高中数学第二章平面解析几何2-4曲线与方程课件新人教B版选择性必修第一册 31页

2.4 　曲线与方程 核心 素养 1 . 学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念 , 明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系 , 并能根据点的坐标是否适合方程 , 来判断该点是否在曲线上 . ( 数学抽象 , 逻辑判断 ) 2 . 能够通过求方程组的解 , 来确定曲线的交点 . ( 数学运算 ) 3 . 初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法 . ( 逻辑推理 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 笛卡尔是被誉为 “ 近代科学的始祖 ”“ 近代哲学之父 ”, 是 17 世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一 , 他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高 . 其中有一个很有名的故事 , 笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式 : r=a (1 - sin θ ) . 你知道这是何意 ? 其实这就是笛卡尔的爱心函数 , 图形是心形线 , 是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹 , 因其形状像心形而得名 . 同学们 , 你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 曲线的方程与方程的曲线的定义 在平面直角坐标系中 , 如果曲线 C 与方程 F ( x , y ) = 0 之间具有如下关系 : (1) 曲线 C 上点的坐标都是方程 F ( x , y ) = 0 的解 ; (2) 以方程 F ( x , y ) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 . 则曲线 C 为方程 F ( x , y ) = 0 的曲线 , 方程 F ( x , y ) = 0 为曲线 C 的方程 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 A. 一条直线 　　　　　　　　　 B. 圆 C. 半圆 D . 不表示任何图形 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 微思考 若曲线是方程的曲线 , 方程是曲线的方程 , 则曲线上的点集与方程的解集之间是一一对应关系吗 ? 提示 : ① 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 . 它阐明的含义是曲线上没有坐标不满足方程的点 . ② 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 它阐明的含义是适合条件的所有点都在曲线上 , 即没有遗漏的点 . 所以两个条件充分保证了曲线上的点一个也不多 , 一个也不少 , 即曲线上的点集与方程的解集之间建立了一一对应关系 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 求两曲线的交点 已知曲线 C 1 : F ( x , y ) = 0 和曲线 C 2 : G ( x , y ) = 0, 求这两条曲线的交点坐标 , 只要求 方程组 微练习 直线 y=x+ 1 与圆 x 2 +y 2 = 1 的交点坐标为 　　　　　 .   答案 : ( - 1,0) 和 (0,1) 激趣诱思 知识点拨 3 . 求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质 (1) 点的轨迹方程 曲线一般都可以看成 动点依某种条件运动 的轨迹 , 所以曲线的方程也常称为 满足某种条件 的点的轨迹方程 . (2) 求动点 M 轨迹方程的一般步骤 : ① 设动点 M 的坐标为 ( x , y )( 如果没有平面直角坐标系 , 需先建立 ); ② 写出 M 要满足的几何条件 , 并将该几何条件用 M 的坐标表示出来 ; ③ 化简并检验所得方程是否为 M 的轨迹方程 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 在平面内 , 若 M , N 为两个定点 , 且 |MN|= 6, 动点 P 满足 = 0, 则 P 点的轨迹曲线的形状是 　　　　　 .   答案 : 圆 微思考 如何检验所求轨迹方程是否符合条件 ? 提示 : 检验可以从以下两个方面进行 : 一是方程的化简是否为同解变形 ; 二是是否符合题目的实际意义 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 曲线与方程的概念问题 例 1 如果曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F ( x , y ) = 0 的解 , 那么以下说法正确的是 ( 　　 ) A . 以方程 F ( x , y ) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 B . 以方程 F ( x , y ) = 0 的解为坐标的点有些不在曲线 C 上 C . 不在曲线 C 上的点的坐标都不是方程 F ( x , y ) = 0 的解 D . 坐标不满足方程 F ( x , y ) = 0 的点都不在曲线 C 上 解析 : 由题意可知 , 曲线 C 上的所有点构成的集合是方程 F ( x , y ) = 0 的解构成的集合的子集 , 它包含两种情形 : ① 真子集 ; ② 相等 . 据以上可知 , 选项 A,B,C 都是不正确的 , 只有选项 D 是正确的 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 曲线与方程的定义表明 : 曲线 C 的方程是 F ( x , y ) = 0 的充分必要条件是曲线 C 上所有点的坐标都是方程 F ( x , y ) = 0 的解 , 并且以方程 F ( x , y ) = 0 的实数解为坐标的点都在曲线 C 上 , 这是识别曲线和方程关系的基本依据 . 2 . 判断点与曲线关系的方法 (1) 从点的坐标角度 若点 M ( x 0 , y 0 ) 在方程 f ( x , y ) = 0 所表示的曲线 C 上 , 则 f ( x 0 , y 0 ) = 0; 或若 f ( x 0 , y 0 )≠0, 则点 M ( x 0 , y 0 ) 不在方程 f ( x , y ) = 0 表示的曲线 C 上 . (2) 从方程的解的角度 若 f ( x 0 , y 0 ) = 0, 则点 M ( x 0 , y 0 ) 在方程 f ( x , y ) = 0 所表示的曲线 C 上 ; 或若点 M ( x 0 , y 0 ) 不在方程 f ( x , y ) = 0 表示的曲线 C 上 , 则 f ( x 0 , y 0 )≠0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 A . 两条直线 B. 两条射线 C. 两条线段 D. 一条直线和一条射线 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 用直接法求曲线的方程 例 2 已知平面上两个定点 A , B 之间的距离为 2 a , 点 M 到 A , B 两点的距离之比为 2 ∶ 1, 求动点 M 的轨迹方程 . 