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- 2021-06-30 发布
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天津一中 2020-2021-1 高三年级 数学学零月考试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)、第 II 卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试用时
90 分钟。第 I 卷 1 页,第 II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上,答在 试卷上的无效。
一.选择题
1.已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5} , A = {1, 2, 4} , B = {2, 5} ,则 (CU A) È B = ( ) A. {3, 4, 5} B. {2, 3, 5} C. {5} D. {3}
x0
2.命题“存在 x0 Î R, 2
£ 0”的否定是 ( )
A.不存在 x0 Î R,
2x0
>0 B.存在 x0 Î R,
2x0 ³ 0
C.对任意的 x Î R, 2x £ 0 D.对任意的 x Î R, 2x >0
3.已知条件 p : ( x 2 + 1)( x - 5) > 0 .条件 q :
x - 2
x 2 + 1
> 0 ,则 p 是 q 的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7 1 1 1
5
4.已知 a = log , b = ( ) 3 , c = log
3
3 2 4 1
,则 a, b, c 的大小关系为 ( )
A. a > b > c
B. b > a > c
C. b > c > a
D. c > a > b
1 = 2 -
1 (n ³ 2, n Î N * ) ,则数列
的第 项为
5.数列 {an } 满足 a1 = 2, a2 = 1 , a a a
{an }
100
( )
A. 1
100
B. 1
50
n -1
C.
n n +1
1
2100
D. 1
250
uuur
6.在矩形 ABCD 中, AB =
uuur uuur uuur
3, AD = 2 , P 为矩形内一点,且 | AP |= 1 ,若
AP = lAB + mAD (l,mÎ R ) ,则 3l+ 2m 的最大值为 ( )
A. 6
2
B. 2 C. 3
2
D. 6 + 3 2
4
ìx2 - x + 3, x £ 1,
ï x
7.已知函数 f (x) = í
ïx +
î
2 , x > 1.
x
设 a Î R ,若关于 x的不等式 f ( x) ³|
+ a | 在 R 上恒成
2
立,则 a的取值范围是 ( )
A. [- 47 , 2]
16
B. [- 47 , 39 ]
16 16
C. [-2 3, 2]
D. [-2 3, 39 ]
16
二.填空题
8. i 是虚数单位,则 | 8 - i |= .
2 + i
9.在 ( x -
2 )5 的展开式中, x2 的系数是 .
x2
10. 为了解学生课外阅读的情况,随机统计了 n 名学生的课外阅读时
间,所得数据都在 [50,150] 中,其频率分布直方图如图所示,已知 在 [50,100) 中的频数为160 ,则 n 的值为 .
11.现有 6 位机关干部被选调到 4 个贫困自然村进行精准扶贫,要求每位机关干部只能参 加一个自然村的扶贫工作,且每个自然村至少有 1 位机关干部扶贫,则不同的分配方案有
种.。
12.设甲、乙两位同学上学期间,每天 7 : 30 之前到校的概率均为 2 .假定甲、乙两位同学到
3
校情况互不影响,且任一位同学每天到校情况互相独立.用 X 表示甲同学上学期间的三天中
7 : 30 之前到校的天数,则随机变量 X 的数学期望为 ;设 M 为事件“上学期间的 三天中,甲同学在 7 : 30 之前到校的天数比乙同学在 7 : 30 之前到校的天数恰好多 1 ”,则事 件 M 发生的概率为 .
ì x2 , x ³ t
13. 已知函数 f ( x) = í
î x, x < t
,若存在实数 a ,使得函数 y = f (x) - a 有两个零点,则 t 的
取值范围是 .
三.解答题
14.在 DABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知
a = 2 2, b = 5, c =
13.
(1)求角 C 的大小;
(2)求 sin A 的值;
(3)求 sin(2 A +
p
) 的值.
4
15. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 P - ABCD 中, AD / / BC , ÐABC = 90o , PA ^ 平
面 ABCD , PA = AB = BC = 2, AD = 1 若 M 为 PC 的中点,
(1)求证: DM / / 平面 PAB ;
(2)求直线 MD 与平面 PBD 成角的正弦值大小;
(3)求二面角 P - BD - M 的余弦值大小.
16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 数列 {bn } 为等差数列, b1 = -1, bn > 0(n ³ 2) ,
b2 Sn + an = 2 且 3a2 = 2a3 + a1 .
(1)求 {an } , {bn } 的通项公式;
(2)设 cn =
1
,Tn = b1c1 + b2c2 + L + bn cn ,求 Tn .
an
17.已知函数 f ( x) = (ax 2 + x - 1)e x + f ¢(0) .
(1)求 f ¢(0) 的值;
(2)讨论函数 f ( x) 的单调性;
(3)若 g ( x) = e- x f ( x) + ln x, h( x) = e x ,过原点 (0, 0) 分别作曲线 y = g (x) 与 y = h(x) 的切线
l1 , l2 ,且 l1 , l2 关于 x 轴对称,求证: -
(e + 1)3
2e2
< a < -
e + 2 .
2
18.已知函数 f ( x) = ln x - ax + 1, g ( x) = x(e x - x) ,
(1)若直线 y = 2x 与函数 f ( x) 的图像相切,求实数 a 的值;
(2)若存在 x1 Î (0, +¥), x2 Î (-¥, +¥) ,使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 ,且 x1 - x2 > 1, 求实数 a 的取 值范围;
(3)当 a = -1 时,求证: f ( x) £ g ( x) + x 2
参考答案:
1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A
8. 13
9.-10
10. 400
11. 1560
58
12. 2
243
13.t∈(0,1)∪(-∞,0)
14.
