山西省运城市2020届高三调研测试（第一次模拟考试）数学（理）试题 Word版含解析 31页

www.ks5u.com 运城市2020年高三调研测试 数学（理）试卷 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.‎ ‎2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.‎ ‎4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.、‎ ‎1.已知集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A，再与集合B求交集.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 31 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.‎ ‎【详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，‎ 所以 所以 故选：A ‎【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“1”的变换，所求式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.‎ ‎【详解】.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ - 31 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】因为，所以是偶函数，排除C和D.‎ 当时，，，‎ 令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.‎ ‎5.已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.‎ ‎【详解】因为平面向量，满足，且， ‎ 所以，‎ 所以，‎ - 31 -‎ 所以 ，‎ 所以，‎ 所以与的夹角为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.‎ ‎6.公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下-个米时，乌龟先他米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，是一个等比数列模型，设，由，解得，再求和.‎ ‎【详解】根据题意，这一个等比数列模型，设，‎ 所以，‎ 解得，‎ - 31 -‎ 所以 .‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题.‎ ‎7.某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（ ）‎ A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据 2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解.‎ ‎【详解】因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 ‎ 所以就医费用 因为年的就医费用比年的就医费用增加了元，‎ 所以年的就医费用元，‎ 而年的就医费用占总收人 所以2019年的家庭总收人为 而储畜费用占总收人 - 31 -‎ 所以储畜费用：‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.‎ ‎【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：‎ 由三视图知： ， ‎ - 31 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以该几何体的最长棱的长为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 函数在上单调递减 D. 函数的图像关于点对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数，在上是单调函数，确定 ，然后一一验证，‎ A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.‎ ‎【详解】因为函数，在上是单调函数，‎ 所以 ，即，所以 ，‎ - 31 -‎ 若，则，又因为，即，解得， 而，故A错误.‎ 由，不妨令 ，得 由，得 或 当时，，不合题意.‎ 当时，，此时 所以，故B正确.‎ 因为，函数，在上是单调递增，故C错误.‎ ‎，故D错误 故选：B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.‎ ‎10.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 31 -‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ，‎ 由椭圆和双曲线的定义得： ，‎ 解得，设，‎ 在中，由余弦定理得： ， ‎ 化简得，‎ 即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正四棱锥底边边长为，高为 - 31 -‎ ‎，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 因为正四棱锥底边边长为，高为，‎ 所以 ，‎ ‎ 到 的距离为，‎ 同理到 的距离为1，‎ 所以为球的球心，‎ 所以球的半径为：1，‎ 所以球的表面积为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.‎ ‎12.设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 31 -‎ 根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.‎ ‎【详解】设，‎ 所以 ，‎ 因为当时，，‎ 即，‎ 所以，在上是增函数，‎ 在中，因为，所以，，‎ 因为，且，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 即 故选：D ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 第II卷(共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第.22-23题为选考题，考生根据要求作答.‎ - 31 -‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得到，再利用组合数公式求解.‎ ‎【详解】因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，‎ 所以，‎ 即 ，‎ 所以，‎ 即 ，‎ 解得.‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎14.设满足约束条件，则目标函数的最小值为_.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数 取得最小值.‎ - 31 -‎ ‎【详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：‎ 将目标函数，转化为，‎ 平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点 ‎ 此时，目标函数 取得最小值，最小值为 故答案为：-1‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线，不妨设，取 ，通过求导得， ，再根据以线段为直径的圆恰好经过，则 - 31 -‎ ‎ ，得到，两式联立，求得点N的轨迹，再求解最值.‎ ‎【详解】因为抛物线，不妨设，取 ，‎ 所以，即，‎ 所以 ，‎ 因为以线段为直径的圆恰好经过，‎ 所以 ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由 ，解得，‎ 所以点在直线 上，‎ 所以当时， 最小，最小值为.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎16.已知中，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用正弦定理，根据，得到 - 31 -‎ ‎①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，转化为 有解问题求解.‎ ‎【详解】设，‎ 所以， 即①‎ 由余弦定理得，‎ 即 ②，‎ ‎①②平方相加得：，‎ 即 ，‎ 令，设 ，在上有解，‎ 所以 ，‎ 解得，即 ，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ - 31 -‎ ‎（2）若，求数列的前项和 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到是首项为，公差为的等差数列求解.