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  • 2021-06-30 发布

2007年北京市高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年北京市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1. 已知cosθ⋅tanθ<0‎,那么角θ是‎(‎       ‎‎)‎ A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 ‎2. 函数f(x)=‎3‎x(0b>0)‎的焦点为F‎1‎,F‎2‎,两条准线与x轴的交点分别为M,N,若‎|MN|≤2|F‎1‎F‎2‎|‎,则该椭圆离心率的取值范围是( )‎ A.‎(0,‎1‎‎2‎]‎ B.‎(0,‎2‎‎2‎]‎ C.‎[‎1‎‎2‎,1)‎ D.‎‎[‎2‎‎2‎,1)‎ ‎5. 某城市的汽车牌照号码由‎2‎个英文字母( 字母可重复)后接‎4‎个数字组成,其中‎4‎个数字互不相同的牌照号码共有( )‎ A.‎(‎C‎26‎‎1‎‎)‎‎2‎A‎10‎‎4‎个 B.A‎26‎‎2‎A‎10‎‎4‎个 C.‎(‎C‎26‎‎1‎‎)‎‎2‎‎10‎‎4‎个 D.A‎26‎‎2‎‎10‎‎4‎个 ‎6. 若不等式组x-y+5≥0‎y≥a‎0≤x≤2‎表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )‎ A.a<5‎ B.a≥7‎ C.‎5≤a<7‎ D.a<5‎或a≥7‎ ‎7. 平面α // ‎平面β的一个充分条件是( )‎ A.存在一条直线a,a // α,‎a // β B.存在一条直线a,a⊂α,‎a // β C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a // β,‎b // α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a // β,‎b // α ‎8. 对于函数①f(x)=lg(|x-2|+1)‎,②f(x)=(x-2‎‎)‎‎2‎,③f(x)=cos(x+2)‎,判断如下三个命题的真假:‎ 命题甲:f(x+2)‎是偶函数;‎ 命题乙:f(x)‎在‎(-∞, 2)‎上是减函数,在‎(2, +∞)‎上是增函数;‎ 命题丙:f(x+2)-f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎上是增函数.‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )‎ A.①③ B.①② C.③ D.②‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9. f'(x)‎是f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+2x+1‎的导函数,则f'(-1)‎的值是________.‎ ‎10. 若数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=n‎2‎-10n(n=1, 2, 3‎,…‎)‎,则此数列的通项公式为________;数列nan中数值最小的项是第________项.‎ ‎11. 已知向量a‎→‎‎=(2, 4)‎,b‎→‎‎=(1, 1)‎,若向量b‎→‎‎⊥(a‎→‎+λb‎→‎)‎,则实数λ的值是________.‎ ‎12. 在‎△ABC中,若tanA=‎‎1‎‎3‎,C=‎‎150‎‎∘‎,BC=2‎,则AB=‎________.‎ ‎13. ‎2002‎年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为‎1‎,大正方形的面积为‎25‎,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于________.‎ ‎14. 已知函数f(x)‎,g(x)‎分别由下表给出 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ g(x)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ 6 / 6‎ 则f[g(1)]‎的值为________;当g[f(x)]=2‎时,x=‎________.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15. 记关于x的不等式x-ax+1‎‎<0‎的解集为P,不等式‎|x-1|≤1‎的解集为Q.‎ ‎(1)‎若a=3‎,求P;‎ ‎(2)‎若Q⊆P,求正数a的取值范围.‎ ‎16. 数列‎{an}‎中,a‎1‎‎=2‎,an+1‎‎=an+cn(c是常数,n=1‎,‎2‎,‎3‎,…),且a‎1‎,a‎2‎,a‎3‎成公比不为‎1‎的等比数列.‎ ‎(1)求c的值;‎ ‎(2)求‎{an}‎的通项公式.‎ ‎17. 如图,在Rt△AOB中,‎∠OAB=‎π‎6‎,斜边AB=4‎.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在斜边AB上.