2020年高中数学第一章集合与函数概念1 4页

‎1.1.1‎‎ 集合的含义与表示 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于(　　)‎ A．4　　　　　　　　 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：由题设可知3≠4，‎ ‎∴m＋1＝4，‎ ‎∴m＝3.‎ 答案：B ‎2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)‎ A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．‎ 答案：A ‎3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为(　　)‎ A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}‎ C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}‎ 解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.‎ 答案：B ‎4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　)‎ A．5 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：利用集合中元素的互异性确定集合．‎ 当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.‎ 答案：C ‎5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有的元素个数为(　　)‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为＝|x|，－＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x 4‎ ‎＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A.‎ 答案：A ‎6．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.‎ 解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以＝－1，∴a＝－1，b＝1，‎ 故b－a＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．‎ 解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，‎ 所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.‎ 答案：2‎ ‎8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．‎ 解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11.‎ ‎∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．‎ 答案：8‎ ‎9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.‎ 解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.‎ 此时集合A＝{2}．‎ ‎(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．‎ 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.‎ 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．‎ 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；‎ 当k＝1时，A＝{4}．‎ ‎10．已知集合A含有两个元素a－3和‎2a－1，‎ ‎(1)若－3∈A，试求实数a的值；‎ ‎(2)若a∈A，试求实数a的值．‎ 解析：(1)因为－3∈A，‎ 所以－3＝a－3或－3＝‎2a－1.‎ 若－3＝a－3，则a＝0.‎ 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝‎2a－1，则a＝－1.‎ 4‎ 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数 a的值为0或－1.‎ ‎(2)因为a∈A，‎ 所以a＝a－3或a＝‎2a－1.‎ 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．‎ 当a＝‎2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．有以下说法：‎ ‎①0与{0}是同一个集合；‎ ‎②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；‎ ‎③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；‎ ‎④集合{x|4＜x＜5}是有限集．‎ 其中正确说法是(　　)‎ A．①④ B．②‎ C．②③ D．以上说法都不对 解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．‎ 答案：B ‎2．已知集合P＝{x|x＝＋，a，b为非零常数}，则下列不正确的是(　　)‎ A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P 解析：(1)a>0，b>0时，x＝＋＝1＋1＝2；‎ ‎(2)a<0，b<0时，x＝＋＝－1－1＝－2；‎ ‎(3)a，b异号时，x＝0.‎ 答案：A ‎3．已知集合M＝{a|a∈N，且∈N}，则M＝________.‎ 解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.‎ 答案：{4,3,2}‎ ‎4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．‎ 解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A 4‎ 中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．‎ 答案：{5}‎ ‎5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．‎ ‎(1)若1∈A，求a的值；‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；‎ ‎(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．‎ 解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，‎ 所以a＝－3.‎ ‎(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，‎ 解得x＝－，符合题意；‎ 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，‎ 即Δ＝22－‎4a＝0，所以a＝1.‎ 故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．‎ ‎(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，‎ 即a≠0且Δ＝22－‎4a>0，‎ 所以a≠0且a<1.‎ 故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．‎ ‎6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：‎ ‎①1∉S；②若a∈S，则∈S.‎ 请解答下列问题：‎ ‎(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；‎ ‎(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－∈S.‎ 解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴＝∈S.‎ 又∵∈S，≠1，∴＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和.‎ ‎(2)由a∈S，则∈S，可得∈S，即＝＝1－∈S.∴若a∈S，且a≠0，则1－∈S.‎ 4‎