2019~2020学年度第二学期期中考试试题高二年级数学 11页

‎2019~2020学年度第二学期期中考试试题高二年级数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）‎ ‎1、计算（ ）‎ A．16 B．56 C．96 D．576‎ ‎2、函数的导数为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3、甲、乙两人走过的路程s‎1‎‎(t)‎，s‎2‎‎(t)‎与时间t的关系如图所示，则在‎[0,t‎0‎]‎这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是‎(    )‎ ‎ A. v甲‎>‎v乙 B. v甲‎<‎v乙 C. v甲‎=‎v乙 D. 大小关系不确定 ‎4、的展开式中的常数项为（ ）‎ A．12 B．20 C．24 D． 48‎ ‎5、设随机变量ξ～N‎3,4‎，若Pξ<2a-3‎=Pξ>a+2‎，则实 ‎ 数a等于‎(‎    ‎‎)‎ A.‎ ‎‎5‎‎3‎ B. ‎7‎‎3‎ C. 5 D. 3‎ ‎6、对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7、已知某省2018年1月至4月的快递业务量统计图如图‎①‎所示，2018年1月至4月的快递业务收入统计图如图‎②‎所示，下列对统计图理解错误的是‎(    )‎ A. 2018年1月至4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B. 2018年1月至4月的业务量同比增长率均超过‎50%‎，且3月最高 C. 从两图来看，2018年1月至4月中同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从1月至4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎8、将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)‎等于‎(    )‎ A. ‎60‎‎91‎ B. ‎1‎‎2‎ C. ‎5‎‎18‎ D. ‎‎91‎‎216‎ ‎9、2019年某省发布了“3+1+2”模式的新高考方案,其中“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目,“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科,某学生根据自身的特点,决定按一下方法选课:①外语可选英语或日语,②若选历史,则政治和地理至多选一科,③物理和日语最多只能选一个,则这个同学可能的选课方式共有( )‎ A.6种 B. 11种 C. 12种 D. 16种 ‎10、已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为‎80％.‎现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 7527  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698  ‎ ‎0371  6233  2616  8045  6011  3661 9597  7424  7610  4281 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为‎(‎      ‎‎)‎ A.‎ ‎‎5‎‎18‎ B. ‎3‎‎4‎ C. ‎1‎‎4‎ D. ‎‎4‎‎5‎ 二、不定项选择题（本大题共3小题，共15.0分）‎ ‎11、下列说法中正确的是‎(‎     ‎‎)‎ A. 数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B. 一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根 C. 数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半 D. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率 ‎12、甲、乙两类水果的质量‎(‎单位：kg)‎分别服从正态 ‎ 分布N(μ‎1‎,σ‎ ‎‎1‎‎2‎)‎，N(μ‎2‎,σ‎ ‎‎2‎‎2‎)‎，其正态分布密度曲线 如图所示，则下列说法正确的是‎(    )‎ A. 甲类水果的平均质量为‎0.4 kg B. 甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ‎2‎‎=1.99‎ ‎13、关于函数，下列判断正确的是（ ）‎ A．函数有且只有1个零点．‎ B．是的极大值点 C．存在正实数，使得成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则.‎ 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）‎ ‎14、已知复数满足，则复数的共轭复数对应的点在第________象限. ‎ ‎15、若函数在 上存在极大值，且该极大值为负数，则实数的取值范围为____________.‎ ‎16、甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17、( 本题满分10分)‎ 心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性 别” ‎ 有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组 ‎ 员中按分层抽样的方法抽取50名同学‎(‎男生30‎ 人、女生20人‎)‎，给每位同学立体几何题、代数题 各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：‎(‎单位：人‎)‎ （Ⅰ）能否有‎97.5%‎以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？ ‎（Ⅱ）‎经统计得，选择做立体几何题的学生答对率为‎4‎‎5‎，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．‎ 附表及公式：‎ P(K‎2‎⩾k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K‎2‎‎=n‎(ad-bc)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ ‎ ‎18、( 本题满分12分) ‎ 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．‎ ‎（Ⅰ）‎有多少种放法？ （Ⅱ）每盒至多一球，有多少种放法？‎ ‎ (‎Ⅲ‎)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？‎ ‎(IV)恰好有一个空盒，有多少种放法？‎ ‎19、( 本题满分12分)‎ 在二项式的展开式中项的系数为3360。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求该二项展开式中所有项的系数和的值；‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎求该二项展开式中二项式系数最大的项。