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- 2021-06-30 发布
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- 1 -
广西南宁三中 2020 届高考适应性月考卷(五)理科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 2, 1,0,1A , 2 1 0B x x x ,则 A B ( )
A. 0,1 B. -1,0,1 C. -1,0,1,2 D. 1,0
【答案】B
【解析】
【分析】
化简可得 2 1 0 = 1 2B x x x x x ,由 2, 1,0,1A 直接求交集即可.
【详解】 2 1 0 = 1 2B x x x x x ,
由 2, 1,0,1A ,
所以 1,0,1A B ,
故选:B.
【点睛】本题考查了集合的交集运算,考查了一元二次不等式的计算,属于基础题.
2. 设 i 是虚数单位,若复数 z 满足 ( 1) 1z i i ,则其共轭复数 z ( )
A. i B. i C. 1 i D. 1 i
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的式子,利用复数除法运算求得 z i ,再根据共轭复数的定义求得结果.
【详解】由题得
21 (1 ) 2
1 ( 1)( 1) 2
i i iz ii i i
,
所以 z i ,
故选:A.
【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念,意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
3. 某校高三有文科学生 150 名,理科学生 540 名,其性别比例如图所示,则该校高三女生的
- 2 -
人数为( )
A. 261 B. 369 C. 321 D. 429
【答案】C
【解析】
【分析】
根据统计图分别计算文科和理科的女生人数计算可得
【详解】解:由统计图表可得:该校高三文科女生的人数为150 0.7 105 ,该校高三理科女
生的人数为540 0.4 216 ,所以该校高三女生的人数为105 216 321 ,
故选:C.
【点睛】本题考查统计图表的应用,属于基础题.
4. 二项式
6
2 1
2x x
的展开式中常数项为( )
A. 5
2
B. 5
2 C. 15
16 D. 3
16
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意求二项式
6
2 1
2x x
展开式的通项公式,再令12 3 0r ,解得 4r ,最后求常
数项即可.
【 详 解 】 解 : 二 项 式
6
2 1
2x x
展 开 式 的 通 项 公 式 为 :
- 3 -
62 12 3
1 6 6
1
2
1
2
rr r r
r r
rT C x C xx
,
令12 3 0r ,解得 4r ,
所以常数项 5 6
4
4 15
6
1
12T C
故选:C.
【点睛】本题考查求二项式展开式的常数项,是基础题.
5. 已知 1sin cos 2
,则 2cos 4
( )
A. 7
16 B. 7
8 C. 5
4
D. 7
4
【答案】B
【解析】
【分析】
由同角三角函数的平方关系、二倍角公式可得 3sin2 4
,再由降幂公式、诱导公式可得
2 1 sin2cos 4 2
,即可得解.
【详解】由 1sin cos 2
两边平方得: 2 2 1sin 2sin cos cos 4
,
所以 32sin cos 4
即 3sin2 4
,
所以 2
1 cos 2 1 sin2 72cos 4 2 2 8
.
故选:B.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式及二倍角公式的综合应用,考查了
运算求解能力,属于基础题.
6. 函数 31( ) ln3f x x a x 的图象在 (1, (1))f 处的切线方程为 6 3 0x y b ,则 a b
( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
- 4 -
【解析】
【分析】
先求得切点坐标,对函数求导后利用导数的几何意义求得切线的斜率,然后利用直线的点斜
式方程即可求得切线方程,从而求得 ,a b 的值,从而求得结果.
【详解】因为 31( ) ln3f x x a x ,
当 1x 时, 1(1) 3f ,故切点为 11, 3
.
所以 2( ) af x x x
,
则斜率 (1) 1k f a ,
所以切线方程为 1 (1 )( 1)3y a x ,
又因为切线方程为: 6 3 0x y b ,
比较系数知 1a , 5b ,
所以 a b 6.
故选:D.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用,考查了学生的数学运算能力,属基础题.
