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- 2021-06-30 发布
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周练卷(三)
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数单调性
1,4,5,9,13,16
函数最值
7,10,17
函数奇偶性
3,6,11,14,15
函数性质综合
2,8,12,18,19,20
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.函数g(x)=在[1,2]上为减函数,则a的取值范围为( C )
(A)(-∞,0) (B)[0,+∞)
(C)(0,+∞) (D)(-∞,0]
解析:因为y=在[1,2]上是减函数,
所以要使g(x)=在[1,2]上是减函数,
则有a>0.故选C.
2.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是( A )
(A)减函数 (B)增函数
(C)有增有减 (D)增减性不确定
解析:f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,
所以m=0,
所以f(x)=-x2+3,开口向下,f(x)在区间(2,5)上是减函数.故选A.
3.函数f(x)=ax2+bx-2是定义在[1+a,2]上的偶函数,则f(x)在区间[1,2]上是( B )
(A)增函数 (B)减函数
(C)先增后减函数 (D)先减后增函数
解析:因为函数f(x)=ax2+bx-2是定义在[1+a,2]上的偶函数,
所以1+a+2=0,解得a=-3,
由f(x)=f(-x)得,b=0,
即f(x)=-3x2-2.
其图象是开口向下,对称轴是y轴的抛物线,
则f(x)在区间[1,2]上是减函数.故选B.
4.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是( B )
(A)[-,+∞) (B)(-∞,-]
(C)[ ,+∞) (D)(-∞,]
- 8 -
解析:因为函数y=x2+(2a-1)x+1的图象是方向朝上,以直线x=为对称轴的抛物线,
又因为函数在区间(-∞,2]上是减函数,
故2≤,
解得a≤-,故选B.
5.函数f(x)=x|x-2|的增区间是( C )
(A)(-∞,1] (B)[2,+∞)
(C)(-∞,1],[2,+∞) (D)(-∞,+∞)
解析:f(x)=x|x-2|=
作出f(x)简图如图,
由图象可知f(x)的增区间是(-∞,1],[2,+∞).
6.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( D )
(A)f(x)f(-x)是奇函数
(B)f(x)|f(-x)|是奇函数
(C)f(x)-f(-x)是偶函数
(D)f(x)+f(-x)是偶函数
解析:若f(x)是R上的任意函数,则f(x)·f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数,f(x)+f(-x)是偶函数,B项无法确定.选D.
7.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是
( C )
(A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12
解析:函数的对称轴为x=3,
所以当x=3时,函数取得最小值为-16,
当x=-2时,函数取得最大值为9,故选C.
8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( B )
(A)(-∞,2) (B)(-2,2)
(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,f(x)的示意图如图所示.当x∈(-2,0]时,f(x)-,
所以f(-1)>f(-),所以B不正确;
对于C,f(2)=f(-2),
因为f(x)在(-∞,0]上是增函数,-2<-,
所以f(2)=f(-2)0,
因为x≥0时,f(x)=x2-2x,
- 8 -
所以f(-x)=x2+2x, ①
又函数y=f(x)在R上为奇函数,
所以f(-x)=-f(x), ②
由①②得x<0时,f(x)=-x(x+2).故选A.
12.定义在R上的奇函数f(x),满足f()=0,且在(0,+∞)上单调递减,则xf(x)>0的解集为( B )
(A){x|x<-或x>}
(B){x|0}
解析:函数为奇函数,
因为f()=0,
所以f(-)=0,不等式xf(x)>0化为或结合函数图象可知的解集为00时,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0时,f(x)= .
解析:由题意,当x>0时,f(x)=x2+|x|-1=x2+x-1,
当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,
又因为f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-x-1,
即f(x)=-x2+x+1.
答案:-x2+x+1
16.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是 .
解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
答案:[0,4]
三、解答题(共40分)
17.(本小题满分8分)
已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值.
解:因为对称轴为x=1,
①当1≥t+2即t≤-1时,
f(x)max=f(t)=t2-2t-3,
f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.
②当≤11时,
f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,
- 8 -
f(x)min=f(t)=t2-2t-3.
设函数最大值为g(t),最小值为(t)时,则有
g(t)=
(t)=
18.(本小题满分10分)
已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.
解:F(x)在(-∞,0)上是减函数.
证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0.
因为y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,所以f(-x2)f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),所以F(x)=在(-∞,0)上是减函数.
19.(本小题满分10分)
已知函数f(x)的定义域为D={x|x∈R且x≠0},且满足对于任意的x1,x2∈D都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)及f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明.
解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0.
(2)f(x)是偶函数.令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=
f(x),故对任意的x≠0都有f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函数.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=,若函数f(x)是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=3f(x)+,试证明函数g(x)在(0,1)上是减函数;
(3)若不等式g(x)≤m在[,]上恒成立,求m的取值范围.
(1)解:因为f(x)=是奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
- 8 -
所以=-.
即=-.
所以-bx+c=-(bx+c).
所以c=-c.
所以c=0.
所以f(x)=.
因为f(1)=3,f(2)=5,
所以=3,=5.
所以a=,b=.所以f(x)=.
(2)证明:g(x)=3f(x)+==7(x+).
设x1,x2∈(0,1)且x10.
所以g(x2)-g(x1)<0,g(x2)
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