广东省广州市第五中学高二数学2018-2019学年下学期第一次段考考试试卷 19页

广州五中高二数学2018-2019学年下学期第一次段考考试试卷 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、 单选题：每小题5分，共60分 ‎1.设复数z满足‎ z=‎‎4i‎1+1‎，则z的共轭复数z在复平面内的对应点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设a,b∈R，则“a>b”是“a‎2‎‎>‎b‎2‎”的（ ）‎ A．充分必要条件 B.既不充分也不必要条件 ‎ C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 ‎3.函数fx=aex-x+1‎，已知fx在x=0‎时取得极值，则a的值为（ ）‎ A．5 B.3 C.-1 D.1‎ ‎4.已知空间向量OA‎=‎x,y,8‎，OB‎=‎z,3,4‎，OA‎//‎OB，且AB‎=5‎‎2‎，则实数z的值为（ ）‎ A.5 B.-5 C.5或-5 D.-10或10‎ ‎5.设曲线y=ax-ln‎1-2x在点‎0,0‎处的切线方程为y=x，则a=‎（ ）‎ A.-3 B.3 C.-1 D.1‎ ‎6.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c‎2‎‎=a‎2‎+‎b‎2‎，设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用S‎1‎‎,S‎2‎,‎S‎3‎ 表示三个侧面面积，S‎4‎表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）‎ A. S‎4‎‎=S‎1‎+S‎2‎+‎S‎3‎ B. ‎S‎4‎‎2‎‎=S‎1‎‎2‎+S‎2‎‎2‎+‎S‎3‎‎2‎ C. S‎4‎‎3‎‎=S‎1‎‎3‎+S‎2‎‎3‎+‎S‎3‎‎3‎ D. ‎S‎4‎‎4‎‎=S‎1‎‎4‎+S‎2‎‎4‎+‎S‎3‎‎4‎ ‎7.若fx=x‎3‎-ax‎2‎+1‎在‎1,3‎上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. ‎-∞,3‎ B. ‎9‎‎2‎‎,+∞‎ C. ‎3,‎‎9‎‎2‎ D.‎‎ ‎‎0,3‎ ‎8.已知函数fx=x‎3‎-3x‎2‎+2‎，对于任意x‎1‎‎,x‎2‎∈[-1,1]‎都有‎|fx‎1‎-f(x‎2‎)|≤m，则实数m的最小值为（ ）‎ A.0 B.2 C.4 D.6‎ ‎9.已知函数f(x)‎的定义域为‎[-1,4]‎，部分对应值如下表，‎ f(x)‎的导函数y=f‎'‎x的图像如右图所示，当‎10‎时，xf‎'‎x-fx<0‎，若a=fee,b=fln2‎ln2‎,c=‎f‎-3‎‎-3‎，则a,b,c的大小关系正确的是（ ）‎ A．a＜b＜c B. b＜c＜a C. a＜c＜b D. c＜a＜b 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 一、 填空题：每小题5分，共20分 ‎13.已知i为虚数单位，复数z=i‎3-ai，且z‎=5‎，则实数a=‎__________.‎ ‎14.已知双曲线x‎2‎‎-ky‎2‎=1‎的一个焦点是‎5‎‎,0‎，则其渐进线方程为___________.‎ ‎15.已知函数fx=xlnx-ax有两个极值点，则实数a的取值范围是__________.‎ ‎16.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除‎2‎‎3‎用一个单独的符号表示外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式，例如‎2‎‎5‎‎=‎1‎‎3‎+‎‎1‎‎15‎，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人‎1‎‎2‎，不够，每人‎1‎‎3‎，余‎1‎‎3‎，再将‎1‎‎3‎这分成5份，每人得‎1‎‎15‎，这样每人分得‎1‎‎3‎‎+‎‎1‎‎15‎.形如‎2‎‎2n+1‎（n=2,3,4…）的分解：‎2‎‎5‎‎=‎1‎‎3‎+‎‎1‎‎15‎，‎2‎‎7‎‎=‎1‎‎4‎+‎‎1‎‎28‎，‎2‎‎9‎‎=‎1‎‎5‎+‎‎1‎‎45‎，按此规律，则‎2‎‎2n+1‎‎=‎___________(n=2,3,4…）‎ 三．解答题：共70分 ‎17.（10分）在数列an中a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，an+1‎‎=‎‎3‎anan‎+3‎，‎ ‎（1）求a‎2‎‎,a‎3‎,‎a‎4‎的值，由此猜想数列an的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想。‎ ‎18.（12分）已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的离心率为‎3‎‎2‎，短轴的一个端点到右焦点的距离为2‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l:y=‎1‎‎2‎x+m交于椭圆C于A，B两点，且AB‎=‎‎5‎，求m的值。‎ ‎19.（12分）已知函数fx=ax-1-lnxa∈R.‎ ‎（1）若a=1‎，求f(x)‎在区间‎[‎1‎e,e]‎上的极值；‎ ‎（2）讨论函数f(x)‎的单调性。‎ ‎20‎ ‎.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△DAP为直角三角形且DA=DP，△ABP是等边三角形 ‎（1）求证：PA⊥BD ‎（2）若BA=BD=2，求二面角D-PC-B的正弦值 ‎21.