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  • 2021-06-30 发布

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(23)解三角形的应用

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课时作业(二十三) [第23讲 解三角形的应用]‎ ‎[时间:45分钟  分值:100分]‎ ‎1.已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10° B.北偏西10°‎ C.南偏东10° D.南偏西10°‎ ‎2.已知A、B两地的距离为‎10 km,B、C两地的距离为‎20 km,观测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为(  )‎ A.‎10 km B. km C.‎10 km D.‎10 km ‎3.有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为(  )‎ A.1 B.2sin10°‎ C.2cos10° D.cos20°‎ ‎4. 如图K23-1,一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午8:30到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距4 n mile,则此船的航行速度是________ n mile/h.‎ 图K23-1‎ ‎5.如图K23-2,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为‎50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为(  )‎ 图K23-2‎ A.‎50 m B.‎50 m C.‎25 m D. m ‎6.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(  )‎ A.a km B.a km C.‎2a km D.a km ‎7.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距‎20 m,则折断点与树干底部的距离是(  )‎ A. m B.‎10 m C. m D.‎20 m ‎8. 海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距100 n mile,渔船B被困海面,已知B距离基地100 n mile,而且在救护船A的正西方,则渔船B与救护船A的距离是(  )‎ A.100 n mile ‎ B.200 n mile C.100 n mile或200 n mile ‎ D.100 n mile ‎9.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进‎10 m到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为(  )‎ A.‎15 m B.‎5 m C.‎10 m D.‎‎12 m ‎10.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为‎2 km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为‎3 km,则B船到灯塔C的距离为________ km.‎ ‎11.如图K23-3,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为‎10 m,则旗杆的高度为________ m.‎ 图K23-3‎ ‎12. 如图K23-4,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选取一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走‎10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________ m.‎ 图K23-4‎ ‎13. △ABC中,AB=2,BC=,A=45°,∠B为△ABC中最大角,D为AC上一点,AD=DC,则BD=________.‎ ‎14.(10分)以‎40 km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺风向正东飘去,3 min后气球上升到‎1000 m处,从探测船上观察气球,仰角为30°,求气球的水平飘移速度.‎ ‎15.(13分) 如图K23-5所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15 n mile/h,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发,朝北偏东θ的方向作匀速直线航行,速度为m n mile/h.‎ ‎(1)若两船能相遇,求m.‎ ‎(2)当m=10时,求两船出发后多长时间距离最近,最近距离为多少n mile?‎ 图K23-5‎ ‎16.(12分)某海岛上有一座海拔‎1 km的山,山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A),测得一游艇在海岛南偏西30°,俯角为45°的B处,该游艇准备前往海岛正东方向,俯角为45°的旅游景点C处,如图K23-6所示.‎ ‎(1)设游艇从B处直线航行到C处时,距离观察站P最近的点为D处.‎ ‎(i)求证:BC⊥平面PAD;‎ ‎(ii)计算B、D两点间的距离.‎ ‎(2)海水退潮后,在(1)中的点D处周围‎0.25 km内有暗礁,航道变窄,为了有序参观景点,要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后,再沿正东方向继续驶向C处.为使游艇不会触礁,试求AE的最大值.‎ 图K23-6‎ 课时作业(二十三)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.B [解析] 如图,∠CBA=(180°-80°)=50°,α=60°-50°=10°,故选B.