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  • 2021-06-25 发布

高考数学一轮复习练案25第三章三角函数解三角形第六讲正弦定理余弦定理含解析

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‎ [练案25]第六讲 正弦定理、余弦定理 A组基础巩固 一、单择题 ‎1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( C )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 因为在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,所以由余弦定理得cos ∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=.故选C.‎ ‎2.已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于( D )‎ A.2  B.1 ‎ C.  D. ‎[解析] 由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.‎ ‎3.已知△ABC中,A︰B︰C=1︰1︰4,则a︰b︰c=( A )‎ A.1︰1︰   B.2︰2︰ C.1︰1︰2   D.1︰1︰4‎ ‎[解析] △ABC中,A︰B︰C=1︰1︰4,所以A=,B=,C=π,a︰b︰c=sin A︰sin B︰sin C=︰︰=1︰1︰.‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( C )‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 由题可知S△ABC=absin C=,所以a2+b2-c2=2absin C,由余弦定理a2+b2-c2=2abcos C,所以sin C=cos C.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.‎ ‎5.(2020·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a - 7 -‎ ‎=2,…,解得b=,根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( B )‎ A.A=30°,B=45°   B.C=75°,A=45°‎ C.B=60°,c=3   D.c=1,cos C= ‎[解析] 由C=75°,A=45°可知B=60°,又=,∴b====,符合题意,故选B.‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是( C )‎ A.直角三角形   B.等腰非等边三角形 C.等边三角形   D.钝角三角形 ‎[解析] ∵=,∴=,∴b=c.‎ 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,∴b2+c2-a2=bc,‎ ‎∴cos A===.‎ ‎∵A∈(0,π),∴A=.∴△ABC是等边三角形,故选C.‎ 二、多选题 ‎7.在△ABC中,a=4,b=8,A=30°,则此三角形的边角情况可能是( ACD )‎ A.B=90°   B.C=120°‎ C.c=4   D.C=60°‎ ‎[解析] ∵=,∴sinB==1,∴B=90°,C=60°,c=4.故选A、C、D.‎ ‎8.(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是( ACD )‎ A.在△ABC中,a︰b︰c=sin A︰sin B︰sin C B.在△ABC中,若sin ‎2A=sin 2B,则A=B C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B D.在△ABC中,= ‎[解析] 对于A,在△ABC中,由正弦定理可得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,所以a︰b︰c=sin A︰sin B︰sin C,故A正确;对于B,若sin ‎2A=sin 2B,则‎2A=2B或 - 7 -‎ ‎2A‎+2B=π,可得A=B或A+B=,故B错误;对于C,若sin A>sin B,根据正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,得a>b,再根据大边对大角可得A>B.若A>B,则a>b,由正弦定理a=2Rsin A,b=2Rsin B,得sin A>sin B,故C正确;对于D,由==,再根据比例式的性质可知D正确.故选A、C、D.‎ 三、填空题 ‎9.(2015·广东卷)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sin B=,C=,则b=__1__.‎ ‎[解析] ∵sin B=且B∈(0,π),∴B=或,‎ 又C=,∴B=,A=π-B-C=.‎ 又a=,由=,得=,∴b=1.‎ ‎10.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=__2__‎ ‎[解析] 解法一:由正弦定理sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,‎ 即sin (B+C)=sin A=2sin B,有==2.‎ 解法二:由余弦定理得b·+c·=2b,化简得a=2b,因此,=2.‎ 解法三:由三角形射影定理,知bcos C+ccos B=a,所以a=2b,所以=2.故填2.‎ ‎11.(2017·浙江节选)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是  .‎ ‎[解析] 取BC中点E,由题意,AE⊥BC.‎ ‎△ABE中,cos ∠ABC==,‎ 所以cos ∠DBC=-,‎ - 7 -‎ sin ∠DBC==,‎ 所以S△BCD=×BD×BC×sin ∠DBC=.‎ 故填.‎ ‎12.(2019·浙江)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=  ,cos ∠ABD=  .‎ ‎[解析] 在Rt△ABC中,易得AC=5,sin C==.在△BCD中,由正弦定理得BD=×sin ∠BCD=×=,sin ∠DBC=sin [π-(∠BCD+∠BDC)]=sin (∠BCD+∠BDC)=sin ∠BCDcos ∠BDC+cos ∠BCD·sin ∠BDC=×+×=.又∠ABD+∠DBC=,所以cos ∠ABD=sin ∠DBC=.‎ 三、解答题 ‎13.(2019·北京)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)求sin (B+C)的值.‎ ‎[解析] (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-2×3×c×(-).‎ 因为b=c+2,‎ 所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×(-).‎ 解得c=5.‎ 所以b=7.‎ ‎(2)由cos B=-得sin B=.‎ 由正弦定理得sin A=sin B=.‎ 在△ABC中,B+C=π-A.‎ 所以sin (B+C)=sin A=.‎ ‎14.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B-sin C)2‎ - 7 -‎ ‎=sin‎2A-sin Bsin C.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若a+b=‎2c,求sin C.‎ ‎[解析] 由已知得sin2B+sin‎2C-sin‎2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.‎ 由余弦定理得cos A==.‎ 因为0°0),则c=3k.由余弦定理,得cos C===-,解得k=3或k=-(舍去),从而a=6.故选C.‎ ‎2.(2020·四川成都七中一诊)设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin (A+C)=(a+c)·(sin A-sin C),则A=( C )‎ A.30°  B.60° ‎ C.120°  D.150°‎ ‎[解析] 依题意,知(b+c)sin B=(a+c)(sin A-sin C),由正弦定理,得(b+c)b=(a+c)·(a-c),即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A===-,所以A=120°.故选C.‎ ‎3.(2020·湖南四校摸底调研)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=1,则C=( B )‎ - 7 -‎ A.  B. ‎ C.  D. ‎[解析] 由正弦定理及+=1,得+=1,整理可得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C==,又C∈(0,π),所以C=.故选B.‎ ‎4.(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2+,则△ABC为( B )‎ A.等边三角形   B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形   D.钝角三角形 ‎[解析] 由2acos B=c及正弦定理,得2sin Acos B=sin C.在△ABC中,因为sin C=sin (A+B),所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,整理得sin (A-B)=0,又A,B∈(0,π),所以A=B.因为sin Asin B(2-cos C)=sin2+,所以sin Asin B[2-(1-2sin2)]=sin2+,即sin Asin B(1+2sin2)=(1+2sin2),所以sin Asin B=.又A=B,且A,B∈(0,π),所以A=B=,所以C=π-A-B=,所以△ABC是等腰直角三角形.故选B.‎ ‎5.(2019·江苏)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a=‎3c,b=,cos B=,求c的值;‎ ‎(2)若=,求sin (B+)的值.‎ ‎[解析] (1)因为a=‎3c,b=,cos B=,‎ 由余弦定理cos B=,‎ 得=,即c2=.‎ 所以c=.‎ ‎(2)因为=,‎ 由正弦定理=,得=,‎ 所以cos B=2sin B.‎ - 7 -‎ 从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),‎ 故cos2B=.‎ 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=.‎ 因此sin (B+)=cos B=.‎ - 7 -‎