2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第3讲　简单的三角恒等变换 4页

第3讲　简单的三角恒等变换 一、知识梳理 ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β．‎ C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β．‎ S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β．‎ S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．‎ T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .‎ T(α－β)：tan(α－β)＝ .‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．‎ C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．‎ T2α：tan 2α＝ .‎ 常用结论 记准四个必备结论 ‎(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.‎ ‎(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan αtan β)．‎ ‎(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中sin φ＝，cos φ＝)．‎ 二、习题改编 ‎1．(必修4P127练习T2改编)若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．‎ 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.‎ 答案：－ ‎2．(必修4P131练习T5改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________．‎ 解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ 答案： ‎3．(必修4P146A组T4改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．‎ 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ 所以原式＝－tan 20°tan40°＋tan 20°tan 40°＝.‎ 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)对任意角α都有1＋sin α＝.(　　)‎ ‎(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．　(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×‎ 二、易错纠偏 (1)不会逆用公式，找不到思路；‎ ‎(2)不会合理配角出错；‎ ‎(3)忽视角的范围用错公式．‎ ‎1．化简：＝________．‎ 解析：原式＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： ‎2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．‎ 解析：tan β＝tan[α－(α－β)]‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案： ‎3．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________．‎ 解析：法一：sin＝，‎ 得sin θ－cos θ＝，①‎ θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，‎ 可求得sin θ＋cos θ＝，‎ 所以sin θ＝，cos θ＝，‎ 所以tan θ＝，tan 2θ＝＝－.‎ 法二：因为θ∈且sin＝，‎ 所以cos＝，‎ 所以tan＝＝，‎ 所以tan θ＝.‎ 故tan 2θ＝＝－.‎ 答案：－