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- 2021-06-30 发布
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数学试题
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1.在中与终边相同角有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】
先写出与终边相同的角的表达式,然后对赋值,求得在范围内角的个数.
【详解】与终边相同的角为.当时,,故在中与终边相同的角有个,所以选D.
【点睛】本小题主要考查终边相同的角,考查任意角的概念以及周期性,属于基础题.
2.若角与的终边垂直,则与的关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的关系直接求解
【详解】若角与的终边垂直,则,
.
故选:D
【点睛】本题考查终边相同的角,是基本概念的考查
3.函数的单调增区间为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】
先将函数解析式化简整理,得到,再由,求解,即可得出结果.
【详解】因为,
由可得,
即函数的单调递增区间为,.
故选C
【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调区间,熟记正弦函数的单调区间即可,属于常考题型.
4.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题化简式子,计算出,结合,即可.
【详解】,得到,所以
,故选C.
【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.
5.将函数图象向左平移个长度单位,再把所得图象上各点横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:函数图象向左平移个长度单位,得到,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变)得到.
考点:三角函数图象变换.
【易错点晴】三角函数图象变换,关键在于不管怎么变,都是变,其它系数保留;熟记左加右减,并且要看清题意到底是谁变换成谁.本题中,平移的时候是没有变到的,所以必须提取出来.另外,如果既平移,又伸缩,就必须确保每一次都是变.
6.若,则的值为( )
A. 1 B. -1 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
试题分析:由已知可得.
考点:本小题主要考查诱导公式的应用和函数值的求法,考查学生灵活的转化能力和运算求解能力.
点评:解决本题的关键在于把化成,然后直接代入求解即可,如果先求函数解析式就会变得非常麻烦.
7.在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:由已知得,,所以,所以.
考点:三角函数的定义与求值.
8.下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:A:函数为偶函数,在上单调递减,
B:函数为偶函数,在上单调递减,
C:函数为偶函数,在上单调递增,
D:函数为奇函数.
所以综上可得:C正确.
考点:函数奇偶性、函数的单调性.
9.定义在上的奇函数满足,且当时,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据f(x)是奇函数,以及f(x+2)=f(-x)即可得出f(x+4)=f(x),即得出f(x)的周期为4,从而可得出f(2018)=f(0),, 然后可根据f(x)在[0,1]上的解析式可判断f(x)在[0,1]上单调递增,从而可得出结果.
【详解】∵f(x)是奇函数;∴f(x+2)=f(-x)=-f(x);∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x);
∴f(x)的周期为4;∴f(2018)=f(2+4×504)=f(2)=f(0),, ∵x∈[0,1]时,f(x)=2x-cosx单调递增;∴f(0)< < ∴,故选C.
【点睛】本题考查奇函数,周期函数的定义,指数函数和余弦函数的单调性,以及增函数的定义,属于中档题.
10.已知,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
逆用两角差的余弦公式求得,再利用平方关系求解
【详解】,,
.
故选:C
【点睛】本题考查两角差的余弦公式,考查同角三角函数基本关系,是基础题
11.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求,利用平方差公式结合同角三角函数基本关系化简所求为,利用两角和的正切求即可求解
【详解】由已知得,
则
,
又,
.
故选C.
【点睛】本题考查三角变换,考查两角和的正切公式,考查齐次式化简求值,意在考查计算能力,是中档题
12.如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心所对的弧长为( )
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用半弦长,弦心距,半径组成直角三角形得半径长度,再利用弧长公式求解
【详解】连接圆心与弦的中点,则以弦心距,弦长的一半和半径长为长度的线段构成一个直角三角形,半弦长为2,其所对的圆心角也为2,故半径长为.这个圆心角所对弧长为.
故选:D
【点睛】本题考查扇形弧长公式,灵活运用勾股定理得半径长度是关键,是基础题
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13.已知方程,其在区间内解的个数为__________.
【答案】7个
【解析】
【分析】
画出函数,的图像,数形结合求解
【详解】构造函数,,并作出它们的图象,如图:由图象得函数与在区间上共有7个交点,故方程在区间上有7个解.
故答案为:7
【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查数形结合思想的应用,熟记基本函数图像是关键
14.已知,,,则________
【答案】
【解析】
【分析】
由诱导公式将化为,再由,根据两角差的正弦公式,即可求出结果.
【详解】因为,所以,,
又,,所以,,
所以,,所以
.
故答案为
【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换,熟记两角差的正弦公式以及诱导公式,即可求解,属于常考题型.
15.已知函数在区间上是增函数,则下列结论正确的是__________(将所有符合题意的序号填在横线上).
①函数在区间上是增函数;
②满足条件的正整数的最大值为3;
③.
【答案】①②③
【解析】
!
