高中数学第五章统计与概率5-3-2事件之间的关系与运算课件新人教B版必修第二册 35页

第五章　统计与概率 5.3　概率 5.3.2 　事件之间的关系与运算 必备知识 · 探新知 关键能力 · 攻重难 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能 素养目标 · 定方向 素养目标 · 定方向 课程标准 学法解读 1. 了解事件的包含与相等的含义及概率关系． 2 ．理解事件和 ( 并 ) 、积 ( 交 ) 运算的含义及其概率关系． 3 ．理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式． 4 ．会进行事件的混合运算． 通过本节课的学习，进一步提升学生的数学抽象、数学运算素养． 必备知识 · 探新知 (1) 包含关系 一般地，如果事件 A ________ 时，事件 B 一定发生，则称 “ A 包含于 B ” ( 或 “ B 包含 A ” ) ，记作 A ⊆ B ( 或 B ⊇ A ) ．用图形表示为： 事件的包含与相等 知识点 一 (2) 相等关系 如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生；而且事件 B 发生时，事件 A 也一定发生，则称 “ __ __ __ __ ______ ” ，记作 A ＝ B ． 发生　 A 与 B 相等　 思考： 如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？ 提示： 如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同． 即： A ＝ B ⇔ A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔ A 与 B 有相同的样本点． (1) 事件的和 ( 并 ) 给定事件 A ， B ，由 ________ A 中的样本点与 B 中的样本点组成的事件称为 A 与 B 的和 ( 或并 ) ，记作 A ＋ B ( 或 A ∪ B ) ． 事件 A 与 B 的和可以用如图中的阴影部分表示． 和事件与积事件 知识点 二 所有　 (2) 事件的积 ( 交 ) 给定事件 A ， B ，由 A 与 B 中的 ______________ 组成的事件称为 A 与 B 的积 ( 或交 ) ，记作 AB ( 或 A ∩ B ) ． 事件 A 与事件 B 的积可以用如图中的阴影部分表示． 公共样本点　 思考： “ A ∩ B ＝ ∅ ” 的含义是什么？ 提示： 在一次试验中，事件 A 、 B 不可能同时发生． 事件的互斥与对立 知识点 三 不能同时　 P ( A ) ＋ P ( B ) 　 不可能　 必然　 1 　 关键能力 · 攻重难 事件关系的判断 题型探究 题型 一 　　　　　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C 1 ＝ { 出现 1 点 } ，事件 C 2 ＝ { 出现 2 点 } ，事件 C 3 ＝ { 出现 3 点 } ，事件 C 4 ＝ { 出现 4 点 } ，事件 C 5 ＝ { 出现 5 点 } ，事件 C 6 ＝ { 出现 6 点 } ，事件 D 1 ＝ { 出现的点数不大于 1} ，事件 D 2 ＝ { 出现的点数大于 3} ，事件 D 3 ＝ { 出现的点数小于 5} ，事件 E ＝ { 出现的点数小于 7} ，事件 F ＝ { 出现的点数为偶数 } ，事件 G ＝ { 出现的点数为奇数 } ，请根据上述定义的事件，回答下列问题： 典例剖析 典例 1 (1) 请列举出符合包含关系、相等关系的事件； (2) 利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． [ 解析 ] 　 (1) 因为事件 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 发生，则事件 D 3 必发生，所以 C 1 ⊆ D 3 ， C 2 ⊆ D 3 ， C 3 ⊆ D 3 ， C 4 ⊆ D 3 ． 同理可得，事件 E 包含事件 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ， C 5 ， C 6 ， D 1 ， D 2 ， D 3 ， F ， G ；事件 D 2 包含事件 C 4 ， C 5 ， C 6 ；事件 F 包含事件 C 2 ， C 4 ， C 6 ；事件 G 包含事件 C 1 ， C 3 ， C 5 ． 且易知事件 C 1 与事件 D 1 相等，即 C 1 ＝ D 1 ． (2) 因为事件 D 2 ＝ { 出现的点数大于 3} ＝ { 出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点 } ，所以 D 2 ＝ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 ( 或 D 2 ＝ C 4 ＋ C 5 ＋ C 6 ) ．同理可得， D 3 ＝ C 1 ＋ C 2 ＋ C 3 ＋ C 4 ， E ＝ C 1 ＋ C 2 ＋ C 3 ＋ C 4 ＋ C 5 ＋ C 6 ， F ＝ C 2 ＋ C 4 ＋ C 6 ， G ＝ C 1 ＋ C 3 ＋ C 5 ， E ＝ F ＋ G ． 规律方法：事件间运算方法 1 ． 利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． 2 ．利用 Venn 图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 1 ．某市体操队有 6 名男生， 4 名女生，现任选 3 人去参赛，设事件 A ＝ { 选出的 3 人有 1 名男生， 2 名女生 } ，事件 B ＝ { 选出的 3 人有 2 名男生， 1 名女生 } ，事件 C ＝ { 选出的 3 人中至少有 1 名男生 } ，事件 D ＝ { 选出的 3 人中既有男生又有女生 } ． 问： (1) 事件 D 与 A ， B 是什么样的运算关系？ (2) 事件 C 与 A 的交事件是什么事件？ 