7. 运行如图所示的程序算法,则输出的结果为( )
A. 2 B. 1
2
C. 13 D. 13
2
【答案】A
【解析】
- 5 -
【分析】
根据框图的流程模拟运行程序,得到 a 的值出现的周期,根据条件确定跳出循环的 k 值,从而
确定结果.
【详解】当 2a 时, 1k ;当 13
2a 时, 3k ;
当
13 213
2
a 时, 5k ;…;当 13
2a 时, 99k ,
当 2a 时, 101k ,跳出循环;
故选:A.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序发现 a 值出现的
周期性的变化是解题的关键,属于基础题.
8. 已知函数 f x 的部分图象大致如图,则 f x 的解析式可能是( )
A. 2 1 cos2 1
x
x xf x B. sin
x x
xf ex e
C. 1 cosf x xx x D. 1 sin1
x
x
ef x xe
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象的对称性可以排除 A,C,结合在点 0x 附近的变化趋势可得 D 选项为正确答案.
【详解】由图象观察可知,函数图象关于 y 轴对称,
对于选项 A, 2 1 1 2( ) cos cos ( )2 1 1 2
x x
x xf x x x f x
,故为奇函数,不合题意;
对于选项 C, 1 1( ) cos cos ( )f x x x x x f xx x
,故为奇函数,不合题
- 6 -
意;对于选项 B,当 0x ,且 0x 时, 0f x ,故排除 B.
故选:D.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别,由图选式,一般通过图象的性质进行排除,侧重考
查直观想象的核心素养.
9. 如图,已知多面体 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体,E ,F 分别是棱 1AA , 1CC 的中点,点 M
是棱 1BB 上的动点,过点 E ,M ,F 的平面与棱 1DD 交于点 N ,则以下说法不正确的是( )
A. 四边形 EMFN 是平行四边形
B. 四边形 EMFN 是菱形
C. 当点 N 从点 1D 往点 D 运动时,四边形 EMFN 的面积先增大后减小
D. 当点 N 从点 1D 往点 D 运动时,三棱锥 1D EFN 的体积一直增大
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项逐一判断,可得答案. A 项,由面面平行的性质定理可得 // , //EN MF EM NF ,故四边
形 EMFN 是平行四边形. B 项,由 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体,易知 AC 平面 1 1BDD B ,
//EF AC ,故 EF 平面 1 1BDD B ,故 EF MN ,故平行四边形 EMFN 是菱形.C 项,菱形
EMFN 的面积 1
2S EF MN ,线段 EF 的长度是定值,菱形 EMFN 的面积先减小后增大. D
项,由 1 1D EFN F D ENV V ,点 F 到平面 1 1ADD A 的距离不变,当点 N 从点 1D 往点 D 运动时,
三角形 1D EN 的面积一直增大,故三棱锥 1D EFN 的体积一直增大.
【详解】如图所示
- 7 -
平面 1 1 //ADD A 平面 1 1BCC B ,平面 EMFN 平面 1 1ADD A EN ,
平面 EMFN 平面 1 1BCC B MF , //EN MF ,同理 //EM NF ,
四边形 EMFN 是平行四边形,故 A 正确.
1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体, AC BD ,又 1BB 平面 ABCD , 1BB AC ,
1BB BD B , AC 平面 1 1BDD B .
,E F 分别是棱 1 1,AA CC 的中点, //EF AC , EF 平面 1 1BDD B ,
又 MN 平面 1 1BDD B , EF MN ,平行四边形 EMFN 是菱形,故 B 正确.
菱形 EMFN 的面积 1
2S EF MN ,线段 EF 的长度是定值.当点 N 从点 1D 往点 D 运动时,
线段 NM 的长度先减小后增大,菱形 EMFN 的面积先减小后增大,故C 不正确.