由题函数在区间上是增函数,则由可得为奇函数,
则①函数在区间(,0)上是增函数,正确;
由 可得 ,即有满足条件的正整数的最大值为3,故②正确;
由于 由题意可得对称轴 ,即有.,故③正确.
故答案为①②③.
【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质,重点是对称性和单调性的运用,考查运算能力,属于中档题.
16.设函数,其中.若函数在上恰有个零点,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的零点,对大于0的零点按从小到大排序,第二个在上,第三个大于,由此可求得的范围.
【详解】取零点时满足条件,当时零点从小到大依次为
,所以满足 ,解得:
【点睛】本题考查三角函数零点个数问题,属于中等题,解题时只要求出零点,按题设条件列出不等关系即可求解参数范围.
三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)
17.化简下列各式:
(1)(是第二象限角);
(2).
【答案】(1)-1;(2)1.
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数值在各个象限符号及同角基本关系式,直接化简表达式,求出最简结果.
(2)利用平方关系及诱导公式,以及三角函数在象限的符号,去掉根号和绝对值符号,化简即可.
【详解】(1)原式=tanαtanα||,
∵α是第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,
∴原式||•1.
(2)原式
1.
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,考查诱导公式的应用,是基础题.
18.已知函数().
(1)若,函数的最大值为,最小值为,求的值;
(2)当 时,函数的最大值为,求的值.
【答案】(1);(2)0.
【解析】
【分析】
(1)由题意可得,由此求得a,b的值.
(2)利用整体换元法将化为二次型函数,分类讨论求得最大值,即可求得a值.
【详解】(1)由题意,所以时,最大,时,最小,
可得,∴;
(2)∴g(x)=f(x)+cos2x
=1+asinx+cos2x
=2+asinx﹣sin2x
2﹣(sinx-)2,
令t=sinx,
g(t)2﹣(t)2,∵t∈[,1],
分类讨论:
若,即a<-2,
gmax=g()=2,故a;(舍去);
若1即﹣2≤a≤2,
gmax=g()2=2,得a=0(舍去);
若1,即a>2,
gmax=g(1)2+a-1=2,得a=1(舍去)
∴可得:a=0.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,同角三角函数基本关系式的应用,考查了二次函数求最值的方法,考查了分类讨论思想,属于中档题.
19.已知函数,
(1)求其定义域和值域;
(2)判断奇偶性;
(3)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期;
(4)写出其单调减区间.
【答案】(1);
(2)偶函数;
(3)是周期函数,;
(4).
【解析】
【分析】
(1)利用真数大于0列不等式求解定义域,求得真数的范围得值域
(2)利用奇偶性定义判断
(3)利用周期定义求解
(4)利用复合函数及余弦函数单调性求解
【详解】(1),,
定义域为.
,;
(2),
定义域关于原点对称.
又,
为偶函数;
(3)令,
则,
是周期函数,且为最小正周期;
(4)的单调递减区间为,又单调递增
的单调递减区间为.
【点睛】本题考查对数函数的基本性质,考查余弦函数的性质,灵活运用复合函数解题是关键,是中档题
20.已知函数.
(1)求函数图象的对称轴方程;
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)化简,令得对称轴方程;
(2)求,利用三角函数性质求值域
【详解】(1)函数
,
由,得,
函数图象的对称轴方程为.
(2),.
在区间上单调递增,在区间上单调递减,
当时,取得最大值2.又,
故函数的最小值为,故函数的值域为.
【点睛】本题考查三角恒等变换,考查三角函数的对称性,考查图像性质,意在考查计算能力,是基础题
21.已知函数:的周期为.
(1)求的值;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)当时,求函数的值域.
【答案】(1)(2)单调递增区间为(3)
【解析】
分析】
(1)化简,利用周期公式求解;
(2)令求解单调区间即可、
(3),利用函数的图像及性质求解
【详解】.
(1).
(2)令,
得,
所求单调递增区间为.
(3),,,
所以函数在上的值域为.
【点睛】本题考查考查三角函数的单调性,周期性,考查图像性质,意在考查计算能力,是基础题
22.弹簧挂着的小球作上下运动,它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定:.以t为横坐标,h为纵坐标,作出这个函数在一个周期的闭区间上的图象,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动时(即)的位置在哪里?
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少?
(3)经过多少时间小球往复振动一次?
(4)每秒钟小球能往复振动多少次?
【答案】(1)(2)见解析;(3)经过秒往复运动一次(4)次
【解析】
分析】
(1)代入解析式求解
(2)利用图像直接求解
(3)利用图像得周期
(4)利用求解
【详解】函数在上的图象如图:
(1)时,,即小球在开始振动时的位置.
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是.
(3)小球往复运动一次,就是一个周期,秒,即经过秒往复运动一次.
(4)每秒钟往复运动的次数.
【点睛】本题考查三角函数图像的实际应用,考查读题转化能力,是基础题