‎ ‎(1)求证:平面COD⊥‎平面AOB;‎ ‎(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小;‎ ‎(3)求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎18. 某条公共汽车线路沿线共有‎11‎个车站(包括起点站和终点站),在起点站开出的一辆公共汽车上有‎6‎位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求:‎ ‎(1)这‎6‎位乘客在其不相同的车站下车的概率;‎ ‎(2)这‎6‎位乘客中恰有‎3‎人在终点站下车的概率.‎ ‎19. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2, 0)‎,AB边所在直线的方程为x-3y-6=0‎点T(-1, 1)‎在AD边所在直线上.‎ ‎(1)求AD边所在直线的方程;‎ ‎(2)求矩形ABCD外接圆的方程;‎ ‎(3)若动圆P过点N(-2, 0)‎,且与矩形ABCD的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.‎ ‎20. 已知函数y=kx与y=x‎2‎+2(x≥0)‎的图象相交于A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,l‎1‎,l‎2‎分别是y=x‎2‎+2(x≥0)‎的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l‎1‎,l‎2‎与x轴的交点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)设t为点M的横坐标,当x‎1‎‎<‎x‎2‎时,写出t以x‎1‎为自变量的函数式,并求其定义域和值域;‎ ‎(3)试比较‎|OM|‎与‎|ON|‎的大小,并说明理由(O是坐标原点).‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年北京市高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.B ‎4.D ‎5.A ‎6.C ‎7.证明:对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行故A不对对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B不对对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C不对对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确 ‎8.D 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9.‎‎3‎ ‎10.‎2n-11‎,‎‎3‎ ‎11.‎‎-3‎ ‎12.‎‎10‎ ‎13.‎‎7‎‎25‎ ‎14.‎1‎,‎‎1‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.解:‎(1)‎由x-3‎x+1‎‎<0‎,得P={x|-10‎,得P={x|-12‎,即a的取值范围是‎(2, +∞)‎.‎ ‎16.解:(1)a‎1‎‎=2‎,a‎2‎‎=2+c,a‎3‎‎=2+3c,‎ 因为a‎1‎,a‎2‎,a‎3‎成等比数列,‎ 所以‎(2+c‎)‎‎2‎=2(2+3c)‎,‎ 解得c=0‎或c=2‎.‎ 当c=0‎时,a‎1‎‎=a‎2‎=‎a‎3‎,不符合题意舍去,故c=2‎.‎ ‎(2)当n≥2‎时,由于a‎2‎‎-a‎1‎=c,a‎3‎‎-a‎2‎=2c,an‎-an-1‎=(n-1)c,‎ 所以an‎-a‎1‎=[1+2++(n-1)]c=n(n-1)‎‎2‎c.‎ 又a‎1‎‎=2‎,c=2‎,故an‎=2+n(n-1)=n‎2‎-n+2(n=2, 3‎,‎)‎.‎ 当n=1‎时,上式也成立,‎ 所以an‎=n‎2‎-n+2(n=1, 2‎,‎‎)‎ ‎17.解:(1)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴ ‎∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,‎ 又∵ 二面角B-AO-C是直二面角,‎ ‎∴ CO⊥BO,‎ 又∵ AO∩BO=O,‎ ‎∴ CO⊥‎平面AOB,‎ 又CO⊂‎平面COD,‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ 平面COD⊥‎平面AOB.‎ ‎(2)解法一:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE // AO,‎ ‎∴ ‎∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.‎ 在Rt△COE中,CO=BO=2‎,OE=‎1‎‎2‎BO=1‎,‎ ‎∴ CE=CO‎2‎+OE‎2‎=‎‎5‎.‎ 又DE=‎1‎‎2‎AO=‎‎3‎.‎ ‎∴ ‎CD=CE‎2‎+DE‎2‎=2‎‎2‎ ‎∴ 在Rt△CDE中,cos∠CDE=DECD=‎3‎‎2‎‎2‎=‎‎6‎‎4‎.‎ ‎∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为‎6‎‎4‎.