由 得,所以函数的定义城为.
故答案为
【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.
14.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,,CC1=1,一条绳子从点A沿表面拉到点C1,则绳子的最短的长度_______.
【答案】
【解析】根据题意,画出三种展开的图形,求出A、C1两点间的距离,比较大小,从而找出最小值即为所求.
【详解】
①沿平面A A 1B 1B、平面 A 1B 1C 1D 1铺展成平面,此时 AC 1=,
②沿平面 AA 1D 1D、平面 A 1D 1C 1B 1铺展成平面,此时 AC =,
③沿平面 AA 1B 1B、平面 BB 1C 1C铺展成平面,此时 AC 1=
故绳子的最短的长为.
故答案为.
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征,考查分类讨论思想,考查计算能力,属于中档题.
15.正方体AC1棱长是1,点E、F是线段DD1,BC1上的动点,则三棱锥E一AA1F体积为___.
【答案】
【解析】因为F是BC1上的动点,所以在正方体中有面,再利用等体积转化, 即可得解.
【详解】
因为F是BC1上的动点,所以在正方体中有面,利用等体积转化有=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了等积转化的方法求三棱锥体积,利用线面平行进行转化,使得问题很容易解决,应熟练准确掌握.
16.已知函数对任意的实数满足:,且当时,,当时,,则象与的图象的交点个数为___________。
【答案】10
【解析】由题意求出f(x)的解析式,化简在同一个坐标系中画出这两个函数的图象,根据图象即可得到答案.
【详解】
由题意知,f(x)=且周期是6,=,且此函数是偶函数,
在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示:
由图可得,两个函数图象的交点个数是10个.
【点睛】
本题考查利用函数的周期性画出对数函数、分段函数的图象问题,考查数形结合思想,画对函数的图象是解题的关键.
三、解答题
17.已知集合.
(1)若,求实数m的取值范围:
(2)若,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由A∪B=B,得A⊆B,得出端点间的不等关系得到不等式组,解之即得实数m的取值范围.
(2)先由A∩B=∅,知集合A,B没有公共元素,从数轴上看就是它们没有相交的部分,从而得出端点间的不等关系得到不等式组,解之再取补集即可得解.
【详解】
(1)∵集合,A∪B=B,
∴A⊆B,
∴,解得−6−2,
∴实数m的取值范围是[−6,−2].
(2)∵集合,
∴当A∩B=∅时,或者m+9−2,
解得m3或m−11,
∴A∩B≠∅时,−11