(1) cosC=
a 2 + b2 + c 2 8 + 25 - 13 2
= =
C = p
4
2ab
20 2 2
(2)sin A= a sin C
c
= 2 2 × 2 = 2 13 = 2
13
a < c
2 13 13
Q A为锐角
cosA= 3
13
sin 2 A = 2 sin A × cos A = 12
13
cos 2 A = 2 cos 2 A -1 = 5
13
p
sin(2 A + ) =
2 (sin 2 A + cos 2 A)
4 2
= 2 ´ 17 = 17 2
2 13 26
17
uuur
(1)MD =(0,-1,-1)
r
平面PBD的法向量为u = (2,1,1)
17
设直线D与平面PBD
或因为a
17
uur r
sina|cos=
ur r
2
=
3
2 ×
6
3
u
D × u
r r |=
| D | × | u |
r
17
(3)平面MBD的法向量为t = (2, +1, -1)
平面P - BD - M 所成角为b,且b 为锐角
17
r r
cos b =| cos < u × t >|=
uur
PB = (0, 2, -2)
uuur
PD = (1, 0, -2)
r r
r
u × t
r
| u | × | t |
= 4 = 2
6 3
17
ì y - z = 0
í
î x - 2z = 0
uuur
ì x = 2
í
ï
Þ ï y = 1
î z = 1
17
BD = (1, -2, 0)
uuur
MD = (0, -1, -1)
17
ìb2 Sn + an = 2 ①
当n ³ 2时 í + =
17
îb2 Sn -1
an -1 2 ②
17
由①-②可得:b2 × an + an - an -1 = 0
17
(b2 + 1) × an = an -1
(b2 > 0)
17
an = 1 = 1 = 1 = 1
17
an -1
1 + b2
b2 - (-1)
b2 - b1 d
17
{an }GP, 且公比为q > 0
Q 3a2 = 2a3 + a1
17
3a q = 2a q 2 + a
(a ¹ 0)
17
1 1 1 1
2q2 - 3q + 1 = 0
17
ìq = 1
ï
ìq = 1
17
í 或 í 2
17
îd = 1(舍)
ïîd = 2
17
Q an
= ( 1 )n -1
2
17
bn = 2n - 3
17
(2)Cn
= 2n -1
17
b × C
= (2n - 3) × 2n -1
17
n n
17
bnCn
Tn
= (n - 3 ) × 2n
2
= (n - 5 ) × 2n +1 + 5 (n Î N * )
2
17
(1)f / ( x) = (ax2 + 2ax + x)e x
f / (0) = 0
(2) f / ( x) = x × (ax + 2a +1)e x × x Î R
17
1°当a = 0时
f / ( x) = x × e x
x (-¥0) (0 + ¥)
17
2°当a = - 1 时
f / ( x)
f ( x)
f / ( x) = - 1 x 2e x £ 0
- +
¯
f ( x) 在(-¥, +¥) ¯
17
2 2
17
3°当a < - 1 时
2
x (-¥, -2 1 ) (-2 - 1 , 0) (0, +¥)
a a
17
f / ( x)
f ( x)
- + -
¯ ¯
17
4° 当 - 1 < a < 0时 x
2
(-¥, 0)
(0, -2 × 1 ) (-2 - 1 , +¥)
a R
17
f / ( x)
f ( x)
- + -
¯ ¯
17
5°当a > 0时 x
(-¥, -2 - 1) (-2 - 1 , 0) (0, +¥)
a a
17
f / ( x)
f ( x)
+ - +
¯
17
2
(3) g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x 过(0, 0)作h( x) = e x 切线l : y = ex Q l1与l2关于x轴对称
ì y = -ex
l1 : í
î g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x
设切点P(x0 ,g (x0 ))
17
ì2ax
+1 + 1
= -e( x
> 0) ①
17
í
ï 0 x2 0
17
ïax2 + x
- 1+ ln x
= -a x0 ②
17
î 0 0 0
17
由①可知 : a =
1 - e +1由①②可知x
- 3 + 2 ln x
= -ex
17
2 x2 2x
0 0 0
17
0 0
(e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3 = 0
t ( x0 ) = (e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3
t ( x0 )在(0, +10)
t (1) = e + 1 - 3 > 0
t ( e
) = e - 3 + ln e < 0
e + 1 2
x Î ( e ,1)
0 e + 1
1 Î (1,1 + 1 )
e + 1
x0 e
a = - 1 ( 1 )2 - e +1 ( 1 )
2 x2
2 x0
在(1,1+ 1 ) ¯
e
-(e + 1)3
-e - 2
a Î ( , )
2e2 2
18.
(1)f / ( x) = 1 - a( x > 0)
x
设切点P(x0 2x0)
切线方程为:y = ( 1 - a)x x0
0 + ln x0
ì 1
ï
í x0
- a = 2
ìa = -1
Þ í =
ïln x = 0
î x0 1
î 0
(2)g(x )=x
(ex2 - x ) = 0 (e x > x)
x2 = 0
2 2 2
欲想$x1 > 1, f (x1 ) = 0
只需 : ax1 = ln x1 +1
只需 : a = ln x1 +1
x1
h( x) = ln x + 1 ( x > 1)
x
h/ ( x) = - ln x < 0
x2
且h(1) = 1 lim h( x) = 0
只需:0 < a < 1
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