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  • 2021-06-30 发布

高考数学专题复习课件:9-9-3圆锥曲线中定点问题的两种解法

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【 方法规律 】 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1) 引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2) 特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 【 方法规律 】 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ( 1) 求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值; (2) 求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得; (3) 求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. (1) 求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2) 设圆 M 过 A (1 , 0) ,且圆心 M 在曲线 C 上, TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动时,弦长 | TS | 是否为定值?请说明理由. 【 解析 】 (1) 依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP , ∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∵ 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上, ∴ | PQ | = | QF | , 又 | PQ | 是点 Q 到直线 l 的距离, 题型三 存在性 ( 探索性 ) 问题 圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面: (1) 探索点的存在性; (2) 探索曲线的存在性; (3) 探索最值的存在性; (4) 探索命题是否成立等,涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系. 【 方法规律 】 解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在. 【 方法规律 】 解决是否存在点的问题时,可依据条件,直接探究其结果;也可以举特例,然后再证明. 【 方法规律 】 解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解. 【 温馨提醒 】 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 ( 如设动点坐标、动直线方程等 ) ,利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的关系进行整体代换,达到 “ 设而不求,减少计算 ” 的效果,直接得定值 . ► 方法与技巧 1 .求定值问题常见的方法有两种 (1) 从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2) 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2 .定点的探索与证明问题 (1) 探索直线过定点时,可设出直线方程为 y = kx + b ,然后利用条件建立 b 、 k 等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2) 从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. ► 失误与防范 1 .在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况. 2 .中点弦问题,可以利用 “ 点差法 ” ,但不要忘记验证 Δ >0 或说明中点在曲线内部. 3 .解决定值、定点问题,不要忘记特值法 .