江苏省合作联盟学校2020届高三下学期4月模拟考试数学试题 Word版含解析 26页

www.ks5u.com 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）‎ ‎1. 满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的几何意义，可得，表示外径为，内径为1的圆环，结合圆的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设，‎ 因为，可得，即，‎ 所以表示外径为，内径为1的圆环，‎ 其中圆环的面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的结合意义，求得图形的形状，结合圆的面积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.‎ ‎2. 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为_______.‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 根据小矩形的面积等于这一组的频率，先求出电子元件的寿命在某时段的频率，再乘以样本容量，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，寿命在100~300小时的电子元件的频率为，‎ 所以样本容量为，‎ 从而寿命在500~600小时的电子元件的数量为件.‎ 故答案为：300.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记小矩形的面积等于这一组的频率是解答的关键，着重考查了数据处理能力和运用意识.‎ ‎3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为____．‎ ‎【答案】205‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知中的程序代码，得到本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案.‎ ‎【详解】模拟程序语言，运行过程，可得,‎ 满足条件，执行循环体；‎ 满足条件，执行循环体；‎ ‎ ‎ 满足条件，执行循环体；‎ 满足条件，执行循环体，‎ 此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为，‎ 故答案为205.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序语言应用问题，其中解答中应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的计算规律，从而得到计算的结果，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数，作为点的横、纵坐标，则点在直线上方的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件，再根据点在直线上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数，，共有36个基本事件，‎ 其中点在直线上方，即满足不等式的，‎ 有，共有9个基本事件，‎ 所以概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5. 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金圆锥的侧面积为，则这个圆锥的高为_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆锥的底面半径和高、母线，由题设条件列出关系式，即可求得圆锥的高，得到答案.‎ ‎【详解】设圆锥底面半径为，高为，母线为，‎ 由圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，可得，‎ 且圆锥的侧面积为，即，解得.‎ 故答案为：1.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥的几何结构特征，以及圆锥的侧面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎6. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2，b2，c2成等差数列，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质，结合基本不等式，即可求得的最小值．‎ ‎【详解】∵a2，b2，c2成等差数列，‎ ‎∴2b2＝a2+c2，‎ ‎∴（当且仅当a＝c时等号成立）‎ ‎∴a＝c时，的最小值为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，正确运用等差数列的性质是关键.‎ ‎7. 已知函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则 ‎【答案】-6‎ ‎【解析】‎ 分析：先利用导数求出曲线在点(ak，eak)处的切线，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求．‎ 解：∵y=ex，∴y′=ex，‎ ‎∴y=ex在点（ak，eak）处的切线方程是：y-eak=eak（x-ak），‎ 整理，得eakx-y-akeak+eak=0，‎ ‎∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1，‎ ‎∴ak+1=ak-1，‎ ‎∴{an}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，‎ ‎∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．‎ - 26 -‎ 故答案为-6．‎ 点评：本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递推式，求出两个项之间的关系，得到数列是一个等差数列，属于中档题 ‎8. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的解集，根据根与系数的关系，求得，且，进而把不等式转化为，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，关于的不等式的解集为，‎ 即是一元二次方程的两根，‎ 可得 解得，且，‎ 则关于的不等式可化为，即，‎ 即，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，三个二次式的关系，以及分式不等式的求解，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎9. 记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2‎ - 26 -‎ n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.‎ ‎【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，‎ 最高次项的系数为该项次数的倒数，‎ ‎∴A，A1，解得B，所以A﹣B．