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- 2021-06-30 发布
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基本不等式的应用
(答题时间:40分钟)
**1. 若一个直角三角形的周长为定值l(l>0),求该三角形面积的最大值。
*2. 已知x>1,则函数y=x+的值域为________。
3. 已知a,b>0且2a+b=4,则ab的最大值为________。
**4. 已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的乘积的最大值是________。
***5. 若a>b>0,则代数式a2+的最小值为________。
***6. 已知M是△ABC内的一点,且,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为,x,y,则的最小值为________。
**7. 已知x>0,y>0,且x+y=1,
(1)求的最小值;
(2)求的最大值。
*8. 求函数y= (x>1)的最小值。
**9. 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为:y= (v>0)。
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
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1. 解析:设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则a+b+=l,∵a+b≥2,a2+b2≥2ab,∴l=a+b+≥2+2,当且仅当a=b时等号成立,
∴≤,此时三角形为等腰直角三角形。
2. [16,+∞) 解析:∵x>1,∴x-1>0,∴y=x+=x+=x+9+=x-1++10≥2+10=16,
当且仅当x-1=,即x=4时,y取最小值16,
∴函数y=x+的值域为[16,+∞)。
3. 2 解析:由2a+b=4,∴4=2a+b≥2,
∴≤2,∴2ab≤4,∴ab≤2,即(ab)max=2。
4. 3 解析:设点P到AC,BC的距离分别为x,y,则由题意得,所以4x+3y=12,而4x+3y≥2,所以xy≤3,当且仅当4x=3y,且4x+3y=12,即x=,y=2时,取“=”。
5. 4 解析:依题意得a-b>0,
所以代数式a2+=4,当且仅当即a=,b=时取等号,因此a2+的最小值是4。
6. 18 解析:依题意得=cos 30°=2,则=4,故S△ABC=sin 30°=1,即+x+y=1,x+y=,所以=2(x+y)( )=2[5+()]≥2(5+2)=18,当且仅当,即y=2x=时,等号成立,因此的最小值为18。
7.(1)18 (2)2
解析:(1)=()(x+y)=10+≥10+2=18,
3
当且仅当,即x=,y=时,有最小值18。
(2)=2,
当且仅当2x+1=2y+1,即x=y=时,取最大值2。
8. 8 解析:y==(x-1)++2。
由题意知x-1>0,∴y≥2+2=8,
当且仅当x-1=,即x=4时取“=”,∴ymin=8。
9. (1)v=40时,ymax≈11.1千辆/小时 (2) 大于25千米/小时且小于64千米/小时。
解析:(1)依题意,y=,当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立,
所以ymax=≈11.1(千辆/小时)。
(2)由条件得>10,整理得v2-89v+1 600<0,
即(v-25)(v-64)<0,
解得25<v<64。
答:当v=40千米/小时时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时。如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时。
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