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- 2021-06-30 发布
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安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高一6月月考
数学试卷
第I卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.在△ABC中,若 则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图,第(1)个图案由1个点组成,第(2)个图案由3个点组成,第(3)个图案由7个点组成,第(4)个图案由13个点组成,第(5)个图案由21个点组成,……,依此类推,根据图案中点的排列规律,第100个图形由多少个点组成( )
A.9900 B.9901 C.9902 D.9903
3.已知△ABC中,AB= ,AC=1,∠CAB=30°,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
4.在相距4千米的、两点处测量目标 , 若 , 则、两点之间的距离是( )
A.4千米 B.千米 C.千米 D.2千米
5.数列{an}中,a1=1且an-1=2an+1,则{an}的通项为( )
A.2n-1 B.2n C.2n+1 D.2n+1
6.在△ABC中,a=2,b=3, ,则其外接圆的半径为( )
A. B. C. D.9
7.等差数列中,a3=7, a9=19,则a5= ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
8.已知△ABC的周长等于20,面积等于10 , a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,∠A=60°,则a为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.数列的前n项和为 , 若 , 则等于( )
A.1 B. C. D.
10.已知是等比数列,且 , , 那么=( )
A.10 B.15 C.5 D.6
11.在等比数列{an}(n∈N*)中,若 ,则该数列的前10项和为( )
A. B. C. D.
12.△ABC中,a=x,b=2,∠B=60°,则当△ABC有两个解时,x的取值范围是( )
A.x> B.x<2或x> C.x<2 D.2<x<
第II卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 若a3+a4=18﹣a6﹣a5 , 则S8= .
14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A= ,a=1,b= ,则B= .
15.已知数列 , , , …, , …的前n项和为Sn , 计算得S1= , S2= , S3= , 照此规律,Sn=
16.在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=1: :3,则∠B的大小为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. (本题10分)在锐角△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边,且 a=2csinA.
(1)确定∠C的大小;
(2)若c= ,求△ABC周长的取值范围.
18. (本题12分)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且a3、a4、a7成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
19. (本题12分)在中,角所对的边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若, ,求.
20. (本题12分)已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=﹣5.
(Ⅰ)求{an}的通项an;
(Ⅱ)求{an}前n项和Sn的最大值.
21. (本题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=4an﹣3(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
22. (本题12分)已知数列满足.
(1)求证:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和为.
【参考答案】
1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.B 10.C 11.B 12.D
13.36 14. 或 15. 16.
17.(1)解:由 a=2csinA变形得: = ,
又正弦定理得: = ,
∴ = ,
∵sinA≠0,∴sinC= ,
∵△ABC是锐角三角形,
∴∠C=
(2)解:∵c= ,sinC= ,
∴由正弦定理得: = =2,
即a=2sinA,b=2sinB,又A+B=π﹣C= ,即B= ﹣A,
∴a+b+c=2(sinA+sinB)+
=2[sinA+sin( ﹣A)]+
=2(sinA+sin cosA﹣cos sinA)+
=3sinA+ cosA+
=2 (sinAcos +cosAsin )+
=2 sin(A+ )+ ,
∵△ABC是锐角三角形,
∴ <∠A< ,
∴ <sin(A+ )≤1,
则△ABC周长的取值范围是(3+ ,3 ]
18.解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,(d≠0),由已知得: ,即 ,解之得: ,
∴an=2n﹣5,(n∈N*).
(Ⅱ)∵bn= = ,n≥1.
Tn= + + +…+ ,①
Tn= + + +…+ + ,②
①﹣②得: Tn= +2( + +…+ )﹣ =﹣ + ,
∴Tn=﹣1﹣ (n∈N*)
19.(1) ;(2) .
解析:
(1)由正弦定理可得, ,
所以tanA=.
因为A为三角形的内角,所以A=.
(2)a=2,A=,B=,
由正弦定理得,b==2.
20.解:(Ⅰ)设{an}的公差为d,由已知条件, ,
解出a1=3,d=﹣2,所以an=a1+(n﹣1)d=﹣2n+5.
(Ⅱ) =4﹣(n﹣2)2 .
所以n=2时,Sn取到最大值4
21.(Ⅰ)证明:由Sn=4an﹣3,n=1时,a1=4a1﹣3,解得a1=1. 因为Sn=4an﹣3,则Sn﹣1=4an﹣1﹣3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1 ,
整理得 .又a1=1≠0,
所以{an}是首项为1,公比为 的等比数列.
(Ⅱ)解:因为 ,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得 .
可得bn=b1+(b2﹣b′1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1)
= ,(n≥2).
当n=1时上式也满足条件.
所以数列{bn}的通项公式为
22.解:(1),可得,又
,所以数列为公比为的等比数列,所以,即.
(2),设,则,所以 , .