高中数学第二章平面解析几何2-2-1直线的倾斜角与斜率课件新人教B版选择性必修第一册 33页

2 . 2 . 1 　 直线的倾斜角与斜率 核心 素养 1 . 理解直线的倾斜角和斜率的概念 .( 数学抽象 ) 2 . 理解用代数的方法探索直线斜率的过程 .( 逻辑推理 ) 3 . 掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题 .( 数学运算 ) 4 . 初步理解直线的方向向量和法向量的概念 , 并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系 .( 直观想象 , 逻辑推理 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程 , 大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、 185 园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区 . 俯瞰长江 , 泄洪观景区和 185 米水位线的观景区则是波澜壮阔、雷霆万钧 . 浩大工程展现了国人的智慧和匠心 . 大坝上不同位置有的坡度 “ 陡峭 ”, 有的 “ 平缓 ”, 我们平常说的词语 “ 陡峭 ” 和 “ 平缓 ” 在数学中是如何刻画的呢 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 直线的倾斜角 一般地 , 给定平面直角坐标系中的一条直线 , 如果这条直线与 x 轴相交 , 将 x 轴绕着它们的交点 按逆时针方向 旋转到与直线重合时所转的 最小正角 记为 θ , 则称 θ 为这条直线的倾斜角 ; 如果这条直线与 x 轴平行或重合 , 则规定这条直线的倾斜角为 0 ° . 这样直线倾斜角的取值范围为 [0 ° ,180 ° )( 即 [0, π )) . 微判断 平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角 . ( 　　 ) 答案 : √ 微练习 直线 x= 0 的倾斜角为 　　　　 .   答案 : 90 ° 激趣诱思 知识点拨 2 . 直线的斜率 (1) 一般地 , 如果直线 l 的倾斜角为 θ , 则当 θ ≠90 ° 时 , 称 k= tan θ 为直线 l 的斜率 ; 当 θ = 90 ° 时 , 称直线 l 的斜率不存在 . (2) 若 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是直线 l 上两个不同的点 , 则当 x 1 ≠ x 2 时 , 直线 l 的 当 x 1 =x 2 时 , 直线 l 的斜率不存在 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 斜率与倾斜角的对应 关系 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 任何一条直线都有倾斜角 , 都存在斜率 . ( 　　 ) (2) 任何一条直线有且只有一个斜率和它对应 . ( 　　 ) (3) 一个倾斜角 α 不能确定一条直线 . ( 　　 ) (4) 两条直线的倾斜角相等 , 它们的斜率也相等 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 　 (3) √ 　 (4)× 微练习 下面选项中 , 两点确定的直线的斜率不存在的是 ( 　　 ) A.(4,2) 与 ( - 4,1) 　　　 B.(0,3) 与 (3,0) C.(3, - 1) 与 (2, - 1) D .( - 2,2) 与 ( - 2,5) 解析 : 选项 D 中 , 因为 x 1 =x 2 =- 2, 所以直线垂直于 x 轴 , 倾斜角为 90 ° , 即斜率不存在 . 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 微思考 直线的斜率越大 , 倾斜角越大 , 对吗 ? 提示 : 不对 , 它们之间的变化规律如下 : ① 当 0 °≤ α < 90 ° 时 , 随 α 的增大 , 斜率 k 在 [0, +∞ ) 范围内增大 ; ② 当 α = 90 ° 时 , 斜率不存在 ; ③ 当 90 ° < α < 180 ° 时 , 随 α 的增大 , 斜率 k 在 ( -∞ ,0) 范围内增大 . 激趣诱思 知识点拨 3 . 直线的方向向量和直线的法 向量   定义 符号表示 方向向量 如果表示非零向量 a 的有向线段所在的直线与直线 l 平行或重合 , 则称向量 a 为直线 l 的一个方向向量 a ∥ l 法向量 如果表示非零向量 v 的有向线段所在直线与直线 l 垂直 , 则称向量 v 为直线 l 的一个法向量 v ⊥ l 激趣诱思 知识点拨 微思考 已知直线 l : y= 3 x+ 1, 你能给出这条直线的方向向量 a 和法向量 v 吗 ? 该直线的斜率是多少 ? 提示 : (1) 先在直线上取两点 A (1,4), B (2,7), 则可令 a = ( 1,3), 那么 v = (3, - 1) . 因此 ,(1,3) 是直线 l 的一个方向向量 ,(3, - 1) 是直线 l 的一个法向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线的倾斜角 例 1 (1) 直线 x=- 1 的倾斜角为 ( 　　 ) A.135 ° B.90 ° C.45 ° D.0 ° (2) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 一条直线和 x 轴的正方向所成的角 , 叫做这条直线的倾斜角 B. 直线的倾斜角 α 在第一或第二象限 C. 和 x 轴平行的直线 , 它的倾斜角为 0 ° D. 不是每一条直线都有倾斜角 (3) 已知直线 l 经过第二、四象限 , 则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ( 　　 ) A.[0 ° ,90 ° ) B .[90 ° ,180 ° ) C.(90 ° ,180 ° ) D .(0 ° ,180 ° ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 因为直线与 x 轴垂直 , 所以倾斜角为 90 ° . (2) 由倾斜角的定义可知 ,A 错误 ; 倾斜角的范围是 [0 ° ,180 ° ), 故 B 错误 ; 和 x 轴平行的直线的倾斜角是 0 ° , 故 C 正确 ; 每条直线都有倾斜角 , 故 D 错误 . (3) 直线倾斜角的取值范围是 [0 ° ,180 ° ), 又直线 l 经过第二、四象限 , 所以直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 (90 ° ,180 ° ) . 