1 1D EFN F D ENV V ,点 F 到平面 1 1ADD A 的距离不变.当点 N 从点 1D 往点 D 运动时,三角形
1D EN 的面积一直增大,三棱锥 1D EFN 的体积一直增大,故 D 正确.
故选:C .
【点睛】本题考查面面平行的性质定理、线面垂直的判定定理和求三棱锥体积的方法,属于
中档题.
10. 已知l 为抛物线 2 8x y 的准线,抛物线上的点 A 到l 的距离为 d ,M 点的坐标为 8,2 ,
则 AM d 的最小值为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 2 2
【答案】B
【解析】
【分析】
- 8 -
由抛物线方程可知,抛物线的焦点 F 和准线 l ,过 A 作准线的垂线,由抛物线的定义知
AF d ,然后利用垂线段最短,连接 M F 即为所求.
【详解】如图所示:
抛物线的焦点为 0,2F ,准线为 l : 2 y ,
过 A 作 AN 交l 于点 N ,连接 AF ,
由抛物线的定义得 AF AN d ,
∴ 8AM d AM AF MF ,
当且仅当 M , A , F 三点共线时取“ ”号,
∴ AM d 的最小值为 8.
故选:B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及线段和最小问题,还考查了数形结合的思想方法,
属于中档题.
11. 定义在 R 上的奇函数满足 ( 2) (2 )f x f x ,当 (0,1)x 时, 4( ) log ( 1)f x x ,
则 ( )f x 在 (3,4) 上( )
A. 是减函数,且 ( ) 0f x B. 是增函数,且 ( ) 0f x
C. 是减函数,且 ( ) 0f x D. 是增函数,且 ( ) 0f x
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数结合对称性求得函数周期;结合对数型复合函数的单调性,以及函数值的
正负,即可判断.
- 9 -
【详解】定义在 R 上的奇函数满足 ( 2) (2 )f x f x ,
∴ ( 2) (2 ) ( 2)f x f x f x ,
∴ ( 4) ( )f x f x ,即函数周期是 4.
( )f x 在 (3,4) 上的图象和在 ( 1,0) 上的图象相同,
当 (0,1)x 时, 4( ) log ( 1)f x x ,
∴此时 ( )f x 单调递增,且 ( ) 0f x .
∵ ( )f x 是奇函数,
∴当 ( 1,0)x 时, ( )f x 单调递增,且 ( ) 0f x ,
即当 (3,4)x 时, ( )f x 单调递增,且 ( ) 0f x ,
故选:B.
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,涉及对数型复合函数的单调性,属综合基础
题.
12. 已知函数 sin 3 cosf x x x ( 0 ,xR ),若函数 f x 在区间 ,2 内
没有零点,则 的取值范围是( )
A. 1 2,3 3
B. 1 7,6 12
C. 1 2 1, 0,3 3 6
D.
1 7 1, 0,6 12 12
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简 f x ,求出 f x 的零点,使其零点不在区间 ,2 内,根据不等关系可求答案.
【详解】 sin 3 cos 2sin 3f x x x x
,
令 2sin 03x
,得
3x k , k Z ,即 3k
x
,
- 10 -
因为函数 f x 在区间 ,2 内没有零点,
所以 3k
x
且
4
3 2
k
,解得 1 2
3 3 2
kk , k Z ,
令 0k 可得 1 2
3 3
,令 1k 可得 2 1
3 6
,因为 0 ,所以 的取值范围是
1 2 1, 0,3 3 6
.
故选:C
【点睛】本题主要考查三角函数的性质,把函数化简为最简形式,表示出零点是解题的关键,
侧重考查数学运算的核心素养.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 已知向量 1,2a
r , 3,4b ,则 a
在b
方向上的投影为______.
【答案】 11
5
【解析】
【分析】
设 a
与 b
的夹角为 ,利用平面向量数量积的坐标运算可求得 a
在 b
方向上的投影为
cos a ba
b
,即可得解.
