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- 2021-06-25 发布
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[练案25]第六讲 正弦定理、余弦定理
A组基础巩固
一、单择题
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( C )
A. B.
C. D.
[解析] 因为在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,所以由余弦定理得cos ∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.故选C.
2.已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于( D )
A.2 B.1
C. D.
[解析] 由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.
3.已知△ABC中,A︰B︰C=1︰1︰4,则a︰b︰c=( A )
A.1︰1︰ B.2︰2︰
C.1︰1︰2 D.1︰1︰4
[解析] △ABC中,A︰B︰C=1︰1︰4,所以A=,B=,C=π,a︰b︰c=sin A︰sin B︰sin C=︰︰=1︰1︰.
4.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( C )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可知S△ABC=absin C=,所以a2+b2-c2=2absin C,由余弦定理a2+b2-c2=2abcos C,所以sin C=cos C.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.
5.(2020·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a
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=2,…,解得b=,根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )
A.A=30°,B=45° B.C=75°,A=45°
C.B=60°,c=3 D.c=1,cos C=
[解析] 由C=75°,A=45°可知B=60°,又=,∴b====,符合题意,故选B.
6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是( C )
A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
[解析] ∵=,∴=,∴b=c.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,∴b2+c2-a2=bc,
∴cos A===.
∵A∈(0,π),∴A=.∴△ABC是等边三角形,故选C.
二、多选题
7.在△ABC中,a=4,b=8,A=30°,则此三角形的边角情况可能是( ACD )
A.B=90° B.C=120°
C.c=4 D.C=60°
[解析] ∵=,∴sinB==1,∴B=90°,C=60°,c=4.故选A、C、D.
8.(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )
A.在△ABC中,a︰b︰c=sin A︰sin B︰sin C
B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则A=B
C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B
D.在△ABC中,=
[解析] 对于A,在△ABC中,由正弦定理可得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以a︰b︰c=sin A︰sin B︰sin C,故A正确;对于B,若sin 2A=sin 2B,则2A=2B或
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2A+2B=π,可得A=B或A+B=,故B错误;对于C,若sin A>sin B,根据正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,得a>b,再根据大边对大角可得A>B.若A>B,则a>b,由正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,得sin A>sin B,故C正确;对于D,由==,再根据比例式的性质可知D正确.故选A、C、D.
三、填空题
9.(2015·广东卷)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sin B=,C=,则b=__1__.
[解析] ∵sin B=且B∈(0,π),∴B=或,
又C=,∴B=,A=π-B-C=.
又a=,由=,得=,∴b=1.
10.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=__2__
[解析] 解法一:由正弦定理sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,
即sin (B+C)=sin A=2sin B,有==2.
解法二:由余弦定理得b·+c·=2b,化简得a=2b,因此,=2.
解法三:由三角形射影定理,知bcos C+ccos B=a,所以a=2b,所以=2.故填2.
11.(2017·浙江节选)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 .
[解析] 取BC中点E,由题意,AE⊥BC.
△ABE中,cos ∠ABC==,
所以cos ∠DBC=-,
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sin ∠DBC==,
所以S△BCD=×BD×BC×sin ∠DBC=.
故填.
12.(2019·浙江)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .
[解析] 在Rt△ABC中,易得AC=5,sin C==.在△BCD中,由正弦定理得BD=×sin ∠BCD=×=,sin ∠DBC=sin [π-(∠BCD+∠BDC)]=sin (∠BCD+∠BDC)=sin ∠BCDcos ∠BDC+cos ∠BCD·sin ∠BDC=×+×=.又∠ABD+∠DBC=,所以cos ∠ABD=sin ∠DBC=.
三、解答题
13.(2019·北京)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.
(1)求b,c的值;
(2)求sin (B+C)的值.
[解析] (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得
b2=32+c2-2×3×c×(-).
因为b=c+2,
所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-).
解得c=5.
所以b=7.
(2)由cos B=-得sin B=.
由正弦定理得sin A=sin B=.
在△ABC中,B+C=π-A.
所以sin (B+C)=sin A=.
14.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-sin C)2
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=sin2A-sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若a+b=2c,求sin C.
[解析] 由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A==.
因为0°0),则c=3k.由余弦定理,得cos C===-,解得k=3或k=-(舍去),从而a=6.故选C.
2.(2020·四川成都七中一诊)设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin (A+C)=(a+c)·(sin A-sin C),则A=( C )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
[解析] 依题意,知(b+c)sin B=(a+c)(sin A-sin C),由正弦定理,得(b+c)b=(a+c)·(a-c),即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A===-,所以A=120°.故选C.
3.(2020·湖南四校摸底调研)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=1,则C=( B )
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A. B.
C. D.
[解析] 由正弦定理及+=1,得+=1,整理可得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C==,又C∈(0,π),所以C=.故选B.
4.(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2+,则△ABC为( B )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
[解析] 由2acos B=c及正弦定理,得2sin Acos B=sin C.在△ABC中,因为sin C=sin (A+B),所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,整理得sin (A-B)=0,又A,B∈(0,π),所以A=B.因为sin Asin B(2-cos C)=sin2+,所以sin Asin B[2-(1-2sin2)]=sin2+,即sin Asin B(1+2sin2)=(1+2sin2),所以sin Asin B=.又A=B,且A,B∈(0,π),所以A=B=,所以C=π-A-B=,所以△ABC是等腰直角三角形.故选B.
5.(2019·江苏)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值;
(2)若=,求sin (B+)的值.
[解析] (1)因为a=3c,b=,cos B=,
由余弦定理cos B=,
得=,即c2=.
所以c=.
(2)因为=,
由正弦定理=,得=,
所以cos B=2sin B.
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从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),
故cos2B=.
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=.
因此sin (B+)=cos B=.
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