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.‎ ‎10. 设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】设P（），‎ 由yx2﹣2，得，‎ ‎∴，‎ 则C在点P处的切线方程为：，‎ 整理得：.‎ ‎∴坐标原点O到l距离d - 26 -‎ ‎.‎ 当且仅当，即x0＝0时上式等号成立.‎ ‎∴坐标原点O到l距离的最小值为2.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.‎ ‎11. 已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是 ______ ．‎ ‎【答案】（-∞，1）∪（2，+∞） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论， ，三种情况，结合题意可知函数不单调，继而求解出结果.‎ ‎【详解】若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则说明f(x)在R上不单调．‎ ‎①当a=0时,，其图象如图所示，满足题意 ‎②当a<0时,函数y=−x2+2ax的对称轴x=a<0，其图象如图所示，满足题意 - 26 -‎ ‎③当a>0时,函数y=−x2+ax的对称轴x=a>0,其图象如图所示,要使得f(x)在R上不单调 则只要二次函数的对称轴x=a<1,或，‎ ‎∴02，‎ 综合得a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞).‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值问题，考查了函数的单调性，解答过程中需要进行分类讨论，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.‎ ‎12. 直线与圆心为的圆交于，两点，直线，的倾斜角分别为，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形的外角与不相邻的内角的关系，得到，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理得到，再利用正切的倍角公式，即可求解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】设直线的倾斜角为，可得，‎ 由三角形的外角与不相邻的内角的关系，可得，‎ 由圆的性质可知，直线过圆心，是等腰三角形，‎ 所以，所以，可得，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程，直线的方程及直线的倾斜角，正切的倍角公式，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎13. 在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S - 26 -‎ ‎，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）‎ 由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x ‎∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），‎ 因此AB•，‎ 同理可得：AC•.‎ ‎∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•‎ 令t，得S.‎ ‎∵t2，∴S△ABC.‎ 当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.‎ 解之得a＝3或a.‎ ‎∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.‎ - 26 -‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎14. 若，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和的地位上相同，同时和的地位上也相同，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，和的地位上相同，类似的：和的地位上也相同，‎ ‎（1）若最大，设，‎ 要使得最小，则其余的数尽可能的大，其中最大取，此时，‎ 剩下也要尽可能大，取，则，‎ 因为，要使得尽可能大，则，‎ 此时，解得；‎ ‎（2）若最大，设，‎ 与（1）中类似，时，最小，‎ - 26 -‎ 同样，要使得最小，则最大，此时，‎ 可得，解得.‎ 综上可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了多项式的和的应用，以及不等式和函数的最值问题，着重考查了分类讨论，转化与回归思想，以及推理与运算能力.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15.‎ 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DC平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）设，求三棱锥A－BFE的体积．‎ ‎【答案】（1）祥见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证明：在图甲中∵且 ∴ ,‎ 即 在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD ‎∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．‎ 又，∴DC⊥BC,且 - 26 -‎ ‎∴DC平面ABC． ‎ ‎（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点 ‎∴EF//CD，又由（Ⅰ）知，DC平面ABC，‎ ‎∴EF⊥平面ABC，‎ ‎∴‎ 在图甲中，∵, ∴,‎ 由得 ,‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴. ‎ 考点：线面垂直，和几何体体积 点评：主要是考查了空间中线面垂直的证明，以及三棱锥的体积的求解，属于基础题．‎ ‎16. 已知函数（其中，，）的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，求的最大值及相应的的值.‎ ‎【答案】（1） （2）的最大值为2，此时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，求得，，得到，将代入求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）由题意，函数图象上一个最低点为，可得，‎ 又由函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，即，可得，‎ 此时函数，‎ 将代入上式，得，即，‎ 因为，可得，所以.‎ ‎（2）因为，则，‎ 所以当且仅当，即时，，则，‎ 即时，函数的最大值为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎17. 