【 详 解 】 设 a
与 b
的 夹 角 为 , 所 以 , a
在 b
方 向 上 的 投 影 为
2 2
1 2 3 4 11cos 53 4
a ba
b
.
故答案为:11
5 .
【点睛】本题考查平面向量投影的计算,涉及平面向量数量积的坐标运算,考查计算能力,
属于基础题.
14. 函数 ( ) sin cosf x x x , ,2 2x
的值域为______.
【答案】[ 2,1]
【解析】
- 11 -
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式可得 ( ) 2 sin 4f x x
,利用正弦函数的图象和性质即
可得解
【详解】 2 2( ) sin cos 2 sin cos2 2f x x x x x
2 sin 4x .
由于
2 2x ,所以 3
4 4 4x ,
所以 21 sin 4 2x
,
所以 2 2 sin 14x
,
即 ( )f x 的值域为:[ 2,1] .
故答案为:[ 2,1]
【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函数化简中的
应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.
15. 设 1F 、 2F 为双曲线
2
2: 13
yC x 的两个焦点,P 为C 上一点且在第一象限,若 1 2PF F△
为等腰三角形,则 P 点的坐标为______.
【答案】 3 15,2 2
或 5 3 7,2 2
【解析】
【分析】
根据双曲线方程求得 c ,结合 1 2PF F△ 为等腰三角形以及双曲线的定义列方程组,解方程组求
得 P 点的坐标.
【详解】设 1F 、 2F 分别为双曲线C 的左、右焦点,根据题意可知 1 3 2c .
因为 1 2PF F△ 为等腰三角形,所以易知 1 1 2 4PF F F 或者是 2 1 2 4PF F F ,
- 12 -
如图分两种情况讨论:
因为 1 2 2 2PF PF a ,所以 2 4 2 2PF 或者 1 4 2 6PF .
①若 2 2PF ,设点 ,P x y ,
则
2
2
22 2
2
13
2 4
0
0
yx
PF x y
x
y
,解得
3
2
15
2
x
y
,即点 3 15,2 2P
;
②若 1 6PF ,
则
2
2
22 2
1
13
2 36
0
0
yx
PF x y
x
y
,解得
5
2
3 7
2
x
y
,即点 5 3 7,2 2P
.
综上所述,点 P 的坐标为 3 15,2 2
或 5 3 7,2 2
.
故答案为: 3 15,2 2
或 5 3 7,2 2
.
【点睛】本题主要考查双曲线定义,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
- 13 -
16. 某顶部有盖的几何体容器的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,若在该几何
体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与顶部圆盖所在平面平行,则小圆柱体
积的最大值为______.
【答案】 32
27
【解析】
【分析】
设 小 圆 柱 体 的 底 面 半 径 为 cos , 则 高 为 1 sin , 0, 2
, 小 圆 柱 体 的 体 积
2cos 1 sinV ,设sin t , 0,1t ,再利用导数求最值,即可得到答案;
【详解】如图,设小圆柱体的底面半径为 cos ,则高为1 sin , 0, 2
,
则小圆柱体的体积 2cos 1 sinV ,设sin t , 0,1t ,
则 2 3 21 1 1V t t t t t ,
则 23 2 1 3 1 1V t t t t ,当 1
3t 时, max
32
27V .
故答案为: 32
27
【点睛】本题考查圆柱体积的最大值求法,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意
借助导数求最值.
- 14 -
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 等差数列 na 的前 n 项和为 nS , 3 3a ,其中 1 3 9, ,a a a 成等比数列,且数列 na 为非常
数数列.
(1)求数列通项 na ;
(2)设 1
n
n
b S
, nb 的前 n 项和记为 nT ,求证: 2nT .
【答案】(1) na n ;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由已知条件列出关于公差的方程求解即可得到通项公式;
(2)由(1)求得 nS 得到 nb ,利用裂项求和法求出 nT 即可证明.
