2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形顶层设计前瞻三角函数与解三角形热点问题教学案含解析新人教A版 11页

三角函数与解三角形热点问题 ‎ 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 三角函数的图象与性质 ‎2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12，2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15；2017·浙江，18；2017·山东，16；2017·全国Ⅱ，14‎ 直观想象、逻辑推理 三角恒等变换 ‎2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4；2017·全国Ⅰ，17；2017·山东，9‎ 逻辑推理、数学运算 解三角形 ‎2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17；2018·北京，15；2018·天津，15；2017·全国Ⅲ，17‎ 逻辑推理、数学运算 ‎ 热点聚焦突破 教材链接高考——三角函数的图象与性质 ‎[教材探究](必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)‎ 题目9　已知函数y＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x.‎ ‎(1)求它的递减区间；‎ ‎(2)求它的最大值和最小值.‎ 题目10　已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4 x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.‎ ‎[试题评析]　两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后利用三角函数的性质求解.‎ ‎【教材拓展】 已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性.‎ 解　(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).‎ 设A＝，B＝，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ 探究提高　1.将f(x)变形为f(x)＝2sin是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.‎ ‎2.把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.‎ ‎【链接高考】 (2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；‎ ‎(2)求函数y＝＋的值域.‎ 解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，‎ 所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，‎ 即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，‎ 故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.‎ 又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.‎ ‎(2)y＝＋ ‎＝sin2＋sin2 ‎＝＋ ‎＝1－ ‎＝1－cos.‎ 由于x∈R，知cos∈[－1，1]，‎ 因此，所求函数的值域为.‎ 教你如何审题——三角函数与平面向量 ‎【例题】 (2020·湘赣十四校联考)已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(，cos x)，且函数f(x)＝m·n.‎ ‎(1)若x∈，且f(x)＝，求sin x的值；‎ ‎(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，△ABC的面积为，且f＝bsin C，求△ABC的周长.‎ ‎[审题路线]‎ ‎[自主解答]‎ 解　(1)f(x)＝m·n＝(sin x，－1)·(，cos x)‎ ‎＝sin x－cos x＝2sin.‎ ‎∵f(x)＝，∴sin＝.‎ 又∵x∈，∴x－∈，‎ ‎∴cos＝.‎ ‎∴sin x＝sin＝×＋× ‎＝.‎ ‎(2)∵f＝bsin C，‎ ‎∴2sin A＝bsin C，即6sin A＝bsin C.‎ 由正弦定理可知6a＝bc.‎ 又∵a＝，∴bc＝6.‎ 由已知△ABC的面积等于bcsin A＝，∴sin A＝.‎ 又∵A∈，∴A＝.‎ 由余弦定理，得b2＋c2－2bccos A＝a2＝7，故b2＋c2＝13，‎ ‎∴(b＋c)2＝25，∴b＋c＝5，‎ ‎∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.‎ 探究提高　1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化.‎ ‎2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”.‎ ‎【尝试训练】 (2020·郑州质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝，n＝，m·n＝.‎ ‎(1)求tan Atan B的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ 解　(1)由题意可得m·n＝cos2＋cos2＝，‎ 即－cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0，‎ 展开可得cos Acos B＝9sin Asin B，‎ 所以tan Atan B＝.‎ ‎(2)由余弦定理可得c2－a2－b2＝－2abcos C，‎ 所以＝＝－tan C＝tan(A＋B)‎ ‎＝·＝(tan A＋tan B)‎ ‎≥×2＝，‎ 当且仅当tan A＝tan B＝时等号成立.‎ 所以的最小值为.‎ 满分答题示范——解三角形 ‎【例题】 (12分)(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＋b＝2c，求sin C.‎ ‎[规范解答]‎ 解　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，‎ 故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.　用正弦定理化角为边2′‎ 由余弦定理得cos A＝＝.　　　　用余弦定理化边为角4′‎ 因为0°