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- 2021-06-30 发布
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高中数学常见题型解法归纳及反馈检测
第2讲 函数的值域(最值)常见求法2
【知识要点】
一、函数值域的定义
函数值的集合叫做函数的值域.
二、值域范围的决定因素
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域,都要考虑定义域,函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.
三、常见函数的值域
1、一次函数的值域为.
2、二次函数,当时的值域为,
时的值域为.
3、反比例函数的值域为.
4、指数函数的值域为.
5、对数函数的值域为.
6、幂函数的值域为,幂函数的值域为.
7、正弦函数、余弦函数的值域为,正切函数的值域为.
四、求函数的值域常用的方法
求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式
法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数(函数、数形结合、导数)”和“三不(基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式)”.
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五、函数的值域一定要用集合或区间来表示
六、函数值域与最值的联系
函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题,所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.
【方法讲评】
方法6 判别式法
使用
情景
形如的函数.
解题
步骤
一般先将函数化成二次方程,再利用判别式来求函数的值域.
【例1】求函数的值域.
【反馈检测1】求函数的值域.
方法7 基本不等式法
使用
情景
一般变量是正数,变量的和或积是定值.
解题
步骤
一般先进行配凑,再利用基本不等式求函数的最值,
从而得到函数的值域.
【例2】已知,求函数 的最小值.
【例3】已知,求函数的最大值.
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【反馈检测2】已知,,且,则的最小值为.
【反馈检测3】已知αR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,
则的取值范围是___________.
方法8 单调性法
使用
情景
函数的单调性容易判断.
解题
步骤
先判断函数的单调性,再利用函数的单调性得到函数的值域.
【例4】求函数的值域.
【例5】求函数的值域.
【反馈检测4】求函数的值域.
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方法9 数形结合法
使用
情景
函数有明显的几何意义.
解题
步骤
先找到“数”对应的“形”,再利用数形结合分析解答.
【例6】求函数的值域.
【例7】 如果函数定义在区间上,求的最小值.
【例8】求函数的值域.
【例9】设是上的偶函数,对任意,都有且当时,内关于的方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是( )
A.(1,2) B. C. D.
【例10】点为抛物线:上一动点,定点,则与到轴的距离之和的最小值为( )
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A.9 B.10 C.8 D.5
【例11】已知x,y满足约束条件
(1)求目标函数的最大值和最小值;
(2)若目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,求的值;
(3)求的取值范围.
【反馈检测5】若点的坐标为(3,2),为抛物线的焦点,点是抛物线上的一动点,则取得最小值时,点的坐标是 .
A
V
C
B
【例12】圆锥的底面直径,母线长,点在母线上,且,
有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点,则这只蚂蚁爬行的最短距离是( )
A. B.
C. D.
【反馈检测6】如图,圆锥的底面圆直径为2,母线长为4,若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点,则小虫爬行的最短距离为______.
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方法10 导数法
使用
情景
函数的结构比较复杂,利用导数可以方便地求出函数的单调性.
解题
步骤
先利用导数求出函数的单调性,再根据函数的单调性得到函数的值域.
【例12】已知函数,
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)求在区间上的最小值.
【例13】两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将表示成的函数;
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
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