2020高中数学 课时分层作业16 等比数列前n项和的性质及应用 新人教A版必修5 5页

课时分层作业(十六)　等比数列前n项和的性质及应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且‎4a1,‎2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)‎ A．7　　　　　　　　　 B．8‎ C．15 D．16‎ C　[由题意得‎4a2＝‎4a1＋a3，‎ ‎∴4(a1q)＝‎4a1＋a1·q2，‎ ‎∴q＝2，∴S4＝＝15.]‎ ‎2．已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于(　　)‎ ‎【导学号：91432233】‎ A. B．1‎ C．2 D．4‎ C　[S3＝1，S6＝9，‎ ‎∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.]‎ ‎3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ B　[显然q≠1，由Sn＝，得93＝，解得q＝2.‎ 由an＝a1qn－1，得48＝3×2n－1，解得n＝5.故选B.]‎ ‎4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)‎ ‎【导学号：91432234】‎ A．1 025 B．1 024‎ C．10 250 D．20 240‎ C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，‎ ‎∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，‎ ‎∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C.]‎ ‎5．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　)‎ A．S1 B．S2‎ - 5 -‎ C．S3 D．S4‎ C　[由题S1正确．‎ 若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65.‎ 若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12，得q＝，a3＝18，a4＝27，S4＝65，满足题设，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.‎ ‎【导学号：91432235】‎ ‎－1　[由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．‎ 又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.]‎ ‎7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.‎ ‎2　[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，‎ S2n＝，‎ S奇＝.‎ 由题意得＝.‎ ‎∴1＋q＝3，∴q＝2.]‎ ‎8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.‎ (10n－1)＋n2　[数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．‎ 所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.]‎ 三、解答题 ‎9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值. ‎ ‎【导学号：91432236】‎ ‎[解]　∵S30≠3S10，∴q≠1.‎ 由得 ‎∴ ‎∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，‎ ‎∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.‎ - 5 -‎ ‎10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．‎ ‎[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 由已知得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝2n＋n，‎ 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)‎ ‎＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)‎ ‎＝＋ ‎＝(211－2)＋55‎ ‎＝211＋53＝2 101.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　) ‎ ‎【导学号：91432237】‎ A．3∶4 B．2∶3‎ C．1∶2 D．1∶3‎ A　[在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.]‎ ‎2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为(　　)‎ A．1 673 B．1 675‎ C. D. D　[因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为 ‎＝＝.]‎ ‎3．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝________. ‎ - 5 -‎ ‎【导学号：91432238】‎ ‎2n＋1－n－2　[因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，‎ 所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]‎ ‎4．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.‎ ‎(－1)n－1×　[设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即‎4a5＝a3，于是q2＝＝.‎ 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.‎ 故等比数列{an}的通项公式为 an＝×－n－1‎ ‎＝(－1)n－1×.]‎ ‎5．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【导学号：91432239】‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 由得 ‎∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，‎ 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，‎ ‎∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.‎ ‎∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.‎ ‎∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，‎ ‎∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ‎＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋ ‎＝2×－n＋ - 5 -‎ ‎＝n2＋.‎ 即数列{cn}的前n项和为n2＋.‎ - 5 -‎