【详解】解:(1)因为 1 3 9, ,a a a 成等比数列,所以 2
3 1 9a a a , 即 23 3 2 3 6d d ,
解得 1d 或 0d (舍去),所以 3 3 1na a n n .
(2)由(1)知:
1
1 1
2 2n
n n n nS na d
.则
1 2 1 121 1n
n
b S n n n n
, 1 2
1 1 1 1 1 1 12 2 1 21 2 2 3 1 1n nT b b b n n n
.
【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式和前 n 项和公式以及裂项相消法求和,
还考查了运算求解的能力,属于中档题.
18. 为了了解市民对电视剧市场的爱好,某上星电视台邀请了 100 位电视剧爱好者(男 50 人、
女 50 人)对 4 月份观看其播出的电视剧集数进行调研,得到这 100 名电视剧爱好者观看集数
的中位数为 39 集(假设这 100 名电视剧爱好者的观看集数均在 25,55 集内),且观看集数在
45,50 集内的人数为 15,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.
- 15 -
(1)求 m , n 的值;
(2)有些观众喜欢带有主角光环意识来观剧.但是最近几年的影视作品里出现了一个有趣的趋
势——攻气十足的女性角色越来越讨人喜欢,傻白甜的女主们则破了主角光环,各种被嫌弃,
更有些剧集中明明是女配的脚本,却因为更具有大女主气场,而获得了比主角更多的关注与
声量,如《完美关系》里的斯黛拉,《精英律师》里的栗娜,《我的前半生》里的唐晶,……
已知在这 100 名电视剧爱好者的女性中有 31 名认为自己有主角光环意识,男性中有 19 名认
为自己有主角光环意识,根据以上数据请同学们制作出列联表,并且判断能否在犯错误的概
率不超过 0.001 的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系?
参考公式及数据:
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
P ( 2
0K k ) 0.05 0.01 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) 0.02m , 0.025n ;(2)列联表见解析,不能.
【解析】
【分析】
(1)根据观看集数在 45,50 集内的人数求得对应的频率,利用频率之和为1,以及中位数列
方程,解方程求得 ,m n 的值.
(2)根据已知条件填写 2 2 列联表,计算出 2K 的值,由此判断出不能在犯错误的概率不超
过 0.001的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系.
- 16 -
【详解】(1)∵观看集数在 45,50 内的人数为 15,
∴观看集数在 45,50 内的频率为 15 0.15100
;
由频率分布直方图得 0.02 2 4 0.01 5 0.15 1m n ,化简得 2 0.07m n ,①
由中位数可得 0.02 5 2 5 2 39 35 0.5m n ,化简得 5 4 0.2m n ,②
由①②解得 0.02m , 0.025n .
(2)根据题意得到列联表:
男 女 总计
观剧有主角光环意识 19 31 50
观剧没有主角光环意识 31 19 50
总计 50 50 100
∴ 2
2 100 19 19 31 31 5.76 10.82850 50 50 50K
,
∴不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图,考查 2 2 列联表独立性检验,属于中档题.
19. 两个边长均为 2 的正方形 ABCD 与 ABEF 按如图的位置放置,M 为 BD 的中点,
0,1FP FB
.
(1)当 1
2
时,证明: //MP 平面 BCE ;
(2)若 D 在平面 ABEF 上的射影为 AF 的中点, MP 与平面 ABCD 所成角为 30°,求 的
值.
- 17 -
【答案】(1)见详解;(2) 7 17
4
.
【解析】
【分析】
(1)根据题意证明平面 PMN ∥平面 BCE ,即可得证;
(2)连接 DF , 由题意可得 2DF ,由 BDF 中可得,根据 MP 与平面 ABCD 所成角为
30°,可得 2 3(1 )MP ,由因为 2 2(1 )BP , 2MB ,再结合
2 2 2 8 8 4 12 3cos 2 16 42 2 2 2 2
BD BF DFDBF BD BF
,在AMP 中由余弦定理
代入 2 2 2 2 cosMP MB BP MP BP MBP 即可得解.
