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- 2021-06-30 发布
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安徽省宣城市2019-2020学年高一下学期
期末调研考试(理)试题
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷毎小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.本卷命题范围:人教版必修2第一、二章,必修4第三章和必修5(除线性规划).
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
2.已知,则( )
A. B. C. D.
3.在正三棱柱中,M为侧面的中心,N为侧面的中心,P为BC的中点,则直线MN与直线AP所成的角为( )
A.0° B.45° C.60° D.90°
4.数列的前n项和为,若,则实数k等于( )
A.2 B.3 C. D.
5.人体满足黄金分割比的人体是最美人体,0.618是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示为,则( )
A.4 B. C.2 D.
6.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为( )
A. B. C.10 D.
7.已知中,角A,BC的对边分别为a,b,c,,.则( )
A. B. C. D.
8.已知,,,则的最小值为( )
A. B.7 C.8 D.4
9.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,时,则的面积为( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足:,.正项数列满足:对于每个,,且,,成等比数列,则的前几项和为( )
A. B. C. D.
11.中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等差数列,且,若AC边上的中线,则的周长为( )
A.15 B.14 C.16 D.12
12.如图,在三棱锥中,平面ABC,,,.若三棱锥外接球表面积为,则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若圆台的母线与高的夹角为,且上下底面半径之差为4,则该圆台的高为________.
14.设是等比数列的前n项和,,且,则________.
15.已知,若数列中最小项为第3项,则
________.
16.在中,,.当取最大值时,的外接圆半径为________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知在平面四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,为正三角形,,的面积为.
(1)求CD的长;
(2)若,求的面积.
18.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数在区间上的最值.
(2)若,,求的值.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面BCD,,E为BC的中点,F在棱AC上,且.
(1)求证:平面DEF
(2)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分12分)
新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为200万元,每生产x万箱,需另投入成本万元,当产量不足90万箱时,;当产量不小于90万箱时,,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;
(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?
21.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面ABCD,,,,M为AD上一点,,N为PC中点.
(1)证明:平面PAB;
(2)求点A到平面PMN的距离;
(3)求直线AN与平面PMN所成角的正切值.
22.(本小题满分12分)
已知等差数列满足,,数列的前n项和为,满足.
(1)求数列与的通项公式;
(2)若任意,恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案
1.A
由,得,故选A.
2.B
由,得,化简得
,故选B.
3.D
∵,,∴,故选D.
4.C
∵,数列是首项为1公差为4的等差数列,
∴,∴,得,故选C.
5.C
,故选C
6.D
由三视图可知:该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得C到的几何体.
.故选D.
7.B
∵,∴,∴,
∴,∴.故选B.
8.A
由知
当且仅当,时等号成立,故选A.
9.B
因为,且,解得,,
又,所以,故,
因为,,故,
故,故选B.
10.C
由和累乘法可以知道,所以,
又,,成等比数列,所以,
所以,
所以.
故选C.
11.A
由a,b,c成等差数列知,又,所以,所以,所以,.若AC边上的中线为,
所以(也可以用余弦定理列方程),所以,,,所以的周长为15.故选A.
12.D
设,,由三棱锥外接球的表面积为,得外接球的半径,又平面ABC,A,所以,所以,所以.因为平面ABC,,所以,,过D作,垂足为E,则平面ABC,所以,所以,所以,
∴
,当且仅当,即,
时,等号成立,三棱锥体积的最大值为2,故选D.
13.
设上、下底面半径分别为R、r,圆台高为h,根据轴截面可知,即,所以.
14.0或4
设等比数列的公比为q,由,得,即,所以,若,则,此时;若,则,此时,所以或者.
15.
由题意和数列图象可以知道,所以.
16. 2
设,
所以
所以,所以当时,,,
此时的外接圆半径为.
17.解:(1)设,则,
∵,∴.
∴或(舍),即; 2分
在中,,
∴ 5分
(2)∵,,∴.
在中,由正弦定理得
, 7分
∵ 8分
∴. 10分
18.解:
3分
因为,所以,
4分
所以,
故函数在区间的最大值为,
最小值为. 6分
(2)因为,,所以,
所以. 8分
所以
12分
19.解:(1)取AC的中点H,∵,∴.
∵,∴F为CH的中点
∵E为BC的中点,∴.则
∵是正三角形,∴.
∵平面BCD,∴.
∵,∴平面ABC.
∴. 4分
∵,∴平面DEF. 6分
(2)存在这样的点N,当时,平面DEF.
连CM,设,连OF.
由条件知,O为的重心,.
∴当时,,
∴. 12分
20.解:(1)当时,
;
当时, 3分
∴ 5分
(2)当时,,
∴当时,y取最大值,最大值为1600万元; 8分
当时,,
当且仅当,即时,y取得最大值,最大值为1800万元. 11分
综上,当产量为90万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1800万元. 12分
21.证明:(1)取PB中点G,连接AG,NG,
∵N为PC的中点,∴,且, 1分
又∵,,且.
∴,且,则且, 2分
∴四边形AMNG为平行四边形,∴,
又平面PAB,平面PAB,
∴平面PAB. 4分
22. 解:(2)取BC的中点H,连接AH,
∵,∴且,∴四边形AHCM是矩形,∴,
∵,PA,平面PAM,,
∴平面PAM,且,过点A作平面PMN于F,则AF即为点A到平面PMN的距离. 6分
∴,∴,
∴点A到平面PMN的距离. 9分
(3)连接AN,NF,由(2)知即为直线AN与平面PMN所成的角,
在中,,,,
又N是PC的中点,,,
∴直线AN与平面PMN所成角的正切值为. 12分
22.解:(1)设数列的公差为d,则解得.
所以. 2分
对于数列,当时,,所以.
当时,由,①可知,②
①-②得,即,故是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以.
(2)设,
由(1)知,当时,, 5分
当时,,③
,④
③-④得 6分
∴,∴,
当时也符合该式,所以, 7分
故题中不等式可化为, 8分
当时,不等式可化为,, 9分
当时,不等式可化为,此时, 10分
当时,不等式可化为,因为数列是递增数列,
所以. 11分
综上,实数t的取值范围是 12分