对点训练 [ 解析 ] 　 (1) 对于事件 D ，可能的结果为 1 名男生 2 名女生，或 2 名男生 1 名女生，故 D ＝ A ∪ B ． (2) 对于事件 C ，可能的结果为 1 名男生 2 名女生， 2 名男生 1 名女生， 3 名男生，故 C ∩ A ＝ A ． 互斥事件与对立事件的判断 题型 二 　　　　从 40 张扑克牌 ( 红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1 ～ 10 各 4 张 ) 中，任取一张． (1) “ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” ； (2) “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” ； (3) “ 抽出的牌点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9 ” ．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 典例剖析 典例 2 [ 解析 ] 　 (1) 是互斥事件，不是对立事件． 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “ 抽出红桃 ” 和 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出 “ 方块 ” 或者 “ 梅花 ” ，因此，二者不是对立事件． (2) 既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张， “ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” ，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3) 不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “ 抽出的牌点数为 5 的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9 ” 这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为 10 ，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 规律方法：互斥事件、对立事件的判定方法 (1) 利用基本概念 ① 互斥事件不可能同时发生； ② 对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生． (2) 利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A ， B ． ① 事件 A 与 B 互斥，即集合 A ∩ B ＝∅ ； ② 事件 A 与 B 对立，即集合 A ∩ B ＝∅ ，且 A ∪ B ＝ I ，即 A ＝∁ I B 或 B ＝∁ I A ． 2 ．从一批产品中取出 3 件产品，设 A ＝ {3 件产品全不是次品 } ， B ＝ {3 件产品全是次品 } ， C ＝ {3 件产品不全是次品 } ，则下列结论正确的是 __________( 填写序号 ) ． ① A 与 B 互斥；② B 与 C 互斥；③ A 与 C 互斥；④ A 与 B 对立；⑤ B 与 C 对立． 对点训练 ①②⑤ 　 [ 解析 ] 　 A ＝ {3 件产品全不是次品 } ，指的是 3 件产品全是正品， B ＝ {3 件产品全是次品 } ， C ＝ {3 件产品不全是次品 } 包括 1 件次品 2 件正品， 2 件次品 1 件正品， 3 件全是正品 3 个事件，由此知： A 与 B 是互斥事件，但不对立； A 与 C 是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件； B 与 C 是互斥事件，也是对立事件． 所以正确结论的序号为 ①②⑤ ． 互斥事件概率加法公式的应用 题型 三 　　　　　某射击运动员在一次射击中射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环、 7 环以下的概率分别为 0.1,0.2,0.3,0.3,0.1. 计算这个运动员在一次射击中： (1) 射中 10 环或 9 环的概率； (2) 至少射中 7 环的概率． 典例剖析 典例 3 [ 解析 ] 　 设运动员射击一次，射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环、 7 环以下分别记为 A ， B ， C ， D ， E ，则 P ( A ) ＝ 0.1 ， P ( B ) ＝ 0.2 ， P ( C ) ＝ 0.3 ， P ( D ) ＝ 0.3 ， P ( E ) ＝ 0.1 ． (1) ∵ A ， B 互斥， ∴ P ( A ＋ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ 0.1 ＋ 0.2 ＝ 0.3 ，即射中 10 环或 9 环的概率为 0.3 ． (2) 记 F ＝ A ＋ B ＋ C ＋ D ， ∵ E ， F 对立， ∴ P ( F ) ＝ 1 － P ( E ) ＝ 1 － 0.1 ＝ 0.9 ，即 P ( A ＋ B ＋ C ＋ D ) ＝ 0.9 ，即至少射中 7 环的概率为 0.9 ． 规律方法： (1) 公式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ，只有当 A ， B 两事件互斥时才能使用，如果 A ， B 不互斥，就不能应用这一公式． (2) 利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用． 对点训练 典例剖析 典例 4 易错警示 [ 辨析 ] 　 错解的原因在于忽视了 “ 事件和 ” 概率公式应用的前提条件，由于 “ 朝上一面的数是奇数 ” 与 “ 朝上一面的数不超过 3 ” 这二者不是互斥事件，即出现 1 或 3 时，事件 A ， B 同时发生，所以不能应用公式 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) 求解． 课堂检测 · 固双基 素养作业 · 提技能