【详解】(1)
如图,作 AB 中点 N ,连接 MN , PN ,
由 1
2
,所以 P 为 FB 中点,
所以 NP ∥ AF ∥ BE ,又 NP 平面 BCE ,
所以 NP ∥平面 BCE ,
同理可得 MN ∥平面 BCE ,
又因为 MN NP N ,
所以平面 PMN ∥平面 BCE ,
又 MP 平面 PMN ,所以 //MP 平面 BCE .
- 18 -
(2)如图:连接 DF ,作 AF 中点 Q ,则 Q 为 D 在平面 ABEF 上的投影,
即 DQ 平面 ABEF ,所以 DQ AF ,又 2AD AF ,
则 ADF 为等边三角形,所以 2DF ,
BDF 中,
2 2 2 8 8 4 12 3cos 2 16 42 2 2 2 2
BD BF DFDBF BD BF
,
由正方形 ABCD 与 ABEF ,所以 ,AB AF AB AD ,
所以 AB 平面 ADF ,所以平面 ABCD 平面 ADF ,
作 FI AD 于 I ,则 I 为 AD 中点,且 FI 平面 ABCD
连接 BI ,在 BI 上取 H ,使得 //PH FI ,
则 PH 平面 ABCD ,连接 MH ,则 PMH 为 MP 与平面 ABCD 所成角为 30°,
由 0,1FP FB
,可得 (1 ) 3(1 )PH FI ,
所以 2 3(1 )MP ,又由 2 2(1 )BP , 2MB ,
在AMP 中,由余弦定理可得:
2 2 2 2 cosMP MB BP MP BP MBP
代入可得: 22(1 ) 3(1 ) 1 0 ,
由 0,1 ,解得: 7 17
4
.
【点睛】本题考查了线面垂直的证明以及投影的概念,考查了通过面面垂直正线面垂直,考
查了余弦定理在立体几何中的应用,有一定的计算量,属于中档题.
20. 函数 2(sin cos )( ) ex
x xf x .
(1)讨论 ( )f x 在[0, ) 上的最大值;
- 19 -
(2)有几个 ( 0 ,且为常数),使得函数 ( )y f x 在 0, 2
上的最大值为
2e
?
【答案】(1)
2
2
e
;(2)两个.
【解析】
【分析】
(1)利用导数求 出 ( )f x 在 30, 2
上的最大值为
2
2
2f
e
,然后当 3
2x 时,
2sin 2cos 2 2x x , 3
2xe e
, 3
2 2
2 2 2f x
e e
,从而可得到答案;
(2)当 0, 2x
时, 0, 2x
,然后分 1 、0 1 两种情况讨论,当 0 1
时,
22 e
f
,记
2
sin cos( ) t
t t tg t e e
,利用导数得到 ( )g t 在 0, 2
上有唯一的
零点即可.
【详解】(1) 4cos( ) x
xf x e
, xR ,
当 0, 2x
时, ( ) 0f x ,单调递增;
当 3,2 2x
时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递减,
∴ ( )f x 在 30, 2
上的最大值为
2
2
2f
e
;
又当 3
2x 时, 2sin 2cos 2 2x x , 3
2xe e
,
此时 3
2 2
2 2 2f x
e e
,
所以 ( )f x 在[0, ) 上的最大值为
2
2
e
.
(2)当 0, 2x
时, 0, 2x .
- 20 -
①当 1 时,
2 2
, f x 的最大值为
2
2
e
,
∴
2 2
2
e e
, 2 ;
②当 0 1 时, f x 的最大值为
2f
,∴
22 e
f
.
令 0,2 2t
,则有
2
sin cos
t
t t t
e e
,
记
2
sin cos( ) t
t t tg t e e
,
则
2
2cos 1
t
tg t e e
, 2(sin cos )( ) t
t tg t e
.