（12分）已知抛物线y‎2‎‎=2pxp>0‎上点T‎3,t到焦点F的距离为4‎ ‎（1）求t，p值；‎ ‎（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 OA‎∙OB=5‎ (其中O为坐标原点)，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标。‎ ‎22.（12分）已知函数fx=ax+1‎+blnx，曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线方程为x-y+1=0‎，‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当x∈‎‎1,+∞‎时，fx>klnxx+1‎+2‎恒成立，求实数k的取值范围.‎ 广州五中高二数学2018-2019学年下学期第一次段考考试试卷 参考答案 一． 单选题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C C B B C A A C D ‎ 二．填空题：‎ ‎13.‎±4‎ 14.‎ y=±2x 15.‎ 00‎，列表；‎ x ‎1‎e‎,1‎ ‎1‎ ‎1,e g‎'‎x ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ gx 单调递减 极小 单调递增 所以，gx在区间‎1‎e‎,e上的有极小值f‎1‎=0‎，无极大值。………6分 ‎（2）∵函数f(x)‎的定义域为‎(0,+∞)‎，f‎'‎x‎=a-‎1‎x=‎ax-1‎x ………7分 当a≤0‎时，ax-1<0‎，从而f‎'‎x‎<0‎，故函数fx在‎(0,+∞)‎上单调递减 ………8分 当a>0‎时 若‎0‎‎1‎a，则ax-1>0‎，从而f‎'‎x‎>0‎ 故函数fx在‎(0,‎1‎a)‎上单调递减，在‎(‎1‎a,+∞)‎上单调递增 ………12分 ‎20（1）证明：取AP中点M，连DM,MB，‎ ‎∵DA=DP，△ABP为等边三角形，∴PA⊥DM，PA⊥BM，又DM‎∩‎BM=M，‎ ‎∴PA⊥平面DMB，又∵BD‎⊂‎平面DMB，∴PA⊥BD ……………4分 ‎（2）解：∵BA=BD=2，M为AP中点，结合题设条件可得DM=1，BM=‎3‎，‎ ‎∴BD‎2‎‎=MB‎2‎+‎MD‎2‎，∴MD⊥MB。如图，以MP,MB,MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(-1，0,0)，B(0，‎3‎,0),P(1，0，0),D(0，0，1),‎ 得DP‎=‎1,0,-1‎,DC=AB=‎1,‎3‎,0‎,BP=‎1,-‎3‎,0‎,BC=AD=‎‎1,0,1‎。设平面DPC的一个法向量n‎1‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎，则n‎1‎‎⋅DP=0‎n‎1‎‎⋅DC=0‎即x‎1‎‎-z‎1‎=0‎x‎1‎‎+‎3‎y‎1‎=0‎，∴‎n‎1‎‎=(-‎3‎,1,-‎3‎)‎ 设平面PCB的一个法向量n‎2‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎，由n‎2‎‎⋅BC=0‎n‎2‎‎⋅BP=0‎即x‎2‎‎+z‎2‎=0‎x‎2‎‎-‎3‎y‎2‎=0‎，∴‎n‎2‎‎=(‎3‎,1,-‎3‎)‎ ‎∴‎cos=n‎1‎‎⋅‎n‎2‎n‎1‎‎|n‎2‎|‎=‎‎1‎‎7‎ 设二面角D-PC-B的平面角为α，则由图可知sinα>0‎，‎ ‎∴sinα=‎1-cos‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎‎7‎ ………12分 ‎21.(1)由抛物线定义得‎3+p‎2‎=4‎，即p=2‎，‎ 所以抛物线方程为y‎2‎‎=4x，代入点T‎3,t，可解得t=±2‎‎3‎ ………4分 ‎（2）设直线AB的方程为x=my+n，Ay‎1‎‎2‎‎4‎‎,‎y‎1‎,By‎2‎‎2‎‎4‎‎,‎y‎2‎，‎ 联立y‎2‎‎=4xx=my+n，消元得y‎2‎‎-4my-4n=0‎，‎ 则y‎1‎‎+y‎2‎=4m,y‎1‎y‎2‎=-4n ………….6分 由OA‎∙OB=5‎，得y‎1‎y‎2‎‎2‎‎16‎‎+y‎1‎y‎2‎=5‎ ………………7分 所以y‎1‎y‎2‎‎=-20‎或y‎1‎y‎2‎‎=4‎（舍去），‎ 即‎-4n=-20‎，即n=5‎，所以直线AB的方程为x=my+5‎ …………11分 所以直线AB过定点（5,0） ……………12分 ‎22（1）函数y=fx的定义域为‎0,+∞‎，f‎'‎x‎=-ax+1‎‎2‎+‎bx，‎ 把‎1,f‎1‎代入方程x-y+1=0‎中，得‎1-f‎1‎+1=0‎，‎ 即f‎1‎=2‎，∴a=4‎，‎ 又因为f‎'‎‎1‎‎=1‎，∴‎-a‎4‎+b=1‎，故b=2‎， …………4分 ‎（2）由（1）可知fx=‎4‎x+1‎+2lnx，当x>1‎时 fx>klnxx+1‎+2‎恒成立等价于‎2-2x+‎2x+2-klnx>0‎ …………5分 设gx=2-2x+‎2x+2-klnx 则g‎'‎x‎=-2+2lnx+‎2x+2-k∙‎1‎k=2lnx+‎‎2-kx …………6分 由于x>1,lnx>0‎ 当k≤2‎时，g‎'‎x‎>0‎，则y=g(x)‎在‎(1,+∞)‎上单调递增，‎ gx>g‎1‎=0‎恒成立.‎ 当k>2‎时，设hx=‎g‎'‎x，则h‎'‎x‎=‎2‎x-‎2-kx‎2‎>0‎，‎ 则y=‎g‎'‎x为‎1,+∞‎上单调递增函数，‎ 又由g‎'‎‎1‎‎=2-k<0‎。‎ 即gx在‎1,+∞‎上存在x‎0‎，使得g‎'‎x‎0‎‎=0‎ ………10分 当x∈(1,x‎0‎)‎时，g(x)‎单调递减 当x∈(x‎0‎,+∞)‎时，g(x)‎单调递增；‎ 则gx‎0‎