答案 : (1)B 　 (2)C 　 (3)C 反思感悟 求直线的倾斜角的方法及注意点 (1) 方法 : 结合图形 , 利用特殊三角形 ( 如直角三角形 ) 求角 . (2) 两点注意 : ① 当直线与 x 轴平行或重合时 , 倾斜角为 0 ° ; 当直线与 x 轴垂直时 , 倾斜角为 90 ° ; ② 注意直线倾斜角的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 已知直线 l 的倾斜角为 θ - 25 ° , 则角 θ 的取值范围为 ( 　　 ) A.[25 ° ,155 ° ) B.[ - 25 ° ,155 ° ) C.[0 ° ,180 ° ) D.[25 ° ,205 ° ) (2) 已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30 ° , 则直线 l 的倾斜角为 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 因为直线 l 的倾斜角为 θ - 25 ° , 所以 θ - 25 ° ∈ [0 ° ,180 ° ), 所以 θ ∈ [25 ° ,205 ° ) . (2) 有两种情况 : 如图 ① , 直线 l 向上方向与 x 轴正向所成的角为 60 ° , 即直线 l 的倾斜角为 60 ° ; 如图 ② , 直线 l 向上方向与 x 轴正向所成的角为 120 ° , 即直线 l 的倾斜角为 120 ° . 答案 : (1)D 　 (2)60 ° 或 120 ° 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 直线的斜率和倾斜角的关系 例 2 已知直线 l 过点 M ( m+ 1, m- 1), N (2 m ,1) . (1) 当 m 为何值时 , 直线 l 的斜率是 1? (2) 当 m 为何值时 , 直线 l 的倾斜角为 90 ° ? 分析 (1) 根据斜率公式列出关于 m 的方程即可 ; (2) 当直线倾斜角为 90 ° 时 , 利用直线上点的横坐标相等这一特征列等式即可 . ( 2) 因为直线 l 的倾斜角为 90 ° , 所以直线 l 的斜率不存在 , 所以 m+ 1 = 2 m , 所以 m= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 通过本例的求解 , 一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系 , 若直线斜率存在 , 则除了斜率公式之外还可以应用 k= tan α ( 其中 α 为直线的倾斜角 , k 为直线的斜率 ), 斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1) 本例条件不变 , 试求直线 l 的倾斜角为锐角时实数 m 的取值范围 . (2) 若将本例中的 “ N (2 m ,1)” 改为 “ N (3 m ,2 m )”, 其他条件不变 , 结果如何 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求直线的方向向量和法向量 例 3 已知直线过点 A ( - 1, - 2), B (3,2), 试求 : 直线的一个方向向量 a , 法向量 v , 斜率 k 与倾斜角 θ . 得 θ = 45 ° . 综上可知 , 该直线的一个方向向量为 (4,4), 法向量为 (4, - 4), 斜率为 1, 倾斜角为 45 ° . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题 , 首先明确其定义 . 2 . 利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系 , 尤其是可以根据方向向量进而得出法向量 , 也可以根据方向向量求斜率 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 请写出法向量为 (1,2) 的一个一次函数 ( 答案不唯一 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 斜率公式的综合应用 例 4 已知实数 x , y 满足 y=- 2 x+ 8, 且 2 ≤ x ≤ 3, 求 的 最大值和最小值 . 分析 根据 的 几何意义 , 本题的实质是求线段 y=- 2 x+ 8(2 ≤ x ≤ 3) 上的点与原点连线的斜率的最值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 (1) 若过点 P (1 -a ,1 +a ) 与 Q (3,2 a ) 的直线的倾斜角为钝角 , 则实数 a 的取值范围是 　　　　 .   (2) 求证 A (1,5), B (0,2), C (2,8) 三点共线 . (1) 解析 : 因为直线的倾斜角为钝角 , 所以直线的斜率小于 0, 答案 : ( - 2,1) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因忽略斜率不存在的情况而致错 案例 设直线 l 过点 A (7,12), B ( m ,13), 求直线 l 的斜率 k , 并说明倾斜角 α 的取值范围 . 错因分析 上述产生错误的根源是没有讨论 m= 7 这种斜率不存在的情形 . 正解 : 当 m= 7 时 , 直线 l 与 x 轴垂直 , 斜率不存在 , 倾斜角 α = 90 ° ; 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 防范措施 要明确直线的斜率公式是在 x 1 ≠ x 2 的条件下才成立的 , 当 x 1 =x 2 时斜率是不存在的 . 因此在遇到点的坐标有参数存在时 , 要注意参数的取值范围 , 若不能排除斜率不存在的情形 , 则需要进行分类讨论 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 迁移应用 若直线 l 的斜率 k ≤ 1, 求倾斜角 α 的取值范围 . 解 : 当 k ≥ 0 时 , ∵ tan 45 ° = 1, ∴ 当 0 ≤ k ≤ 1 时 ,0 °≤ α ≤ 45 ° ; 当 k< 0 时 ,90 ° < α < 180 ° . ∴ 当 k ≤ 1 时 , 倾斜角 α 的取值范围是 [0 ° ,45 ° ] ∪ (90 ° ,180 ° ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 过点 P ( - 2, m ) 和点 Q ( m ,4) 的直线的斜率为 1, 则 m 的值为 ( 　　 ) A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . ( 多选 ) 若两直线 l 1 , l 2 的倾斜角分别为 α 1 , α 2 , 则下列四个命题是假命题的有 ( 　　 ) A. 若 α 1 < α 2 , 则两直线的斜率 k 1