2013年天津市高考数学试卷（文科） 22页

‎2013年天津市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2‎ ‎3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎4．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．0‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）‎ A． B．[1，2] C． D．（0，2]‎ ‎8．（5分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（　　）‎ A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=　 　．‎ ‎10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　 　．‎ ‎11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　 　．‎ ‎12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为　 　．‎ ‎13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为　 　．‎ ‎14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，1，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，2）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（1，2，1）‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，2，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，1）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（2，1，2）‎ ‎（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎（i）用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．‎ ‎（1）求b的值； ‎ ‎（2）求sin（2B﹣）的值．‎ ‎17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点 ‎（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．‎ ‎19．（14分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 证明．‎ ‎20．（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数 ‎（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；‎ ‎（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．‎ ‎　‎ ‎2013年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，2] B．[1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]‎ ‎【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}‎ ‎∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　）‎ A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．‎ ‎【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，‎ 在坐标系中画出可行域三角形，‎ 平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，‎ 则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．‎ ‎【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+‎ ‎（﹣1）4×4，‎ 因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．‎ 故输出的n的值为4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．‎ ‎【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，‎ ‎∴a＜b成立，‎ 由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，‎ 所以根据充分必要条件的定义可的判断：‎ a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，‎ 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C． D．0‎ ‎【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，‎ ‎∴∈[，1]‎ ‎∴函数在区间的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）‎ A． B．[1，2] C． D．（0，2]‎ ‎【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ 所以f（）=f（﹣log2a）=f（log2a），‎ 则f（log2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），‎ 因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，‎ 所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，‎ 则a的取值范围是[，2]，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（　　）‎ A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0‎ ‎【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：①由于y=ex及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=ex+x﹣2在R上单调递增，‎ 分别作出y=ex，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．‎ 同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．‎ ‎∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，‎ f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．‎ ‎∴g（a）＜0＜f（b）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=　5﹣5i　．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i．‎ 故答案为5﹣5i．‎ ‎【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　　．‎ ‎【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．‎ ‎【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，‎ 设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，‎ 球的体积为：，‎ 解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．‎ 由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．‎ 又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为　　．‎ ‎【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，．‎ ‎∴==‎ ‎=+﹣==1，‎ 化为，‎ ‎∵，∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为　　．‎ ‎【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．‎ ‎【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，‎ 因为AB=AD=5，BE=4，‎ 梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，‎ 由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE==6，‎ 在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，‎ 所以cosα=，AB=AD=5，‎ 所以BD=2×ABcosα=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为　　．‎ ‎【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2，∴，‎ ‎∴=，‎ ‎∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），‎ ‎∴≥1，‎ 故当a＜0时，的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ ‎（1，1，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，2）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（1，2，1）‎ 质量指标（x，y，z）‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标（x，y，z）‎ ‎（1，2，2）‎ ‎（2，1，1）‎ ‎（2，2，1）‎ ‎（1，1，1）‎ ‎（2，1，2）‎ ‎（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎（i）用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；‎ ‎（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；‎ ‎（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．‎ 从而可估计该批产品的一等品率为0.6；‎ ‎（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，‎ ‎{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，‎ ‎{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种．‎ ‎（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7．‎ 则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．‎ 所以p（B）=．‎ ‎【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．‎ ‎（1）求b的值； ‎ ‎（2）求sin（2B﹣）的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；‎ ‎（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，‎ 又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．‎ 由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，‎ 即b2=32+12﹣2×3×cosB，‎ 可得b=．‎ ‎（Ⅱ）由，可得sinB=，‎ 所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，‎ sin2B=2sinBcosB=，‎ 所以===．‎ ‎【点评】‎ 本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点 ‎（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；‎ ‎（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；‎ ‎（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；‎ ‎（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，‎ 可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，‎ 所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，‎ DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD ‎（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，‎ 又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，‎ ‎∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，‎ ‎∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，‎ ‎∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，‎ BG⊥A1D，‎ ‎∴BG⊥面A1CD，‎ 则∠BCG为所求的角，‎ 设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，‎ 在直角△BGC中，sin∠BCG==，‎ ‎∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．‎ ‎∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，‎ ‎∴当x=﹣c时，，得y=±，‎ ‎∴=，‎ ‎∵离心率为，∴=，‎ 解得b=，c=1，a=．‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），‎ ‎∴‎ ‎=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），‎ ‎=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，‎ ‎=6+=8，解得k=．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．‎ ‎（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ） 证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，‎ ‎∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，‎ 得2a4=﹣a3，∴q=，‎ ‎∵，∴=；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，Sn==1﹣，‎ ‎∴，‎ 当n为奇数时，==，‎ 当n为偶数时，=，‎ ‎∴随着n的增大而减小，‎ 即，且，‎ 综上，有成立．‎ ‎【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数 ‎（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；‎ ‎（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）令，．分别求导即可得到其单调性；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．‎ 已知曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．‎ 不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．‎ 由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，‎ 故，即可证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令，．‎ ‎①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，，‎ 所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，‎ ‎②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，；‎ 当x＞1时，，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．‎ 综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．‎ 因为曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且．‎ 不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．‎ 可得，解得，从而．‎ 设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则．‎ 由，解得，‎ 所以，‎ 设t=，则，‎ ‎∵a∈[﹣2，0]，∴，‎ 故，‎ 故．‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