‎ ‎20、( 本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎21、( 本题满分12分)‎ 在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖‎.‎已知教师甲投进每个球的概率都是‎2‎‎3‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望； ‎(‎Ⅱ‎)‎求教师甲在一场比赛中获奖的概率； ‎(‎Ⅲ‎)‎已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？‎ ‎22、( 本题满分12分)‎ 已知，定义．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求函数的极值；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若，，试确定函数的零点个数．‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎若，且存在使，求实数a的取值范围；‎ 答案 ‎1—5 CABCB 6-10 ADADB 11 BCD 12 ABC 13 AD ‎14 三 15 16 0.18‎ 17、 解：‎(1)‎由表中数据，计算  K‎2‎‎=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎ ‎‎=‎50×(22×12-8×8‎‎)‎‎2‎‎30×20×30×20‎=‎50‎‎9‎>5.024‎， -------------------------5分 故有‎97.5%‎以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关；  ‎‎(2)‎ 由题知选做立体几何题且答对的共24人，其中男生20人、女生4人，------7分 故答错的共6人，其中男生2人、女生4人，  则从6人中任取2人共有C‎6‎‎2‎‎=15‎种不同结果， 其中恰好抽到一男一女的结果有C‎2‎‎1‎C‎4‎‎1‎‎=8‎种，  所以恰好抽到男女生各一人的概率p=‎‎8‎‎15‎．---------------10分 18、‎ (1) 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，共有‎4×4×4×4=‎4‎‎4‎=256‎种放法‎;‎---3分 ‎(2)‎排列问题，共有A‎ ‎‎4‎‎4‎=24‎种放法‎;‎----------3分 ‎(3) ‎先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，故共有C‎ ‎‎4‎‎3‎C‎ ‎‎3‎‎1‎=12‎种放法．-------------9分 (2) ‎(4)‎法一：先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，共有C‎4‎‎2‎C‎2‎‎1‎C‎1‎‎1‎A‎2‎‎2‎‎·A‎ ‎‎4‎‎3‎=144‎种放法‎;‎---------------------12分 法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，共有C‎ ‎‎4‎‎2‎A‎ ‎‎4‎‎3‎=144‎种放法；---------------------12分 ‎ ‎19、（1）二项展开式中，通项公式为，令，求得，-------2分 故含项的系数为．-------------4分 ‎（2）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为；--------------------8分 ‎（3）该二项展开式中二项式系数最大的项为-----12分 ‎20、Ⅰ），令得或者.‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 综上可得所求切线方程为和.--------------------------------5分 ‎（Ⅱ）设，-------7分 ‎，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；--------9分 而，所以，即；‎ 同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.------------------------------12分 ‎21、解：‎(‎Ⅰ‎)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6． 依条件可知X～B(6,‎2‎‎3‎).P(X=k)=C‎6‎k⋅(‎2‎‎3‎‎)‎k⋅(‎1‎‎3‎‎)‎‎6-k(k=0,‎1，2，3，4，5，‎6)‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎1‎‎729‎ ‎12‎‎729‎ ‎60‎‎729‎ ‎160‎‎729‎ ‎240‎‎729‎ ‎192‎‎729‎ ‎64‎‎729‎ 所以EX=‎1‎‎729‎(0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64)=‎2916‎‎729‎=4‎．-------------------4分 或因为X～B(6,‎2‎‎3‎)‎，所以EX=6×‎2‎‎3‎=4.‎即X的数学期望为4 ‎(‎Ⅱ‎)‎设教师甲在一场比赛中获奖为事件A， 则P(A)=C‎4‎‎2‎×(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎×(‎2‎‎3‎‎)‎‎4‎+C‎4‎‎1‎×‎1‎‎3‎×(‎2‎‎3‎‎)‎‎5‎+(‎2‎‎3‎‎)‎‎6‎=‎‎32‎‎81‎．---------8分 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为‎32‎‎81‎． ‎(‎Ⅲ‎)‎设教师乙在这场比赛中获奖为事件B， 则P(B)=A‎4‎‎2‎A‎4‎‎4‎A‎6‎‎6‎=‎‎2‎‎5‎．--------------------------------10分 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为‎2‎‎5‎． 显然‎2‎‎5‎‎=‎32‎‎80‎≠‎‎32‎‎81‎，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．-----------------12分 ‎22、解：（1）∵函数，‎ ‎∴． --------------------1分 ‎ 令,得或，∵，∴，列表如下：‎ ‎0‎ + - + ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴的极大值为，极小值为． ----------3分 ‎（2）由（1）知，在上的最小值为，‎ 当时，，又， ----------5分 ‎∴在上有一个零点． ----------7分 ‎ ‎（3），∵存在使，‎ ‎∴在上有解，即在上有解，‎ 即不等式在上有解， ----------9分 设，∵对恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，∴当时，的最大值为4，‎ ‎∴，即． ------------------------------12分