‎ ‎（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.‎ ‎【详解】（1）可以化为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又时，‎ 数列从开始成等差数列，‎ ‎，代入 得 是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）得，‎ - 31 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.‎ 组别 频数 ‎（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；‎ ‎（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：‎ ‎①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；‎ ‎②每次获赠的随机话费和对应的概率为：‎ 赠送话费的金额(单位：元)‎ 概率 - 31 -‎ 现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.‎ 附：参考数据与公式：，若，则，，‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据平均数公式求得，再根据，参照数据求解.‎ 由题意得，获赠话费的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列求期望.‎ ‎【详解】由题意得 综上，‎ 由题意得，获赠话费的可能取值为 ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ - 31 -‎ ‎【点睛】本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆的长轴长为，离心率 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是定值，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据长轴长为，离心率，则有求解.‎ ‎（2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，再根据 - 31 -‎ 求解.‎ ‎【详解】（1）依题意得，‎ 解得，‎ 则椭圆的方程.‎ ‎（2）设，则，‎ 直线，‎ 令得，，‎ 则，‎ 直线，‎ 令，得，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数 - 31 -‎ ‎（1）当时，证明在恒成立；‎ ‎（2）若在处取得极大值，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.‎ 设研究在处左正右负，求导，分 ，，三种情况讨论求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 所以是的增函数，‎ 故，‎ 即.‎ 因为 所以，‎ ‎①当时，，‎ 所以函数在上单调递增.‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，‎ - 31 -‎ 所以在处取得极小值，不符合题意，‎ ‎②当时，‎ 所以函数在上单调递减.‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ 所以在处取得极大值，符合题意.‎ ‎③当时，，使得，且当时，‎ 有，即所以函数在上单调递减，‎ 当时，则 当时，则 即函数)在上单调递减，在上单调递增，符合题意 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ ‎21.如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体 - 31 -‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值；‎ ‎（3）若平面底面，求六面体的体积的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折叠图形， ，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据平面，得到.‎ ‎（2）根据，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，根据，可知，，表示相应点的坐标，分别求得平面与平面的法向量，代入求解.‎ 设所求几何体的体积为，设为高，则，表示梯形BEFD - 31 -‎ 和 ABD的面积由，再利用导数求最值.‎ ‎【详解】（1）证明：不妨设与的交点为与的交点为 由题知，，则有 又，则有 由折叠可知所以可证 由平面平面，‎ 则有平面 又因为平面，‎ 所以.‎ ‎（2）解：依题意，有平面平面，‎ 又平面，‎ 则有平面，，又由题意知，‎ 如图所示：‎ 以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系 由题意知 由可知，‎ - 31 -‎ 则 则有，‎ ‎，‎ 设平面与平面的法向量分别为 则有 则 所以 因为，解得 设所求几何体的体积为，设，‎ 则，‎ - 31 -‎ 当时，，当时，‎ 在是增函数，在上是减函数 当时，有最大值，‎ 即 六面体的体积的最大值是 ‎【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ 请考生在22、23两题中任选--题作答，如果多做，则按所做的第一-题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22.曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程 - 31 -‎ ‎，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.‎ ‎ (2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；‎ 解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，‎ 可得曲线的直角坐标方程为，即，‎ 则曲线的极坐标方程为，即，‎ 又因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.‎ ‎(2)解法1：设直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（为参数，），‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，‎ 解得，，，‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，‎ 解得，，，‎ ‎，‎ - 31 -‎ ‎，即，，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 故的最小值为.‎ 解法2：设直线的极坐标方程为），‎ 代入曲线的极坐标方程，得，，‎ 把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，‎ ‎，即，，‎ 曲线的参，即，‎ ‎，，，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 故最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）的图象与两坐标轴的交点分别为，若三角形 - 31 -‎ 的面积大于，求参数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，不等式可化为：，再利用绝对值的意义，分，，讨论求解.‎ ‎（2）根据可得，得到函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，再利用三角形面积公式由求解.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 不等式可化为：‎ ‎①当时，不等式化为，‎ 解得：‎ ‎②当时，不等式化为，‎ 解得：，‎ ‎③当时，不等式化为解集为，‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）由题得，‎ 所以函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，‎ - 31 -‎ 的面积为，‎ 由，‎ 得（舍），或，‎ 所以，参数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用，还考查分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ - 31 -‎ - 31 -‎