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- 2021-06-30 发布
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课时作业47 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1.设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:依题意,由l⊥β,l⊂α可以推出α⊥β;反过来,由α⊥β,l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件,故选A.
2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( B )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α
C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α
D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α
解析:若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a⊥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α,故C错误;若a∥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α或b与α相交,故D错误.
3.(2020·武汉调研)已知两个平面相互垂直,下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题个数是( C )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:构造正方体ABCDA1B1C1D1,如图,①在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,BD⊂平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故①错;②在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1内的任意一条直线,l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直,故②正确;③在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⊂平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故③错;④在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,过交线AD上的点作交线的垂线l,则l可能与另一平面垂直,也可能与另一平面不垂直,故④错.故选C.
8
4.(2020·成都检测)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是( C )
A.若c⊂平面α,则a⊥α
B.若c⊥平面α,则a∥α,b∥α
C.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α
D.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α
解析:对于A,直线a可以在平面α内,也可以与平面α相交;对于B,直线a可以在平面α内,或者b在平面α内;对于D,如果a⊥α,b⊥α,则有a∥b,与条件中两直线异面矛盾.
5.(2020·贵州适应性考试)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下面四个命题:
①若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,则m∥n.
其中正确命题的序号是( D )
A.①④ B.①②
C.②③④ D.④
解析:对于①,同垂直于一个平面的两个平面可能相交,命题①错误;对于②,在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行,可能相交,也可能异面,命题②错误;对于③,直线m与n可能异面,命题③错误;对于④,由面面平行的性质定理知命题④正确.故正确命题的序号是④,选D.
6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( B )
A. B.
C. D.
解析:如图,取正三角形ABC的中心O,连接OP,则∠PAO是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为,所以AD=×=,AO=AD=×=1.三棱柱的体积为×()2
8
AA1=,解得AA1=,即OP=AA1=.所以tan∠PAO==,因为直线与平面所成角的范围是,所以∠PAO=.
7.如图,在四面体DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( C )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.
8.(2020·湖北黄冈模拟)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A、C重合的点,AS⊥PC于S,AN⊥PB于N,则下列不正确的是( B )
8
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
解析:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又AN⊂平面ABP,∴BC⊥AN,又∵AN⊥PB,BC∩PB=B,∴AN⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,∴AN⊥PC,又∵PC⊥AS,AS∩AN=A,∴PC⊥平面ANS,又PC⊂平面PBC,∴平面ANS⊥平面PBC,∴A正确,C,D显然正确,故选B.
二、填空题
9.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为4.
解析:∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形,由BC⊥AC,且AC∩PA=A,得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
10.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.
解析:∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
11.(2020·南昌模拟)侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为.
8
解析:记该正三棱锥为PABC,P为顶点,△ABC为底面,由题意知,正三棱锥的侧棱两两垂直,PA=PB=PC,△ABC为正三角形.如图,在平面ABC上,过点A作BC的垂线AD交BC于点D,过点P作PO⊥AD交AD于点O,连接PD,因为△ABC是正三角形,所以D是BC的中点,又PB=PC,所以PD⊥BC.因为AD∩PD=D,所以BC⊥平面PAD,因为PO⊂平面PAD,所以BC⊥PO,又AD∩BC=D,所以PO⊥平面ABC,所以∠PAO是PA与底面ABC所成的角,设侧棱长是1,在等腰直角三角形PBC中,BC=,PD=,AD=,PA与底面ABC所成角的正弦值为==.
12.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为.
解析:点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C==.
三、解答题
13.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:
8
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
证明:(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,
又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.
又AE∩AB=A,所以PD⊥平面ABE.
14.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若AF⊥EF,求证:平面PAD⊥平面ABCD.
证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,
所以AB∥平面PDC,
又因为AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF,
所以AB∥EF.
8
(2)因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF,(1)中已证AB∥EF,所以AB⊥AF.
又AB⊥AD,由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D,所以AF∩AD=A,AF,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
15.(2020·四川绵阳质检)如图,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面,点C是半圆弧上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( D )
A.MN∥AB
B.MN与BC所成的角为45°
C.OC⊥平面VAC
D.平面VAC⊥平面VBC
解析:∵M,N分别为VA,VC的中点,∴MN∥AC,故A错误;∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∵MN∥AC,∴MN与BC所成的角是90°,故B错误;∵∠ACO<∠ACB=90°,∴OC与平面VAC不垂直,故C错误;∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵VA垂直于半圆O所在的平面,∴VA⊥BC,又VA∩AC=A,∴BC⊥平面VAC,又BC⊂平面VBC,∴平面VAC⊥平面VBC,故D正确.
16.(2020·河南郑州测试)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.
(1)求证:AD⊥PB.
(2)若E在线段BC上,且EC=BC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求出三棱锥DCEG的体积;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:连接PF,∵△PAD是等边三角形,F为AD的中点,∴PF⊥AD.∵底面ABCD
8
是菱形,∠BAD=,∴BF⊥AD.
又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP,又PB⊂平面BFP,∴AD⊥PB.
(2)能在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD.
由(1)知AD⊥BF,∵PD⊥BF,AD∩PD=D,∴BF⊥平面PAD.
又BF⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面PAD,
又平面ABCD∩平面PAD=AD,且PF⊥AD,∴PF⊥平面ABCD.
连接CF,交DE于点H,过H作HG∥PF交PC于点G,
∴GH⊥平面ABCD.又GH⊂平面DEG,∴平面DEG⊥平面ABCD.
∵AD∥BC,∴△DFH∽△ECH,
∴==,
∴==,
∴GH=PF=,
∴VDCEG=VGCDE=S△CDE·GH
=×DC×CE×sin×GH=.
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