如图，某校打算在长为1千米的主干道一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域（为直角）和以为直径的半圆形区域组成，点（异于，）为半圆弧上一点，点在线段上，且满足.已知，设，且.初步设想把咨询台安排在线段，上，把宣传海报悬挂在弧和线段上.‎ ‎（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让最大，求该最大值；‎ ‎（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧和线段 - 26 -‎ 的长度之和最大，求此时的的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，结合三角恒等变换的公式，求得，再利用三角函数的性质，即可求解；‎ ‎（2）由题意，取线段的中点，连接，求得弧长和线段的长度之和表达式，设，，得到，结合导数求得函数的单调性和最值，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，在中，可得，‎ 在中，可得，‎ 在中，可得，‎ 所以 ‎.‎ 因为，则，‎ 所以当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为千米.‎ ‎（2）取线段的中点，连接，则.‎ 由（1）知，，‎ 故的长为，‎ - 26 -‎ 则和线段的长度之和 ‎，.‎ 设，，，，‎ 则，‎ 因为，，所以，‎ 故函数在区间上单调递减，故.‎ 易知函数在区间上也单调递减，所以，‎ 所以，‎ 所以当且仅当时，和线段的长度之和最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值的应用，其中解答中认真审题，根据题意求得函数的解析式，结合三角函数的性质和导数的运算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎18. 已知椭圆的离心率，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2.原点到直线A2B2的距离为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ - 26 -‎ ‎（2）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与以MN为直径的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）y2＝1（2）证明见解析；定值2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设a＝2m，cm，则b＝m.直线A2B2方程为mx﹣2my﹣2m2＝0.由点到直线距离公式能求出m＝1.由此能求出椭圆方程.‎ ‎（2）由A1（0，1）A2（0，﹣1），设P（x0，y0），分别求出直线PA1和直线PA2，设圆G的圆心为，利用圆的性质能证明线段OT的长度为定值2；‎ ‎【详解】（1）因为椭圆C的离心率e，故设a＝2m，cm，则b＝m.‎ 直线A2B2方程为bx﹣ay﹣ab＝0，即mx﹣2my﹣2m2＝0.‎ 所以，解得m＝1.‎ 所以a＝2，b＝1，椭圆方程为y2＝1；‎ ‎（2）由（1）可知A1（0，1）A2（0，﹣1），设P（x0，y0），‎ 直线PA1：y﹣1x，令y＝0，得xN，‎ 直线PA2：y+1x，令y＝0，得xM，‎ 设圆G的圆心为，‎ 则.‎ OG2‎ - 26 -‎ OT2＝OG2﹣r2.‎ 而y02＝1，所以x02＝4（1﹣y02），所以OT2＝4，‎ 所以OT＝2，即线段OT的长度为定值2.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、点到直线距离公式、切割线定理等知识点的合理运用.‎ ‎19. 已知函数，函数，函数 ‎（1）当函数在时为减函数，求a的范围；‎ ‎（2）若a=e(e为自然对数的底数）；‎ ‎①求函数g(x)的单调区间；‎ ‎②证明：‎ ‎【答案】（1）.（2）①单调増区间为单调减区间为；②证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）题意转化为在上恒成立；（2），①，则，现在要讨论（或）的解，关键是函数，同样我们用导数来研究，，当时，为减函数，当时，为增函数，所以对任意，，从而知当时，当，；②这一题比较特殊，要证不等式，即证，即证，考虑到在①中已证明的最小值为1，那么下面我们如果能求出的最大值不大于1（最多等于1），命题即证.这同样利用导数知识可证明.‎ 试题解析：（1）因为函数在时为减函数，所以.‎ - 26 -‎ ‎.‎ 因为,所以,即.‎ ‎①当a=e时，‎ 所以=‎ 记，则，当 当所以>0.‎ 所以在,在；‎ 即g(x)的单调増区间为单调减区间为 ‎②证明：由①得欲证，‎ 只需证 即证.‎ 记，则 当，，‎ 当，．即 由①得.所以. ‎ 考点：函数的单调性，函数的最值，不等式恒成立问题.‎ ‎20. 设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p＝2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常数）.‎ ‎（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，求a1+a2+a3+…+an；‎ ‎（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，若a3＝3，a9＝15，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当k＝1，b＝0，p＝0时，设Sn是数列{an}的前n项和，a2﹣a1＝2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{an}，使得对任意n∈N*，都有Sn≠0，且.若存在，求数列{an}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）（2）an＝2n﹣3（3）存在；a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+an；‎ ‎（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，n（a1+an）＝2（a1+a2+…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）确定数列{an}的通项，利用{an}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{an}的首项a1的所有取值.‎ ‎【详解】（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），①‎ 用n+1去代n得，3（a1+an+1）﹣4＝2（a1+a2+…+an+an+1），②‎ ‎②﹣①得，3（an+1﹣an）＝2an+1，an+1＝3an，‎ 在①中令n＝1得，a1＝1，则an≠0，∴，‎ ‎∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，‎ ‎∴a1+a2+a3+…+an；‎ ‎（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，n（a1+an）＝2（a1+a2+…+an），③‎ 用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）＝2（a1+a2+…+an+an+1），④‎ ‎④﹣③得，（n﹣1）an+1﹣nan+a1＝0，⑤‎ 用n+1去代n得，nan+2﹣（n+1）an+1+a1＝0，⑥‎ ‎⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan＝0，即an+2﹣an+1＝an+1﹣an，‎ ‎∴数列{an}是等差数列.