高三数学总复习学案43 12页

学案43　空间的平行关系 导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．‎ 自主梳理 ‎1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．‎ ‎2．直线和平面平行的判定：‎ ‎(1)定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行．‎ ‎(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒________；‎ ‎(3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒________.‎ ‎3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒________.‎ ‎4．两个平面的位置关系有________、________.‎ ‎5．两个平面平行的判定：‎ ‎(1)定义：两个平面没有________，称这两个平面平行；‎ ‎(2)判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α；‎ ‎(3)推论：a∩b＝P，a，b⊂α，a′∩b′＝P′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒________.‎ ‎6．两个平面平行的性质定理：‎ α∥β，a⊂α⇒________；‎ α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒________.‎ ‎7．与垂直相关的平行的判定：‎ ‎(1)a⊥α，b⊥α⇒________；(2)a⊥α，a⊥β⇒________.‎ 自我检测 ‎1．(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)‎ A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α ‎2．(2011·烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α ‎3．下列各命题中：‎ ‎①平行于同一直线的两个平面平行；‎ ‎②平行于同一平面的两个平面平行；‎ ‎③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；‎ ‎④垂直于同一直线的两个平面平行．‎ 不正确的命题个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎4．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作(　　)‎ A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个 ‎5．(2011·南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.‎ 探究点一　线面平行的判定 例1　已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.‎ 变式迁移1　(2011·长沙调研)在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.‎ 探究点二　面面平行的判定 例2　在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，M、N、P分别是C‎1C、B‎1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.‎ 变式迁移2　已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．‎ ‎(1)求证：平面G‎1G2G3∥平面ABC；‎ ‎(2)求S△G‎1G2G3∶S△ABC.‎ 探究点三　平行中的探索性问题 例3　(2011·惠州月考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，‎ AD＝DC＝AB，BC⊥PC.‎ ‎(1)求证：PA⊥BC；‎ ‎(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．‎ 变式迁移3　‎ 如图所示，在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?‎ 转化与化归思想综合应用 例　(12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．‎ ‎(1)求证：BP⊥AC；‎ ‎(2)当点P落在什么位置时，AP∥平面SMC?‎ ‎(3)求三棱锥B—NMC的体积．‎ 多角度审题　第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P是SD的中点，二是从结论“AP平行于平面SMC”出发找P满足的条件．‎ ‎【答题模板】‎ ‎(1)证明　连接BD，∵ABCD为正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，又SD⊥底面ABCD，‎ ‎∴SD⊥AC，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵BP⊂平面SDB，‎ ‎∴AC⊥BP，即BP⊥AC.[4分]‎ ‎(2)解　取SD的中点P，连接PN，AP，MN.‎ 则PN∥DC且PN＝DC.[6分]‎ ‎∵底面ABCD为正方形，∴AM∥DC且AM＝DC，‎ ‎∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN.‎ 又AP⊄平面SMC，MN⊂平面SMC，∴AP∥平面SMC.[8分]‎ ‎(3)解　VB—NMC＝VN—MBC＝S△MBC·SD＝··BC·MB·SD＝×1×××2＝.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．‎ ‎2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．‎ ‎1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．‎ ‎2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为(　　)‎ ‎①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．‎ A.1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎2.