‎ ‎2.D [解析] 如图,△ABC中,AB=10,BC=20,∠B=120°.‎ 由余弦定理得,‎ AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,‎ ‎=102+202-2×10×20×=700,‎ ‎∴AC=‎10 km,故选D.‎ ‎3.C [解析] 如图,在△ACD中,由正弦定理,有 =,‎ ‎∴AD= ‎==2cos10°,故选C.‎ ‎4.16 [解析] 如图,在△ABS中,由正弦定理,有 =,∴AB==8,‎ 故此船的航行速度是8÷=16(n mile/h).‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.A [解析] 由题意,得B=30°.由正弦定理,得=,∴AB===50(m).‎ ‎6.D [解析] 依题意得∠ACB=120°,由余弦定理,得 cos120°=.‎ ‎∴AB2=AC2+BC2-‎2AC·BCcos120°‎ ‎=a2+a2-‎2a2×=‎3a2,‎ ‎∴AB=a,故选D.‎ ‎7.A [解析] 如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,∴∠OAB=60°.由正弦定理知,=,∴AO= m,故选A.‎ ‎8.C [解析] 如图,设基地的位置为O,在△OAB中,OA=100,OB=100,∠OAB=30°,‎ 由余弦定理,有 OB2=AB2+OA2-2AB·OAcos∠OAB,‎ 即AB2-300AB+2×1002=0,‎ 解得AB=100,或AB=200,故选C.‎ ‎9.C [解析] 如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.‎ 在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h.‎ 在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10.‎ 由余弦定理得,OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,‎ 即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,‎ ‎∴h2-5h-50=0,解得h=10,或h=-5(舍),故选C.‎ ‎10.-1 [解析] 如图,由题意可得,∠ACB=120°,AC=2,AB=3,设BC=x,则由余弦定理可得,‎ AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos120°,‎ 即32=x2+22-2×2xcos120°,‎ 整理得x2+2x=5,解得x=-1.‎ ‎11.30 [解析] 设旗杆高为h米,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC==h.‎ 在△ABC中,AB=10,∠CAB=45°,∠ABC=105°,‎ 所以∠ACB=30°,由正弦定理得,=,‎ 故h=30.‎ ‎12.10 [解析] 在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,‎ ‎∠BCD=90°+15°=105°,∠CBD=180°-105°-45°=30°,‎ 由正弦定理,有=,‎ 则BC==10,‎ 在Rt△ABC中,AB=BCtan60°=10.‎ ‎13. [解析] 在△ABC中,由正弦定理,有 =,即sinC==,‎ ‎∴cosC==,‎ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ‎=×+×=,‎ 由正弦定理,有=,‎ 得AC==3.‎ ‎∵AD=DC,∴AD=1,DC=2,‎ 在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos45°‎ ‎=(2)2+12-2×2×1×=5,‎ ‎∴BD=.‎ ‎14.[解答] 如图,船从A航行到C处,气球飘到D处.‎ 由题知,BD=1 ‎000 m=‎1 km,AC=‎2 km,‎ ‎∵∠BCD=30°,‎ ‎∴BC= km.‎ 设AB=x km,‎ 在△ABC中,∵∠BAC=90°-30°=60°,‎ ‎∴由余弦定理得22+x2-2×2xcos60°=()2,‎ ‎∴x2-2x+1=0,∴x=1.‎ ‎∴气球水平飘移速度为=20(km/h).‎ ‎15.[解答] (1)设t小时后,两船在M处相遇,‎ 由tanθ=,得sinθ=,cosθ=,‎ 所以sin∠AMB=sin(45°-θ)=.‎ 由正弦定理,=,∴AM=40,‎ 同理得BM=40.‎ ‎∴t==,m==15.‎ ‎(2)以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2)处,则|AP|=15t,|BQ|=10t.‎ 由任意角三角函数的定义,可得 即点P的坐标是(15t,15t),‎ 即点Q的坐标是(10t,20t-40),‎ ‎∴|PQ|===≥20,‎ 当且仅当t=4时,|PQ|取得最小值20,即两船出发4小时时,距离最近,最近距离为20 n mile.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] (1)(i)连接PD,AD,‎ ‎∵游艇距离观察站P最近的点为D处,∴PD⊥BC.‎ 又依题意可知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又PA∩PD=P,∴BC⊥平面PAD.‎ ‎(ii)依题意知PA⊥AB,∠PBA=45°,PA=1,∴AB=1,‎ 同理AC=1,且∠BAC=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°.‎ 又BC⊥AD,∴D为BC的中点,且BD=.‎ ‎(2)解法一:依题意过点B作圆D的切线交AC于点E,切点为G,‎ 则AE取得最大值.‎ 设AE=x,则CE=1-x,过点E作EF⊥BC于F,‎ 则EF=.‎ 连接DG,则DG⊥BE,∴Rt△BGD∽Rt△BFE,‎ ‎∴BE=(1-x).‎ 在△ABE中,BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAC,‎ 即3(1-x)2=1+x2+x,化简得2x2-7x+2=0,‎ 解得x1=,x2=.‎ 又∵0