‎ 解法二:建立空间直角坐标系O-xyz,如图,‎ 则O(0, 0, 0)‎,A(0,0,2‎3‎)‎,C(2, 0, 0)‎,D(0,1,‎3‎)‎,‎ ‎∴ OA‎→‎‎=(0,0,2‎3‎)‎,CD‎→‎‎=(-2,1,‎3‎)‎,‎ ‎∴ cos=‎|OA‎→‎|⋅|CD‎→‎|‎‎˙‎=‎6‎‎2‎3‎⋅2‎‎2‎=‎‎6‎‎4‎.‎ ‎∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值为‎6‎‎4‎.‎ ‎(3)由(1)知,CO⊥‎平面AOB,‎ ‎∴ ‎∠CDO是CD与平面AOB所成的角,‎ 且tanCDO=OCOD=‎‎2‎OD.当OD最小时,‎∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,OD=OA⋅OBAB=‎‎3‎,tanCDO=‎‎2‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴ CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎18.解:(1)∵ 每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的,‎ ‎∴ 本题是一个古典概型,‎ ‎∵ 试验发生的所有事件是‎6‎名乘客选一个车站下车,共有‎10‎‎6‎种结果,‎ 而满足条件的事件是‎6‎位乘客在其不相同的车站下车共有A‎10‎‎6‎种结果,‎ ‎∴ 根据古典概型公式得到P=A‎10‎‎6‎‎10‎‎6‎=0.1512‎.‎ ‎(2)∵ 每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的,‎ ‎∴ 本题是一个古典概型,‎ ‎∵ 试验发生的所有事件是‎6‎名乘客选一个车站下车,共有‎10‎‎6‎种结果,‎ 而满足条件的‎6‎位乘客中恰有‎3‎人在终点站下车有C‎6‎‎3‎种结果,‎ 其他三人在其余‎9‎个车站下车的可能有‎9‎‎3‎,共有‎9‎‎3‎C‎6‎‎3‎ ‎∴ 根据古典概型公式得到P=‎9‎‎3‎C‎6‎‎3‎‎10‎‎6‎=0.01458‎.‎ ‎19.解:(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0‎,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为‎-3‎ 又因为点T(-1, 1)‎在直线AD上,‎ 所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)‎.‎ ‎3x+y+2=0‎‎.‎ ‎(2)由x-3y-6=0‎‎3x+y+2=0‎解得点A的坐标为‎(0, -2)‎,‎ 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2, 0)‎.‎ 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.‎ 又‎|AM|=‎(2-0‎)‎‎2‎+(0+2‎‎)‎‎2‎=2‎‎2‎.‎ 从而矩形ABCD外接圆的方程为‎(x-2‎)‎‎2‎+y‎2‎=8‎.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎(3)因为动圆P过点N,所以‎|PN|‎是该圆的半径,又因为动圆P与圆M外切,‎ 所以‎|PM|=|PN|+2‎‎2‎,‎ 即‎|PM|-|PN|=2‎‎2‎.‎ 故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为‎2‎‎2‎的双曲线的左支.‎ 因为实半轴长a=‎‎2‎,半焦距c=2‎.‎ 所以虚半轴长b=c‎2‎‎-‎a‎2‎=‎‎2‎.‎ 从而动圆P的圆心的轨迹方程为x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1(x≤-‎2‎)‎.‎ ‎20.解:(1)由方程y=kxy=x‎2‎+2‎消y得x‎2‎‎-kx+2=0‎.①‎ 依题意,该方程有两个正实根,‎ 故‎△=k‎2‎-8>0‎x‎1‎‎+x‎2‎=k>0‎解得k>2‎‎2‎.‎ ‎(2)由f'(x)=2x,求得切线l‎1‎的方程为y=2x‎1‎(x-x‎1‎)+‎y‎1‎,‎ 由y‎1‎‎=x‎1‎‎2‎+2‎,并令y=0‎,得t=x‎1‎‎2‎-‎‎1‎x‎1‎,x‎1‎,x‎2‎是方程①的两实根,‎ 且x‎1‎‎<‎x‎2‎,故x‎1‎‎=k-‎k‎2‎‎-8‎‎2‎=‎‎4‎k+‎k‎2‎‎-8‎,k>2‎‎2‎,‎ x‎1‎是关于k的减函数,所以x‎1‎的取值范围是‎(0,‎2‎)‎.‎ t是关于x‎1‎的增函数,定义域为‎(0,‎2‎)‎,所以值域为‎(-∞, 0)‎.‎ ‎(3)当x‎1‎‎<‎x‎2‎时,由(2)可知‎|OM|=|t|=-x‎1‎‎2‎+‎‎1‎x‎1‎.‎ 类似可得‎|ON|=x‎2‎‎2‎-‎‎1‎x‎2‎.‎|OM|-|ON|=-x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎+‎x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎.‎ 由①可知x‎1‎x‎2‎‎=2‎.‎ 从而‎|OM|-|ON|=0‎.‎ 当x‎2‎‎<‎x‎1‎时,有相同的结果‎|OM|-|ON|=0‎.‎ 所以‎|OM|=|ON|‎.‎ ‎ 6 / 6‎