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- 2021-06-30 发布
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【
方法规律
】
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)
引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)
特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
【
方法规律
】
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(
1)
求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;
(2)
求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;
(3)
求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
(1)
求动点
Q
的轨迹
C
的方程;
(2)
设圆
M
过
A
(1
,
0)
,且圆心
M
在曲线
C
上,
TS
是圆
M
在
y
轴上截得的弦,当
M
运动时,弦长
|
TS
|
是否为定值?请说明理由.
【
解析
】
(1)
依题意知,点
R
是线段
FP
的中点,且
RQ
⊥
FP
,
∴
RQ
是线段
FP
的垂直平分线.
∵
点
Q
在线段
FP
的垂直平分线上,
∴
|
PQ
|
=
|
QF
|
,
又
|
PQ
|
是点
Q
到直线
l
的距离,
题型三 存在性
(
探索性
)
问题
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面:
(1)
探索点的存在性;
(2)
探索曲线的存在性;
(3)
探索最值的存在性;
(4)
探索命题是否成立等,涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系.
【
方法规律
】
解决是否存在常数的问题时,应首先假设存在,看是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在.
【
方法规律
】
解决是否存在点的问题时,可依据条件,直接探究其结果;也可以举特例,然后再证明.
【
方法规律
】
解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.
【
温馨提醒
】
对题目涉及的变量巧妙地引进参数
(
如设动点坐标、动直线方程等
)
,利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组,再化为一元二次方程,从而利用根与系数的关系进行整体代换,达到
“
设而不求,减少计算
”
的效果,直接得定值
.
►
方法与技巧
1
.求定值问题常见的方法有两种
(1)
从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)
直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
2
.定点的探索与证明问题
(1)
探索直线过定点时,可设出直线方程为
y
=
kx
+
b
,然后利用条件建立
b
、
k
等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.
(2)
从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
►
失误与防范
1
.在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.
2
.中点弦问题,可以利用
“
点差法
”
,但不要忘记验证
Δ
>0
或说明中点在曲线内部.
3
.解决定值、定点问题,不要忘记特值法
.
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