专练65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
命题范围:离散型随机变量的均值、方差及正态分布
基础强化
一、选择题
1.[2020·唐山摸底]随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=0.2,P(2<ξ<6)=0.6,则μ=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.已知X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y)和D(Y)分别是( )
A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6
3.设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a-3),则实数a的值为( )
A.1 B. C.5 D.9
4.已知离散型随机变量X的分布列如下:
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则E(X)=( )
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
5.[2020·吉林长春一中高三测试]随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=( )
X
0
2
a
P
p
A.2 B.3 C.4 D.5
6.[2020·广东广雅中学高三测试]口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以X表示取出的球的最小号码,则E(X)=( )
A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6
7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
8.设X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
9.设随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=P,则P(-1
0),统计结果显示P(60≤X≤120)=0.8,假设我校参加此次考试的有780人,那么估计此次考试中,我校成绩高于120分的有________人.
能力提升
13.[2020·天津一中高三测试]设袋中有两个红球一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回地抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续摸三次,X表示三次中红球被摸中的次数,每个小球被抽取的几率相同,每次抽取相对独立,则方差D(X)=( )
A.2 B.1 C. D.
14.[2020·广西柳州高三测试]甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. B. C. D.
15.2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策,某收费站在统计了2017年清明节前后车辆通行数量,发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ~N(1 000,σ2),若P(ξ>1 200)=a,P(800<ξ<1 000)=b,则+的最小值为________.
16.已知随机变量ξ的分布列如下表,则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为________.
ξ
0
1
2
P
y
0.4
x
专练65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
1.C 由正态分布的特点可知,P(ξ>6)=1-P(ξ<2)-P(2<ξ<6)=0.2,
∴μ==4.
2.B ∵X~B(10,0.6),∴E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4,
又X+Y=8,∴Y=8-X,
∴E(Y)=8-E(X)=8-6=2,
D(Y)=(-1)2D(X)=2.4.
3.B ∵P(X>a+2)=P(X<2a-3),
∴=2,
得a=.
4.D 由分布列的性质可知0.5+m+0.2=1,
∴m=0.3,
∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
5.C 由分布列的性质可知+p+=1,
∴p=,
∴E(X)=0×+2×p+a×=1+=2,
∴a=3,
∴D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,
∴D(2X-3)=4D(X)=4.
6.B 由题可知X可取的值为0,1,2,则P(X=0)==0.6,
P(X=1)==0.3,
P(X=2)==0.1,
∴E(X)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5.
7.B 由题意得X~B(10,p),则D(X)=10×p×(1-p)=2.4,
得p=0.4或p=0.6,又P(X=4)0.5,
∴p=0.6.
8.C 由图可知,μ1<0<μ2,σ1<σ2,
∴P(Y≥μ2)
P(X≤σ1),故B不正确;
当t为任意正数时,由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t),
而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=-1-P(Y≥t),
∴P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D不正确.
9.D ∵X~N(0,1),∴正态分布曲线关于x=0对称,
∴P(X>0)=P(X<0)=,∴P(X>1)=P(X<-1)=P,
∴P(-1120)==0.1,
∴估计高于120分的有780×0.1=78人.
13.C 每次取球时,取到红球的概率为,黑球的概率为,
∴取到红球的概率服从二项分布,即:X~B,
∴D(X)=3××=.
14.B 由已知,ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为2+2=.若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)=2=,所以E(ξ)=2×+4×+6×=.故选B.
15.32
解析:由ξ~N(1 000,σ2),P(ξ>1 200)=a,P(800<ξ<1 000)=b得a=0.5-b,所以a+b=,则+=2(a+b)=2≥2=32,所以+的最小值为32.
16.0.6
解析:由分布列的性质可知x+y+0.4=1,
∴y=0.6-x,
∵E(ξ)=0×y+1×0.4+2x=2x+0.4,
E(ξ2)=0.4+22x=0.4+4x,
D(ξ)=Ε(ξ2)-[E(ξ)]2=0.4+4x-(2x+0.4)2=-4x2+2.4x+0.24,
∴当x=0.3时,D(ξ)max=0.6.