2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 9页

www.ks5u.com ‎2.1.2　‎两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．‎ ‎2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．‎ ‎3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.‎ 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养.‎ 魔术师的地毯 有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？‎ ‎(1)　　　　　　　　(2)‎ 为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．‎ ‎1．两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90°‎ α1＝α2＝90°‎ 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2‎ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？‎ ‎[提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．‎ ‎2．两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 对应关系 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1‎ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等． (　　)‎ ‎(2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行． (　　)‎ ‎(3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直． (　　)‎ ‎(4)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)‎ A．－3　　　B．3　　　C．－　　　D． B　[kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.]‎ ‎3．若直线l1，l2的方向向量分别为(1，－3)和(1，k)，且l1⊥l2，则k＝________.‎ 　[由于l1⊥l2，则(1，－3)·(1，k)＝0，‎ 即1－3k＝0，∴k＝.]‎ ‎4．(教材P58T6(1)改编)l1的斜率为－，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．‎ ‎－　[由条件l1⊥l2得－×＝－1，解得m＝－.]‎ 两直线平行的判定及应用 ‎【例1】　(1)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．‎ ‎①l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；‎ ‎②l1的斜率为－，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；‎ ‎③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；‎ ‎④l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)．‎ ‎(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．‎ ‎[思路探究]　(1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；‎ ‎(2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得．‎ ‎[解]　(1)①kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．‎ ‎②l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．‎ ‎③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2.‎ ‎④由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．‎ 需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1.‎ 所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．‎ ‎(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB＝，kCD＝＝.‎ 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝.解得m＝－2.‎ 经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2.‎ 判断两条不重合直线是否平行的步骤 ‎[跟进训练]‎ ‎1．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．‎ ‎[解]　设D(m，n)，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC.‎ 所以解得所以顶点D的坐标为(3,4).‎ 两直线垂直的判定及应用 ‎【例2】　(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直．‎ ‎①l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；‎ ‎②l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；‎ ‎③l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10,40)，N(10，40)．‎ ‎(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．‎ ‎[思路探究]　(1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k1k2＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0.‎ ‎(2)含字母的问题判断要分k存在和不存在两种情况来解题．‎ ‎[解]　(1)①k1＝＝2，k2＝＝，‎ k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．‎ ‎②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.‎ ‎③由A，B的横坐标相等得 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．‎ k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.‎ ‎(2)因为直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，所以l2的斜率存在，设为k2.‎ 当k2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1⊥l2；当k2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k2＝－1，得·＝－1，解得a＝2.综上可知，a的值为5或2.‎ 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 ‎(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．‎ ‎(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．‎ ‎(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．‎ ‎[解]　∵A，B两点纵坐标不相等，‎ ‎∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，‎ ‎∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3.‎ ‎①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1.‎ ‎∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．‎ ‎②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得 kAB＝＝，‎ kCD＝＝.‎ ‎∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，‎ 即·＝－1，解得m＝1.‎ 综上，m的值为1或－1.‎ 两直线平行与垂直的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．两直线l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？‎ ‎[提示]　(1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合．‎ ‎2．对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1k2＝－1吗？为什么？‎ ‎[提示]　不一定．当两条直线的斜率都存在时，k1k2＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零．‎ ‎【例3】　△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．‎ ‎[思路探究]　由A为直角顶点可得kAB·kAC＝－1.‎ ‎[解]　因为∠A为直角，则AC⊥AB，‎ 所以kAC·kAB＝－1，‎ 即·＝－1，得m＝－7.‎ ‎ ‎ ‎1．[变条件]本例中，将“C(2，m)”改为“C(2,3)”，你能判断三角形的形状吗？‎ ‎[解]　如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.‎ ‎∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．‎ ‎2．[变条件]本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？‎ ‎[解]　由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．‎ 若∠B为直角，则AB⊥BC，‎ 所以kAB·kBC＝－1，‎ 则·＝－1，得m＝3.‎ 若∠C为直角，则AC⊥BC，‎ 所以kAC·kBC＝－1，‎ 即·＝－1，得m＝±2.‎ 综上可知，m＝3或m＝±2.‎ ‎3．[变条件]若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？‎ ‎[解]　若∠A为直角，‎ 则AC⊥AB，‎ 所以kAC·kAB＝－1，‎ 即·＝－1，‎ 得m＝－7；‎ 若∠B为直角，‎ 则AB⊥BC，‎ 所以kAB·kBC＝－1，‎ 即·＝－1，‎ 得m＝3；‎ 若∠C为直角，则AC⊥BC，‎ 所以kAC·kBC＝－1，‎ 即·＝－1，‎ 得m＝±2.‎ 综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.‎ 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 ‎1．两直线平行或垂直的判定方法 斜率 直线 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在 相等 平行或重合 积为－1‎ 垂直 ‎2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．‎ ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2‎ B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1‎ C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 D　[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]‎ ‎2．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)‎ A． B．a C．－ D．－或不存在 D　[由l1⊥l2，当a≠0时，kl2＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D.]‎ ‎3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．‎ 　[由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，‎ 所以kMN＝＝，解得m＝.]‎ ‎4．若两条直线l1，l2的方向向量分别为(1,2)和(1，k)，当l1∥l2时，k的值为________．‎ ‎2　[l1∥l2时k1＝k2或斜率均不存在，由条件可知k＝2.]‎ ‎5．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．‎ ‎[解]　直线l1的方向向量为(－3－m,3)，‎ 直线l2的方向向量为(－2,1)．‎ 当l1∥l2时＝，得m＝3；‎ 当l1⊥l2时，－2(－3－m)＋3＝0得m＝－，‎ 故l1∥l2时m＝3，l1⊥l2时m＝－.‎