当 0, 2t
时, ( ) 0g t , ( )g t 单调递减,又∵ 02g
,
∴ ( )g t 在 0, 2
上有唯一的零点t t 0 .
当 00,t t 时, ( ) 0g t , ( )g t 单调递增;
当 0 , 2t t
时, ( ) 0g t , ( )g t 单调递减.
∴ 0
2
1 02 2
g t g
e
,又∵ (0) 1 0g ,
所以 ( )g t 在 00,t 上有唯一的零点 1t t ,在 0 , 2t
上的函数值恒大于 0.
即 ( )g t 在 0, 2
上有唯一的零点 1t t .
∴ 2
2f e
在 (0,1) 上有唯一解, 1
1
2t .
综上所述,有两个 符合题意.
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,导数与函数的最值,还考查了分类讨论的思想
- 21 -
和运算求解的能力,属于较难题.
21. 如图,椭圆Q :
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的离心率 1
2e ,左、右焦点分别为 1F , 2F ,
过 1F , 2F 分别作两条相互垂直的直线 1l , 2l ,分别交椭圆Q 于 A ,C , ,B D 四点, 1l , 2l 的
交点为 M ,三角形 1 2MF F 面积的最大值为 1.
(1)求椭圆Q 的方程;
(2)当四边形 ABCD 的面积 S 最小时,求点 M 的坐标.
【答案】(1)
2 2
14 3
x y ;(2) (0,1)M 或 (0, 1) .
【解析】
【分析】
( 1 ) 由 已 知 可 得 2 2 2
1 2 4MF MF c , 根 据 面 积 公 式 及 基 本 不 等 式 可 得
2
2 2
1 2 1 2
1 1
2 4MFFS MF MF MF MF ,计算求得 1c ,进而可得 ,a b 即可得出结果;
(2)设直线 1l : 1x my ,则直线 2l : 1 1x ym
,分别与椭圆方程联立,根据弦长公
式及韦达定理化简可得
2 2
2 2
1 1 1| || | 722 4 3 4 3
m mS AC BD m m
,令 2 1m t ,化简可得
2
72
1 1 49
2 4
S
t
,根据二次函数性质可知 2t ,进而得出 m ,通过直线方程联立可求
得交点坐标.
【详解】(1)∵ 1 2l l ,∴ 1 2MF MF ,
设 1( ,0)F c , 2 ( ,0)F c ,则 2 2 2
1 2 4MF MF c ,
- 22 -
2
2 2 2
1 2 1 2
1 1
2 4MFFS MF MF MF MF c ‖ ,
当且仅当 1 2 2MF MF c 时取得最大值 2c ,∴ 2 1c , 1c ,
∵椭圆Q 的离心率 1
2
ce a
,∴ 2a ,
又由 2 2 2 3b a c ,∴椭圆Q 的方程为
2 2
14 3
x y .
(2)由椭圆的对称性知,斜率为 0 时和斜率不存在是面积一样,
设直线 1l : 1x my ,由
2 2
2 21, 4 3 6 9 04 3
1
x y
m y my
x my
,
设 1 1,A x y , 2 2,C x y ,则 1 2 2
6
4 3
my y m
, 1 2 2
9
4 3y y m
,
2 2 2
2 2
1 2 2 2
36 36 4 3 12 1
| | 1 1 4 3 4 3
m m m
AC m y y m m m
,
若 0m ,| | 3AC ,这时| | 4BD , 1 4 3 62S ,
若 0m ,则直线 2l : 1 1x ym
,
由
2 2
2
2
1, 3 64 3 4 9 0
1 1
x y
y ym mx ym
,
同理得 22
2
2
112 1 12 1
| | 3 4 34
mmBD m
m
,
∴ 2 2 2 2
2 2 2 2
12 1 12 11 1 1 1| | 722 2 4 3 4 3 4 3 4 3
m m m mS AC BD m m m m
‖ .
