2016年北京市高考数学试卷（文科） 20页

‎2016年北京市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}‎ ‎2．（5分）复数=（　　）‎ A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．8 B．9 C．27 D．36‎ ‎4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　）‎ A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x ‎5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2‎ ‎6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．3 C．7 D．8‎ ‎8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 ‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎ 6‎ ‎7 ‎ ‎ 8‎ ‎9 ‎ ‎ 10‎ ‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎ 1.96‎ ‎1.92‎ ‎ 1.82‎ ‎ 1.80‎ ‎ 1.78‎ ‎ 1.76‎ ‎ 1.74‎ ‎ 1.72‎ ‎ 1.68‎ ‎ 1.60‎ ‎ 30秒跳绳（单位：次）‎ ‎ 63‎ a ‎ ‎ 75‎ ‎60 ‎ ‎ 63‎ ‎72 ‎ ‎70‎ a﹣1 ‎ ‎ b ‎65 ‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为　 　．‎ ‎10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为　 　．‎ ‎11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为　 　．‎ ‎12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=　 　，b=　 　．‎ ‎13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=　 　．‎ ‎14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ‎①第一天售出但第二天未售出的商品有　 　种；‎ ‎②这三天售出的商品最少有　 　种．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15．（13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．‎ ‎18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．‎ ‎（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}‎ ‎【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，‎ ‎∴A∩B={x|2＜x＜3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）复数=（　　）‎ A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i ‎【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．‎ ‎【解答】解：===i，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．8 B．9 C．27 D．36‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，‎ 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，‎ 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，‎ 当k=3时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的S值为9，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　）‎ A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x ‎【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．‎ ‎【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；‎ ‎∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；‎ B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；‎ C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；‎ D.；‎ ‎∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2‎ ‎【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．‎ ‎【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），‎ ‎∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：‎ d==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．‎ ‎【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，‎ 基本事件总数n==10，‎ 甲被选中包含的基本事件的个数m==4，‎ ‎∴甲被选中的概率p===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．3 C．7 D．8‎ ‎【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．‎ ‎【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，‎ 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，‎ 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 ‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎ 6‎ ‎7 ‎ ‎ 8‎ ‎9 ‎ ‎ 10‎ ‎1.92‎ ‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎ 1.96‎ ‎ 1.82‎ ‎ 1.80‎ ‎ 1.78‎ ‎ 1.76‎ ‎ 1.74‎ ‎ 1.72‎ ‎ 1.68‎ ‎ 1.60‎ ‎ 30秒跳绳（单位：次）‎ ‎ 63‎ a ‎ ‎ 75‎ ‎60 ‎ ‎ 63‎ ‎72 ‎ ‎70‎ a﹣1 ‎ ‎ b ‎65 ‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，‎ 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，‎ 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，‎ 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，‎ 剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，‎ 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为　　．‎ ‎【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），‎ ‎∴与夹角θ满足：‎ cosθ===，‎ 又∵θ∈[0，π]，‎ ‎∴θ=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为　2　．‎ ‎【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．‎ ‎【解答】解：；‎ ‎∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；‎ ‎∴x=2时，f（x）取最大值2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为　　．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，‎ 棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，‎ 棱柱的高为1，‎ 故棱柱的体积V=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=　1　，b=　2　．‎ ‎【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．‎ ‎【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），‎ ‎∴，‎ 解得a=1，b=2．‎ 故答案为：1，2．‎ ‎【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=　1　．‎ ‎【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎=，sinC=，C=，则B==．‎ 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，‎ 则=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ‎①第一天售出但第二天未售出的商品有　16　种；‎ ‎②这三天售出的商品最少有　29　种．‎ ‎【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．‎ ‎【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，‎ 如图，‎ 则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；‎ ‎②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，‎ 当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．‎ 故答案为：①16；②29．‎ ‎【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15．（13分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎{bn}是公比为q的等比数列，‎ 由b2=3，b3=9，可得q==3，‎ bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；‎ 即有a1=b1=1，a14=b4=27，‎ 则d==2，‎ 则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；‎ ‎（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，‎ 则数列{cn}的前n项和为 ‎（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+‎ ‎=n2+．‎ ‎【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；‎ ‎（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx ‎=sin2ωx+cos2ωx==．‎ 由T=，得ω=1；‎ ‎（2）由（1）得，f（x）=．‎ 再由，得．‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．‎ ‎【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：‎ ‎（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．‎ ‎（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得：‎ 用水量在[0.5，1）的频率为0.1，‎ 用水量在[1，1.5）的频率为0.15，‎ 用水量在[1.5，2）的频率为0.2，‎ 用水量在[2，2.5）的频率为0.25，‎ 用水量在[2.5，3）的频率为0.15，‎ 用水量在[3，3.5）的频率为0.05，‎ 用水量在[3.5，4）的频率为0.05，‎ 用水量在[4，4.5）的频率为0.05，‎ ‎∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，‎ ‎∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，‎ ‎∴w至少定为3立方米．‎ ‎（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：‎ ‎（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，‎ ‎∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．‎ ‎（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；‎ ‎（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥DC，‎ ‎∵DC⊥AC，PC∩AC=C，‎ ‎∴DC⊥平面PAC；‎ ‎（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥AB，‎ ‎∵PC∩AC=C，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∵AB⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．‎ ‎∵点E为AB的中点，‎ ‎∴EF∥PA，‎ ‎∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，‎ ‎∴PA∥平面CEF．‎ ‎【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；‎ ‎（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．‎ ‎【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，‎ ‎∴a=2，b=1，则，‎ ‎∴椭圆C的方程为，离心率为e=；‎ ‎（2）证明：如图，‎ 设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，‎ 取x=0，得；‎ ‎，PB所在直线方程为，‎ 取y=0，得．‎ ‎∴|AN|=，‎ ‎|BM|=1﹣．‎ ‎∴=‎ ‎=﹣==‎ ‎=．‎ ‎∴四边形ABNM的面积为定值2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；‎ ‎（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+‎ ‎4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；‎ ‎（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，‎ 切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；‎ ‎（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，‎ 由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，‎ 由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），‎ 当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；‎ 当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．‎ 即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；‎ g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．‎ 由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，‎ 解得0＜c＜，‎ 则c的取值范围是（0，）；‎ ‎（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，‎ 可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．‎ 即有f（x）有3个单调区间，‎ 即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，‎ 可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；‎ 若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，‎ 当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，‎ 即有f（x）=x（x+2）2‎ ‎，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．‎ 故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．‎ ‎　‎