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是(　　)‎ A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥m C.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等 ‎3.在空间中，下列命题正确的是(　　)‎ A.若a∥α，b∥a，则b∥α B.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C.若α∥β，b∥α，则b∥β D.若α∥β，a⊂α，则a∥β ‎4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是(　　)‎ ‎①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；‎ ‎②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；‎ ‎③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；‎ ‎④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.‎ A.0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎5.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有(　　)‎ A.1对 B．2对 C.无数对 D．1或2对 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．‎ ‎,‎ ‎7.(2011·大连模拟)过三棱柱ABC—A1B‎1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1A1平行的有______条．‎ ‎8.‎ 如图所示，ABCD—A1B‎1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B‎1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)‎ 如图所示，在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．‎ 求证：MN∥平面AA‎1C1C.‎ ‎10．(12分)(2010·湖南改编)‎ 如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱DD1的中点．‎ 在棱C1D1上是否存在一点F，使B‎1F∥平面A1BE？证明你的结论．‎ ‎11．(14分)‎ ‎(2011·济宁模拟)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．‎ ‎(1)求证：AE⊥BE；‎ ‎(2)求三棱锥D—AEC的体积；‎ ‎(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.‎ 学案43　空间的平行关系 自主梳理 ‎1．平行　相交　在平面内　平行　相交　2.(1)公共点　(2)a∥α　(3)a∥β　3.a∥l　4.平行　相交　5.(1)公共点 ‎(3)α∥β　6.a∥β　a∥b　7.(1)a∥b　(2)α∥β 自我检测 ‎1．D　2.D　3.A　4.C ‎5．面ABC和面ABD 课堂活动区 例1　解题导引　证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．‎ 证明　‎ 如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.‎ ‎∵矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB，∴AE＝BD.‎ 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB，‎ 又∵PM∥AB∥QN，‎ ‎∴＝，＝，∴＝.‎ ‎∴PM綊QN，∴四边形PQNM为平行四边形，‎ ‎∴PQ∥MN 又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，‎ ‎∴PQ∥平面BCE.‎ 变式迁移1　证明　取PD中点F，连接AF、NF、NM.‎ ‎∵M、N分别为AB、PC的中点，‎ ‎∴NF綊CD，AM綊CD，∴AM綊NF.‎ ‎∴四边形AMNF为平行四边形，∴MN∥AF.‎ 又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，‎ ‎∴MN∥平面PAD.‎ 例2　解题导引　面面平行的常用判断方法有：‎ ‎(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．‎ 证明　方法一　‎ 如图所示，连接B1D1、B‎1C.‎ ‎∵P、N分别是D‎1C1、B‎1C1的中点，‎ ‎∴PN∥B1D1.‎ 又B1D1∥BD，‎ ‎∴PN∥BD.‎ 又PN⊄面A1BD，‎ ‎∴PN∥平面A1BD.‎ 同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，‎ ‎∴平面MNP∥平面A1BD.‎ 方法二　‎ 如图所示，连接AC1、AC.‎ ‎∵ABCD—A1B‎1C1D1为正方体，‎ ‎∴AC⊥BD.‎ 又CC1⊥面ABCD，‎ BD⊂面ABCD，‎ ‎∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，‎ 又∵AC1⊂面ACC1，∴AC1⊥BD.‎ 同理可证AC1⊥A1B，‎ ‎∴AC1⊥平面A1BD.‎ 同理可证AC1⊥平面PMN，‎ ‎∴平面PMN∥平面A1BD.‎ 变式迁移2　‎ ‎(1)证明　如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，‎ PG2∶PE＝2∶3，∴G‎1G2∥DE.‎ 又G‎1G2不在平面ABC内，DE在平面ABC内，‎ ‎∴G‎1G2∥平面ABC.‎ 同理G‎2G3∥平面ABC.‎ 又因为G‎1G2∩G‎2G3＝G2，‎ ‎∴平面G‎1G2G3∥平面ABC.‎ ‎(2)解　由(1)知＝＝，∴G‎1G2＝DE.‎ 又DE＝AC，∴G‎1G2＝AC.‎ 同理G‎2G3＝AB，G‎1G3＝BC.‎ ‎∴△G‎1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，‎ ‎∴S△G‎1G2G3∶S△ABC＝1∶9.‎ 例3　解题导引　近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．‎ ‎(1)证明　连接AC，过点C作CE⊥AB，垂足为E.