2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第三章　第1讲　变化率与导数、导数的计算 7页

‎[基础题组练]‎ ‎1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)‎ A．2(x2－a2)　　　　　 B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2)　　　　　　 D．3(x2＋a2)‎ 解析：选C.f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．‎ ‎2．(2020·安徽江南十校检测)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0‎ C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0‎ 解析：选D.因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝－3，又f(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.‎ ‎3．(2020·安徽宣城八校联考)若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.因为y＝aln x＋x2(a>0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，因此＝2，所以a＝.故选B.‎ ‎4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)‎ 解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B.‎ ‎5．(2020·广东佛山教学质量检测(一))若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．2 D．e 解析：选C.y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝1，则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.y＝ln x＋b的导数为y′＝，设切点为(m，n)，则＝1，解得m＝1，则n＝2，即有2＝ln 1＋b，解得b＝2.故选C.‎ ‎6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．‎ 解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，‎ 所以f′(x)＝1＋ex，‎ 所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.‎ 答案：1＋e ‎7．(2020·江西重点中学4月联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．‎ 解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.‎ 答案： ‎8．若过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y ‎－x0ex0＝(x0＋1)ex0 (x－x0)，将点A(a，0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0 (a－x0)，化简，得x－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x－ax0－a＝0有两个不同的解，则有Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．‎ 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．‎ 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．‎ ‎(1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1.‎ ‎(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，‎ 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，‎ 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，‎ 即4a2＋4a＋1>0，‎ 所以a≠－.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，‎ 所以直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，‎ 又因为直线l过点(0，0)，‎ 所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，‎ 所以x0＝－2，‎ 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，‎ k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ 所以切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，‎ 所以x0＝±1.‎ 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)‎ A．26 B．29‎ C．212 D．215‎ 解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，‎ 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.‎ 因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C.‎ ‎2．(2020·湖北武汉4月调研)设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，‎ 所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立解得或 或 故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，，‎ 所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.‎ ‎3．(2020·安徽淮南二模)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线．l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则A，B两点之间的距离是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.设P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，‎ 当01时，f′(x)＝，‎ 不妨设x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，‎ 故l1：y＝－(x－x1)－ln x1，整理得l1：y＝－x－ln x1＋1，‎ l2：y＝(x－x2)＋ln x2，整理得l2：y＝x＋ln x2－1，‎ 所以A(0，1－ln x1)，B(0，ln x2－1)，则|AB|＝|2－ln(x1x2)|，　‎ 因为l1⊥l2，所以－·＝－1，所以x1x2＝1，所以|AB|＝2.故选B.‎ ‎4．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，则P0的坐标为________；若直线l⊥l1，且l也过切点P0，则直线l的方程为________．‎ 解析：由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，‎ 由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.‎ 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.‎ 又因为点P0在第三象限，‎ 所以切点P0的坐标为(－1，－4)．‎ 因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，‎ 所以直线l的斜率为－.‎ 因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，‎ 所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，‎ 即x＋4y＋17＝0.‎ 答案：(－1，－4)　x＋4y＋17＝0‎ ‎5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.‎ 设点P的坐标为(x1，y1)，‎ 则y1＝kx1，①‎ y1＝－x＋x1－4，②‎ ‎－2x1＋＝k，③‎ 联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．‎ 所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，‎ 其方程为y＝－2x＋5.④‎ 将④代入抛物线方程得，‎ x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ ‎6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.‎ 又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任意一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0，得y＝－，‎ 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，‎ 从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.‎