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- 2021-06-30 发布
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1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减;
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增;
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于x=-对称
2.幂函数
(1)定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②幂函数的图象过定点(1,1);
③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
【知识拓展】
1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.
2.幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( × )
(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.( × )
(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(4)函数是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
1.(教材改编)已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a<-3 D.a≤-3
答案 D
解析 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间
(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( )
答案 D
解析 由a+b+c=0和a>b>c知a>0,c<0,
由c<0,排除A,B,又a>0,排除C.
3.幂函数(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,
(a∈Z)为偶函数,
且在区间(0,+∞)上是减函数,
所以(a-5)2-2<0,从而a=4,5,6,
又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 如图,由图象可知m的取值范围是[1,2].
5.(教材改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则此函数的解析式为________;在区间________上递减.
答案 (0,+∞)
解析 设f(x)=xa,则2a=,
∴a=-,即幂函数的解析式为,单调减区间为(0,+∞).
题型一 求二次函数的解析式
例1 (1)(2016·太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.
答案 x2+2x
解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),
所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,
得a=1,所以f(x)=x2+2x.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
解 ∵f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
又f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1,
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
答案 (1)x2+2x+1 (2)-2x2+4
解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,
由已知f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,
故f(x)=x2+2x+1.
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,
∴-a=-(-),即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,
又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.
题型二 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的单调性
例2 函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0) B.(-∞,-3]
C.[-2,0] D.[-3,0]
答案 D
解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,
由f(x)在[-1,+∞)上递减知
解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].
引申探究
若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________.
答案 -3
解析 由题意知a<0,
又=-1,∴a=-3.
命题点2 二次函数的最值
例3 已知函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.
解 (1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=-2.
(2)当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上
且对称轴为x=.
①当0<≤1,即a≥1时,
f(x)=ax2-2x的对称轴在[0,1]内,
∴f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.
∴f(x)min=f()=-=-.
②当>1,即02x+m恒成立,则实数m的取值范围是________________.
(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________.
答案 (1)(-∞,-1) (2)
解析 (1)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,
令g(x)=x2-3x+1-m,
要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1.
由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
(2)2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,-3<0,成立;
当x≠0时,a<2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值,所以a<
eq f(1,2).
综上,实数a的取值范围是 .
思维升华 (1)二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
①一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.
②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
(1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足10,则实数a的取值范围为________.
答案
解析 由题意得a>-对1.
(2)已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值.
解 ∵函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
∴对称轴为直线x=1,
∵x=1不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-21时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,f(x)取得最小值,
即f(x)min=-1.
综上,当-21时,f(x)min=-1.
题型三 幂函数的图象和性质
例5 (1)(2016·济南诊断测试)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α等于( )
A. B.1 C. D.2
(2)若则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(-1,2) D.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由幂函数的定义知k=1.又f=,
所以α=,解得α=,从而k+α=.
(2)因为函数的定义域为[0,+∞)
且在定义域内为增函数,
所以不等式等价于
解2m+1≥0,得m≥-;
解m2+m-1≥0,得m≤或m≥;
解2m+1>m2+m-1,得-1>1,
即a0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;[6分]
(3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.[9分]
综上可知,a的值为或-3.[10分]
1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为( )
A.-3 B.13 C.7 D.5
答案 B
解析 函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,
∴m=-8,∴f(1)=2+8+3=13.
2.幂函数(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ∵(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,
∴m2-4m<0,即0f(x2)
C.f(x1)0,又x1+x2=0,
则-x1>x2-,故f(x1)g(x)>f(x)
解析 如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知,h(x)>g(x)>f(x).
9.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.
答案 (-∞,-5]
解析 方法一 ∵不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立,
∴mx<-x2-4对x∈(1,2)恒成立,
即m<-(x+)对x∈(1,2)恒成立,
令y=x+,则函数y=x+在x∈(1,2)上是减函数.
∴41,即a>2时,f(x)在[1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,不合题意;
②当0≤≤1,即0≤a≤2时,符合题意;
③当<0,即a<0时,不符合题意.
综上,a的取值范围是[0,2].
11.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5].
∵f(x)的对称轴为x=1,
∴当x=1时,f(x)取最小值1;
当x=-5时,f(x)取最大值37.
(2)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的对称轴为x=-a,
∵f(x)在[-5,5]上是单调函数,
∴-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.
故实数a的取值范围为a≤-5或a≥5.
12.已知幂函数(m∈N*).
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若函数f(x)的图象经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
解 (1)因为m2+m=m(m+1)(m∈N*),
而m与m+1中必有一个为偶数,所以m2+m为偶数,
所以函数(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函数.
(2)因为函数f(x)的图象经过点(2,),
所以即
所以m2+m=2,解得m=1或m=-2.
又因为m∈N*,所以m=1,
又因为f(2-a)>f(a-1),
所以解得1≤a<,
故函数f(x)的图象经过点(2,)时,m=1.
满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为[1,).
13.已知函数f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
解 要使f(x)≥0恒成立,则函数在区间[-2,2]上的最小值不小于0,设f(x)的最小值为g(a).
(1)当-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得a≤,故此时a不存在;
(2)当-∈[-2,2],即-4≤a≤4时,g(a)=f=3-a-≥0,得-6≤a≤2,
又-4≤a≤4,故-4≤a≤2;
(3)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,
得a≥-7,又a<-4,故-7≤a<-4,
综上得-7≤a≤2.
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