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- 2021-06-30 发布
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2007年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知cosθ⋅tanθ<0，那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
2. 函数f(x)=3x(0b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|≤2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.(0,12] B.(0,22] C.[12，1) D.[22，1)
5. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（ 字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）
A.(C261)2A104个 B.A262A104个
C.(C261)2104个 D.A262104个
6. 若不等式组x-y+5≥0y≥a0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A.a<5 B.a≥7 C.5≤a<7 D.a<5或a≥7
7. 平面α // 平面β的一个充分条件是（ ）
A.存在一条直线a，a // α，a // β
B.存在一条直线a，a⊂α，a // β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a // β，b // α
D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a // β，b // α
8. 对于函数①f(x)=lg(|x-2|+1)，②f(x)=(x-2)2，③f(x)=cos(x+2)，判断如下三个命题的真假：
命题甲：f(x+2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(-∞, 2)上是减函数，在(2, +∞)上是增函数；
命题丙：f(x+2)-f(x)在(-∞, +∞)上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A.①③ B.①② C.③ D.②
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9. f'(x)是f(x)=13x3+2x+1的导函数，则f'(-1)的值是________．
10. 若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1, 2, 3,…)，则此数列的通项公式为________；数列nan中数值最小的项是第________项．
11. 已知向量a→=(2, 4)，b→=(1, 1)，若向量b→⊥(a→+λb→)，则实数λ的值是________．
12. 在△ABC中，若tanA=13，C=150∘，BC=2，则AB=________．
13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．
14. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
6 / 6
则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]=2时，x=________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15. 记关于x的不等式x-ax+1<0的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．
(1)若a=3，求P；
(2)若Q⊆P，求正数a的取值范围．
16. 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{an}的通项公式．
17. 如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（3）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．
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18. 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（1）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；
（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率．
19. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2, 0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点T(-1, 1)在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程；
（3）若动圆P过点N(-2, 0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
20. 已知函数y=kx与y=x2+2(x≥0)的图象相交于A(x1, y1)，B(x2, y2)，l1，l2分别是y=x2+2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设t为点M的横坐标，当x1<x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（3）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
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参考答案与试题解析
2007年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.C
2.B
3.B
4.D
5.A
6.C
7.证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确
8.D
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9.3
10.2n-11,3
11.-3
12.10
13.725
14.1,1
三、解答题（共6小题，满分80分）
15.解：(1)由x-3x+1<0，得P={x|-10，得P={x|-12，即a的取值范围是(2, +∞)．
16.解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，
所以(2+c)2=2(2+3c)，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．
（2）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，an-an-1=(n-1)c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=n(n-1)2c．
又a1=2，c=2，故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2, 3,)．
当n=1时，上式也成立，
所以an=n2-n+2(n=1, 2,)
17.解：（1）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴ ∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵ 二面角B-AO-C是直二面角，
∴ CO⊥BO，
又∵ AO∩BO=O，
∴ CO⊥平面AOB，
又CO⊂平面COD，
6 / 6
∴ 平面COD⊥平面AOB．
（2）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE // AO，
∴ ∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=12BO=1，
∴ CE=CO2+OE2=5．
又DE=12AO=3．
∴ CD=CE2+DE2=22
∴ 在Rt△CDE中，cos∠CDE=DECD=322=64．
∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为64．
解法二：建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则O(0, 0, 0)，A(0,0,23)，C(2, 0, 0)，D(0,1,3)，
∴ OA→=(0,0,23)，CD→=(-2,1,3)，
∴ cos=|OA→|⋅|CD→|˙=623⋅22=64．
∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值为64．
（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴ ∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且tanCDO=OCOD=2OD．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，OD=OA⋅OBAB=3，tanCDO=233，
∴ CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为233．
18.解：（1）∵ 每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，
∴ 本题是一个古典概型，
∵ 试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，
而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有A106种结果，
∴ 根据古典概型公式得到P=A106106=0.1512．
（2）∵ 每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，
∴ 本题是一个古典概型，
∵ 试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有106种结果，
而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有C63种结果，
其他三人在其余9个车站下车的可能有93，共有93C63
∴ 根据古典概型公式得到P=93C63106=0.01458．
19.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3
又因为点T(-1, 1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)．
3x+y+2=0．
（2）由x-3y-6=03x+y+2=0解得点A的坐标为(0, -2)，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2, 0)．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|=(2-0)2+(0+2)2=22．
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8．
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（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|=|PN|+22，
即|PM|-|PN|=22．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．
因为实半轴长a=2，半焦距c=2．
所以虚半轴长b=c2-a2=2．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22-y22=1(x≤-2)．
20.解：（1）由方程y=kxy=x2+2消y得x2-kx+2=0．①
依题意，该方程有两个正实根，
故△=k2-8>0x1+x2=k>0解得k>22．
（2）由f'(x)=2x，求得切线l1的方程为y=2x1(x-x1)+y1，
由y1=x12+2，并令y=0，得t=x12-1x1，x1，x2是方程①的两实根，
且x1<x2，故x1=k-k2-82=4k+k2-8，k>22，
x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是(0,2)．
t是关于x1的增函数，定义域为(0,2)，所以值域为(-∞, 0)．
（3）当x1<x2时，由（2）可知|OM|=|t|=-x12+1x1．
类似可得|ON|=x22-1x2．|OM|-|ON|=-x1+x22+x1+x2x1x2．
由①可知x1x2=2．
从而|OM|-|ON|=0．
当x2<x1时，有相同的结果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．
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