‎ ‎∵a3＝3，a9＝15，∴公差，∴an＝2n﹣3.‎ ‎（3）由（2）知数列{an}是等差数列，∵a2﹣a1＝2，∴an＝a1+2（n﹣1）.‎ 又{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）＝a1+2（p﹣1），‎ - 26 -‎ 得a1＝2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，‎ 又由已知，，故，‎ 一方面，当时，数列{an}中每一项均正数，‎ 故对任意n∈N*，都有，‎ 另一方面，当a1＝2时，Sn＝n（n+1），，‎ 则，‎ 取n＝2，则，不合题意；‎ 当a1＝4时，Sn＝n（n+3），，则，符合题意；‎ 当a1≥6时，Sn＝n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，‎ 则当a1≥6时，均符合题意；‎ 又，‎ ‎∴a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.‎ 三、附加题，共40分，【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎21. 已知矩阵.‎ - 26 -‎ ‎（1）求矩阵的特征值和特征向量；‎ ‎（2）设，求.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）令，求得或，分类讨论，即可求解；‎ ‎（2）由（1）知，根据矩阵的运算性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，令，解得或，‎ 当时，由，取，即，‎ 当时，由，取，即.‎ ‎（2）因为，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的计算，即矩阵的运算性质及应用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），点A（1，0），B（3，），若以直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线AB的极坐标方程；‎ ‎（2）求直线AB与曲线C交点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点A、B写出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；‎ ‎（2）把曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可.‎ ‎【详解】（1）由点A（1，0），B（3，），‎ 所以直线AB的直角坐标方程为：，‎ 化为极坐标方程是：；‎ ‎（2）曲线C的参数方程是（t为参数），‎ 消去参数，化为普通方程是：y2＝x（y≥0）；‎ 由，解得，‎ 即交点的直角坐标为；‎ 化为极坐标是：.‎ ‎【点睛】本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎23. 过直线y＝﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y＝x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点.‎ ‎（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值.‎ ‎（2）求证：直线PQ过定点.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设过A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1•k2‎ - 26 -‎ 为定值；‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2ax﹣y+1＝0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1＝0，该线过定点（0，1）故证得.‎ ‎【详解】（1）设过A作抛物线y＝x2的切线的斜率为k，‎ 则切线的方程为y+1＝k（x﹣a），‎ 与方程y＝x2联立，消去y，得x2﹣kx+ak+1＝0.‎ 因为直线与抛物线相切，所以△＝k2﹣4（ak+1）＝0，‎ 即k2﹣4ak﹣4＝0.由题意知，此方程两根为k1，k2，‎ ‎∴k1k2＝﹣4（定值）；‎ ‎（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y＝x2，得y′＝2x.‎ 所以在P点处的切线斜率为：，‎ 因此，切线方程为：y﹣y1＝2x1（x﹣x1）.‎ 由y1＝x12，化简可得，2x1x﹣y﹣y1＝0.‎ 同理，得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2＝0.‎ 因为两切线的交点为A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1＝0，2x2a﹣y2+1＝0.‎ ‎∴P，Q两点在直线2ax﹣y+1＝0上，即直线PQ的方程为：2ax﹣y+1＝0.‎ 当x＝0时，y＝1，所以直线PQ经过定点（0，1）.‎ ‎【点睛】本题考查转化的技巧，（1）将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，（2）中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性.‎ ‎24. 对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素和同时出现在样本中的概率.‎ ‎（1）求的表达式（用，表示）；‎ ‎（2）求所有的和.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1） ；（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；‎ ‎（2）当都在中时求得的和为1，当同时在中时，求得的和为1，当在中，在中时得到的和为4，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，从和个式子中随机抽取2个，分别有和个基本事件，‎ 所以的表达式为.‎ ‎（2）当都在中时，可得，‎ 而从中选两个数的不同方法数为，则的和为1；‎ 当同时在中时，同理可得的和为1；‎ 当在中，在中时，，‎ 而从中选取一个数，从中选一个数的不同方法数为，‎ 则的和为4，所以所有的和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了组合数公式的应用，以及概率的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意，结合组合数公式和古典概型的概率计算公式，以及独立事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ - 26 -‎ - 26 -‎