2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业6函数的奇偶性与周期性含解析苏教版 5页

课时作业6　函数的奇偶性与周期性 一、选择题 ‎1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　B　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cosx 解析：函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．‎ ‎2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于(　A　)‎ A．－3 B．－ C. D．3‎ 解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.‎ ‎3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　D　)‎ ‎①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.‎ A．①③ B．②③‎ C．①④ D．②④‎ 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，‎ ‎①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；‎ ‎②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；‎ ‎③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；‎ ‎④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．‎ 可知②④符合题意，故选D.‎ ‎4．函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为(　A　)‎ A. B． C．－ D．－ 解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴f＝f＝f＝2××＝.‎ 5‎ ‎5．(2020·佛山一模)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝(　D　)‎ A. B． C．－ D．－ 解析：根据题意，f(x)＝2x＋为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即＋＝0，解得a＝－1.‎ g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则g(x)＝g(－x)，‎ 即bx－log2(4x＋1)＝b(－x)－log2(4－x＋1)，‎ 解得b＝1，则ab＝－1，‎ 所以f(ab)＝f(－1)＝2－1－＝－.‎ ‎6．已知函数f(x)＝asinx＋bln＋t，若f＋f＝6，则实数t＝(　D　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．3‎ 解析：令g(x)＝asinx＋bln，易知g(x)为奇函数，所以g＋g＝0，则由f(x)＝g(x)＋t，得f＋f＝g＋g＋2t＝2t＝6，解得t＝3.故选D.‎ ‎7．(2020·荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(　D　)‎ A.＋1 B．－1‎ C．－－1 D．－＋1‎ 解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，‎ 所以f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，‎ 所以f＝f＝f＝－f ‎＝－f.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，‎ 所以f＝－1，f＝－＋1.‎ ‎8．(2020·河北衡水联考)设定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x)＝f(4－x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x－ex＋1，若a＝f(2 018)，b＝f(2 019)，c＝f(2 020)，则a，b，c的大小关系为(　B　)‎ A．c0，则实数a的取值范围是(　B　)‎ A．(1，＋∞) B．(－∞，1)‎ C．(，＋∞) D．(－∞，)‎ 解析：f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2＋2＋cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴由f(a)＋f(1－‎2a)>0，得f(a)>f(‎2a－1)，a>‎2a－1，解得a<1，故选B.‎ 二、填空题 ‎10．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为9.‎ 解析：由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.‎ ‎11．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx，则f的值为－ln2.‎ 解析：由已知可得f＝ln＝－2，所以f＝f(－2)．又因为f(x)是奇函数，所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.‎ ‎12．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝－.‎ 解析：函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln(1＋e3x)－lne3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，即－3x－ax＝ax，所以2ax＋3x＝0恒成立，所以a＝－.‎ ‎13．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝－1.‎ 解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ 则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.‎ ‎∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ‎＝f＋0＋f＋f(0)＋f ‎＝f－f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1.‎ 三、解答题 ‎14．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ 5‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.‎ 解析：当x∈(0,2]时，令y＝，则(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x∈(0,9])的图象，如图，关于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x∈(0,1])与f(x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y＝k(x＋2)经过点(1,1)时，k＝，当直线y＝k(x＋2)与半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)相切时，＝1，k＝或k＝－(舍去)，所以k的取值范围是.‎ 5‎