设 2 1m t ,则 2 1m t ( 1t ),
2
1 7272 72 1 13 1 4 1 1 1 493 4
2 4
t tS t t
t t t
,
当 2t 时, 288 649S ,∴ min
288
49S ,
- 23 -
这时 2 1m , 1m ,
当 1m 时, 1l : 1x y , 2l : 1x y ,
由 1 0
1 1
x y x
x y y
当 1m 时, 1l : 1x y , 2l : 1x y ,
由 1 0
1 1
x y x
x y y
故当 S 最小时,点 M 的坐标为 (0,1)M 或 (0, 1) .
【点睛】本题考查直线和椭圆的关系,考查韦达定理的应用和弦长公式,考查基本不等式及
二次函数在求最值中的应用,属于综合题,难度较难.
22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 10 cos
8 10 sin
x a
y a
( 为参数,常数
10a ).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 的极坐标方程为
sin 2 24
.
(1)写出 1C 及直线 l 的直角坐标方程,并指出 1C 是什么曲线;
(2)设 A 是曲线 1C 上的一个动点,求点 A 到直线 l 的距离的最小值.
【答案】(1) 22 8 10x y a , 4 0x y , 1C 表示以 0,8 为圆心, 10 a 为半
径的圆;(2) 2 2 10 a .
【解析】
【分析】
(1)消去参数 ,即得 1C 的直角坐标方程,利用 cosx , siny ,可将直线方程化
为普通方程;
(2)计算点到直线的距离,再讨论直线与曲线的位置关系,即可得到答案;
【详解】(1)消去参数 ,即得 1C 的直角坐标方程为 22 8 10x y a ,
所以,当 10a 时, 1C 表示以 0,8 为圆心, 10 a 为半径的圆.
- 24 -
因为 sin 2 24
,
所以 sin cos 4 .
因为 cosx , siny ,
所以直线 l 的直角坐标方程为 4y x ,即 4 0x y .
(2)圆心 0,8C 到直线 l 的距离为
22
0 8 4 2 2
1 1
d
,
若 d r ,即 2a ,圆 1C 与直线 l 相交,点 A 到直线l 的距离的最小值为 0,
若 d r ,即10 2a 时,则点 A 到直线l 的距离的最小值为 2 2 10 a .
综上所述,当 2a 时,圆 1C 与直线 l 相交,点 A 到直线 l 的距离的最小值为 0;
当10 2a 时,则点 A 到直线l 的距离的最小值为 2 2 10 a .
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、点到直线距离公式的应用,考
查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
23. 已知 0, 0f x x a x b a b .
(1)当 2a , 1b 时,解不等式 9f x ;
(2)若 f x 的最小值为 2,求 1 1
1 2a b
的最小值.
【答案】(1) , 4 5, ;(2) 1 2
2 3
.
【解析】
【分析】
(1)当 2a , 1b 时, 2 1 9f x x x , 分类讨论即可得解;
(2)由绝对值三角不等式可得 f x x a x b x b x a a b a b ,
若 f x 的最小值为 2,则 2a b ,所以 ( 1) 3a b ,再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】(1)当 2a , 1b 时,
2 1 9f x x x ,
- 25 -
所以 1
2 1 9
x
x
或 1 2
3 9
x
或 2
2 1 9
x
x
,
解得: 4x 或 5x≥ ,
故解集为 , 4 5, ;
(2)由 0, 0a b ,
所以 f x x a x b x b x a a b a b ,
若 f x 的最小值为 2,则 2a b ,所以 ( 1) 3a b ,
1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 2( )(( 1) ) ( ) ( 2 ) ( 2)1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 2 3 2 2 3
b aa ba b a b a b
,
所以 1 1
1 2a b
的最小值为 1 2
2 3
.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用,考
查了分类讨论思想,属于基础题.
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