‎ 在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC，‎ ‎∴四边形ADCE为正方形．‎ ‎∴∠ACD＝∠ACE＝45°.‎ ‎∵AE＝CD＝AB，∴BE＝AE＝CE.∴∠BCE＝45°.‎ ‎∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝45°＋45°＝90°.‎ ‎∴AC⊥BC.‎ 又∵BC⊥PC，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，‎ ‎∴BC⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.‎ ‎(2)解　当M为PB的中点时，CM∥平面PAD.‎ 取AP的中点F，连接CM，FM，DF.‎ 则FM綊AB.‎ ‎∵CD∥AB，CD＝AB，‎ ‎∴FM綊CD.‎ ‎∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF.‎ ‎∵DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，‎ ‎∴CM∥平面PAD.‎ 变式迁移3　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.‎ ‎∵P、O为DD1、DB的中点，‎ ‎∴D1B∥PO.‎ 又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，‎ ‎∴平面D1BQ∥平面PAO.‎ 课后练习区 ‎1．A　[①、②、③错，④对．]‎ ‎2．D　[注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．]‎ ‎3．D　[A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b⊄α；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C不正确，因有可能b⊂β；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]‎ ‎4．A　[①错，l1⊂α，l2∩α＝A，l1与l2可能相交．‎ ‎②错，l2有可能在平面α内．‎ ‎③错，α有可能与β相交．‎ ‎④错，l1有可能与平面β相交或平行或在平面内．]‎ ‎5．A ‎　[如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]‎ ‎6．①③‎ 解析　①∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP，‎ ‎②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，‎ NO⊄面MNP，‎ ‎∴AB与面MNP不平行．‎ ‎③易知AB∥MP，‎ ‎∴AB∥面MNP；‎ ‎④过点P作PC∥AB，‎ ‎∵PC⊄面MNP，‎ ‎∴AB与面MNP不平行．‎ ‎7.‎ ‎6‎ 解析　如图，EF∥E‎1F1∥AB，‎ EE1∥FF1∥BB1，F1E∥A1D，‎ E‎1F∥B1D，‎ ‎∴EF、E‎1F1、EE1、FF1、F1E、E‎1F都平行于平面ABB‎1A1，共6条．‎ ‎8.a 解析　‎ 如图所示，连接AC，‎ 易知MN∥平面ABCD，‎ 又∵PQ为平面ABCD与平面MNQP的交线，‎ ‎∴MN∥PQ.‎ 又∵MN∥AC，∴PQ∥AC，‎ 又∵AP＝，‎ ‎∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.‎ ‎9．证明　设A‎1C1中点为F，连接NF，FC，‎ ‎∵N为A1B1中点，‎ ‎∴NF∥B‎1C1，且NF＝B‎1C1，‎ 又由棱柱性质知B‎1C1綊BC，(4分)‎ 又M是BC的中点，‎ ‎∴NF綊MC，‎ ‎∴四边形NFCM为平行四边形．‎ ‎∴MN∥CF，(8分)‎ 又CF⊂平面AA‎1C1C，‎ MN⊄平面AA‎1C1C，‎ ‎∴MN∥平面AA‎1C1C.(12分)‎ ‎10．解　在棱C1D1上存在点F，使B‎1F∥平面A1BE.证明如下：‎ 如图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B‎1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B‎1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四 边形，因此D‎1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D‎1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE.(6分)‎ 因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C‎1C∥B1B，且FG＝C‎1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B‎1F∥BG.而B‎1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B‎1F∥平面A1BE.(12分)‎ ‎11．(1)证明　由AD⊥平面ABE及AD∥BC，‎ 得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，(1分)‎ 而BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，(2分)‎ 又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，‎ 又BE⊂平面BCE，故AE⊥BE.(4分)‎ ‎(2)解　在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，‎ 则EH⊥平面ACD.‎ 由已知及(1)得EH＝AB＝，S△ADC＝2.‎ ‎(6分)‎ 故VD—AEC＝VE—ADC＝×2×＝.(8分)‎ ‎(3)解　在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中过点G作GN∥BC交EC于点N，‎ 连接MN，则由＝＝＝，得CN＝CE.‎ 由MG∥AE，AE⊂平面ADE，‎ MG⊄平面ADE，则MG∥平面ADE.(10分)‎ 再由GN∥BC，BC∥AD，AD⊂平面ADE，GN⊄平面ADE，‎ 得GN∥平面ADE，所以平面MGN∥平面ADE.‎ 又MN⊂平面MGN，则MN∥平面ADE.(12分)‎ 故当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时，‎ MN∥平面ADE.(14分)‎