分析 因为已知条件中未给定坐标系 , 所以需 “ 恰当 ” 建立坐标系 . 考虑到对称性 , 由 |AB|= 2 a , 选 A , B 两点所在的直线为 x 轴 , AB 中点为坐标原点 , 则 A ( -a ,0), B ( a ,0), 然后求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : 如图所示 , 以两定点 A , B 所在直线为 x 轴 , 线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系 . 由 |AB|= 2 a , 可设 A ( -a ,0), B ( a ,0), M ( x , y ) . 因为 |MA| ∶ |MB|= 2 ∶ 1, 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 直接法求曲线的方程 根据题目条件 , 直译为关于动点的几何关系 , 再利用解析几何有关公式 ( 两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等 ) 进行整理、化简 , 即把这种关系 “ 翻译 ” 成含 x , y 的等式就得到曲线的轨迹方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : (1) x+ 2 y= 4 　 (2) y 2 = 12 x ( x> 0) 或 y= 0( x< 0 ) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 例 3 已知 △ ABC 的顶点 B (0,0), C (5,0), AB 边上的中线长 |CD|= 3, 则顶点 A 的轨迹方程为 　 .   解析 : 由已知条件及中位线等几何知识可知 , 动点 A 满足到点 (10,0) 的距离等于定长 6 的条件 , 设顶点 A 的坐标为 ( x , y ), 因此可得 ( x- 10) 2 +y 2 = 36, 考虑到构成 △ ABC , 因此 y ≠0, 所以所求方程为 ( x- 10) 2 +y 2 = 36( y ≠0) . 答案 : ( x- 10) 2 +y 2 = 36( y ≠0) 反思感悟 定义法求曲线方程的两种策略 (1) 运用圆锥曲线的定义求轨迹方程 , 可从曲线定义出发直接写出方程 , 或从曲线定义出发建立关系式 , 从而求出方程 . (2) 定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型 , 利用条件把待定系数求出来 , 使问题得解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3 到点 (1,2) 的距离 等于 的 动点 Q 的轨迹方程是 ( 　　 ) A . ( x+ 1) 2 + ( y+ 2) 2 = 3 B . ( x+ 1) 2 + ( y+ 2) 2 = 9 C . ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 3 D . ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 9 解析 : 由圆的定义知动点 Q 的轨迹是以点 (1,2) 为圆心 , 以 为 半径的圆 , 故其方程为 ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 3 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 用相关点法求曲线的 方程 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 “ 相关点法 ” 的基本步骤 (1) 设点 : 设被动点坐标为 ( x , y ), 主动点坐标为 ( x 0 , y 0 ) . (3) 代换 : 将上述关系式代入主动点满足的曲线方程 , 便可得到所求被动点的轨迹方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : y 2 = 4 x 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 求曲线的交点问题 例 5 试讨论圆 x 2 + ( y- 1) 2 = 4 与直线 y=k ( x- 2) + 4( k 为参数 ) 交点的个数 . 分析 只需把直线方程与圆方程联立 , 求方程组解的个数即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5 已知直线 l 1 :2 x+y- 6 = 0 和点 A (1, - 1), 过 A 点作直线 l 与已知直线 l 1 相交于 B 点 , 且使 |AB|= 5, 求直线 l 的方程 . 即 3 x+ 4 y+ 1 = 0 . 当过 A 点的直线 l 的斜率不存在时 , 方程为 x= 1 . 此时 , 与 l 1 的交点为 (1,4) 也满足题意 . 综上所述 , 直线 l 的方程为 3 x+ 4 y+ 1 = 0 或 x= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因忽视验证造成增解而致错 案例 求以 A ( - 2,0), B (2,0) 为直径端点的圆的圆内接三角形的顶点 C 的轨迹方程 . 错解 : 设点 C 的坐标为 ( x , y ) . △ ABC 为圆内接三角形 , 且圆以线段 AB 为直径 , ∴ AC ⊥ BC , 则 k AC · k BC =- 1 . 化 简 , 有 x 2 +y 2 - 4 = 0, 即点 C 的轨迹方程为 x 2 +y 2 - 4 = 0 . 错因分析 (1) 在表述 k AC , k BC 时没有注意斜率不存在的情况 . (2) 没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 正解 : 设 C 的坐标为 ( x , y ) . ∴ ( x+ 2, y )·( x- 2, y ) =x 2 - 4 +y 2 = 0 . 又当 x= ± 2 时 , C 与 A 或 B 重合 , 不构成三角形 , ∴ 所求 C 点的轨迹方程为 x 2 +y 2 - 4 = 0( x ≠ ± 2) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆 答案 : D 2 . 已知点 A ( - 1,0), B (1,0), 且 = 0, 则动点 M 的轨迹方程是 ( 　　 ) A .x 2 +y 2 = 1 B .x 2 +y 2 = 2 C .x 2 +y 2 = 1( x ≠ ± 1) D .x 2 +y 2 = 2( x ≠ ± ) 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 3 . 点 P (2, - 3) 在曲线 x 2 -ay 2 = 1 上 , 则 a= 　　　　　 .   4 . 平面直角坐标系中 , 已知 A , B 分别为坐标轴上的动点且 |AB|= 5, 若线段 AB 的中点为 M ( x , y ), 则动点 M 的轨迹方程为 　　　　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : y= 2 x 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测