高考数学专题复习课件：9-1 直线的方程 47页

§9.1 　直线的方程 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 2. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式等 ) ，了解斜截式与一次函数的关系． 1 ．直线的倾斜角 (1) 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l__________ 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴 ______________ 时，规定它的倾斜角为 0 ° . (2) 范围：直线 l 倾斜角的范围是 ________ ． 向上方向 平行或重合 [0 ， π ) 3 ．直线方程的五种形式 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( 　　 ) (2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( 　　 ) (3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( 　　 ) (4) 直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α .( 　　 ) (5) 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) × 　 (7) × 　 (8) √ 【 答案 】 A 2 ．如果 A · C <0 ，且 B · C <0 ，那么直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 不通过 ( 　　 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【 答案 】 C 3 ．过点 P (2 ， 3) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ______________ ． 【 答案 】 3 x － 2 y ＝ 0 或 x ＋ y － 5 ＝ 0 4 ． ( 教材改编 ) 若过点 A ( m ， 4) 与点 B (1 ， m ) 的直线与直线 x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 平行，则 m 的值为 ________ ． 【 答案 】 3 5 ．直线 l 经过 A (2 ， 1) ， B (1 ， m 2 )( m ∈ R) 两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为 ____________ ． 题型一　直线的倾斜角与斜率 【 例 1 】 (1) (2017· 北京二十四中模拟 ) 直线 x ＋ y ＋ a ＝ 0( a 为实常数 ) 的倾斜角的大小是 ( 　　 ) A ． 30 ° 　　　　　　　　　 B ． 60 ° C ． 120 ° D ． 150 ° 【 引申探究 】 1 ．若将题 (2) 中 P (1 ， 0) 改为 P ( － 1 ， 0) ，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围． 2 ．将题 (2) 中的 B 点坐标改为 B (2 ，－ 1) ，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围． 【 解析 】 如图：直线 PA 的倾斜角为 45 ° ， 直线 PB 的倾斜角为 135 ° ， 由图象知 l 的倾斜角的范围为 0 ° ≤ α ≤ 45 ° 或 135 ° ≤ α ＜ 180 ° . 跟踪训练 1 (1) (2017· 福建漳州一模 ) 曲线 y ＝ x 3 － 2 x ＋ 4 在点 (1 ， 3) 处的切线的倾斜角为 ( 　　 ) A ． 30 ° B ． 60 ° C ． 45 ° D ． 120 ° 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 方法规律 】 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 题型三　直线方程的综合应用 命题点 1 　与基本不等式相结合求最值问题 【 例 3 】 已知直线 l 过点 P (3 ， 2) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点，如图所示，求 △ ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程． 命题点 2 　由直线方程解决参数问题 【 例 4 】 (2017· 山西晋中模拟 ) 直线 y ＝ k ( x － 1) 与以 A (3 ， 2) ， B (2 ， 3) 为端点的线段有公共点，则 k 的取值范围是 ________ ． 【 答案 】 [1 ， 3] 【 方法规律 】 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1) 求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2) 求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3) 求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 易错警示系列 13 求直线方程忽视零截距致误 【 典例 】 ( 12 分 ) 设直线 l 的方程为 ( a ＋ 1) x ＋ y ＋ 2 － a ＝ 0( a ∈ R) ． (1) 若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2) 若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围． 【 易错分析 】 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况． 【 温馨提醒 】 (1) 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解． (2) 常见的与截距问题有关的易误点有： “ 截距互为相反数 ” ； “ 一截距是另一截距的几倍 ” 等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用 . ► 方法与技巧 直线的倾斜角和斜率的关系： (1) 任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率． (2) 直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系： α 0 ° 0 ° < α <90 ° 90 ° 90 ° < α <180 ° k 0 k >0 不存在 k <0 ► 失误与防范 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1) 明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x 、 y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线． (2) 截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零． (3) 求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论 .