黑龙江省大庆市实验中学2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题 19页

www.ks5u.com 大庆实验中学2019—2020学年度 高一上学期11月考试数学 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式，写出自变量满足条件，即可求解.‎ ‎【详解】要使函数有意义，则，解得且，‎ 所以函数定义域为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了给出解析式的函数的定义域，属于中档题.‎ ‎2.函数在上的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以函数在上是减函数，‎ 所以当时，.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.‎ ‎3.若且为第三象限角，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.‎ ‎【详解】因为且为第三象限角，‎ 所以，‎ 则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.‎ ‎4.设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足 即可求解.‎ ‎【详解】当时，原不等式为，A为空集；‎ 当时，因为A为空集 所以无解，‎ 只需满足，‎ 解得，‎ 综上实数的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎5.已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数，只需比较，利用对数性质及指数性质比较，，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为奇函数，‎ 所以，‎ 因为，‎ 且函数在上是增函数，‎ 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，对数函数、指数函数的性质，属于中档题.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. 2 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将自变量代入函数解析式，利用对数的运算化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的运算、性质，属于中档题.‎ ‎7.已知函数则______．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,选D.‎ ‎8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.‎ ‎【详解】设g（x）＝x2﹣ax+1，‎ 则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，‎ 由复合函数单调性可得：‎ 满足，即，‎ 得a，‎ 即实数a的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，注意真数大于0的条件的应用，属于易错题型.．‎ ‎9.已知恒为正数，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】当时，是减函数，，‎ 则，解得；‎ 当时，是增函数，，‎ 则，解得，又，所以；‎ 综上取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的性质、利用单调性解不等式，分类讨论，属于中档题.‎ ‎10.化简得 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题。‎ ‎11.在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出.‎ ‎【详解】作出函数与图象：‎ 设与图象交于不同的两点，设为，，不妨设，则，‎ 在R上递减，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的图象与性质、对数的运算，数形结合，属于中档题.‎ ‎12.若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（　　）‎ ‎①是常数函数中唯一的“特征函数”；‎ ‎②不是“特征函数”；‎ ‎③“特征函数”至少有一个零点；‎ ‎④是一个“特征函数”．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”，‎ 所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；‎ 对于②中，函数，‎ 则，即，‎ 当时，，‎ 当时，方程由唯一的解，‎ 所以不存在常数使得对任意实数都成立，‎ 所以函数不是“特征函数”，所以②正确．‎ 对于③中，令，可得，所以，‎ 若，显然有实数根，若，，‎ 又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，‎ 因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，‎ 所以③是正确；‎ 对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，‎ 则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的，‎ 所以正确命题共有②③④．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 二．填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知幂函数的图像过点，则________‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点的坐标代入函数解析式即可求出，利用函数解析式即可求值.‎ ‎【详解】因为幂函数的图像过点，‎ 所以，解得，‎ 故，‎ 所以.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题主要考查了求幂函数的解析式、利用解析式求函数值，属于中档题.‎ ‎14.一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设扇形的半径为，由题意可得：，‎ 据此可得这个扇形中心角的弧度数为.‎ ‎15.20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中，A是被测量地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差），众所周知，5级地震已经比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的______倍.‎ ‎【答案】1000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可.‎ ‎【详解】由可得，即，‎ 当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；‎ 所以，两次地震的最大振幅之比是：，即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.‎ 故答案为：1000‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于中档题.‎ ‎16.已知函数满足，函数，且与的图像的交点为，则 ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由知函数图象关于成中心对称，，图象关于点成中心对称，故交点关于成中心对称，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数满足，‎ 所以函数图象关于成中心对称，‎ 又，‎ 所以的图象也关于成中心对称，‎ 因此与的图像的交点为关于成中心对称，‎ 所以 故答案为：40‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及应用，求代数式的和，考查了运算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.（1）计算；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）0（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据终边相同的角同名三角函数值相等化简求值即可（2）先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系化为正切即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，同名三角函数的基本关系，属于中档题.‎ ‎18.设 ‎（1）求 ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由可知，结合数轴求解即可.‎ ‎【详解】（1）由解得，故，‎ 因为，所以，即,‎ 所以.‎ ‎（2） 因为，‎ 所以，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.‎ ‎19.已知幂函数 ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)(i)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.‎ ‎(ii)若图像经过坐标原点，解不等式.‎ ‎【答案】（1）或（2）(i) 单调递减区间为，无单调递增区间 (ii) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据幂函数可得，求出m即可（2）(i)根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可(ii)根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.‎ ‎【详解】（1） 因为幂函数，‎ 所以，解得或，‎ 所以函数为或.‎ ‎（2）(i)因为图像不经过坐标原点，‎ 所以，‎ 函数的单调递减区间为，无单调递增区间.‎ ‎(ii)因为图像经过坐标原点，‎ 所以，‎ 因为为偶函数，且在上为增函数，‎ 所以，‎ 又在上为增函数，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以不等式的解为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，奇偶性，单调性，属于中档题.‎ ‎20.已知函数其反函数为 ‎(1)求证：对任意都有，对任意都有 ‎(2)令，讨论的定义域并判断其单调性（无需证明）.‎ ‎(3)当时，求函数的值域；‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出其反函数为，根据解析式即可证明（2）写出，分类讨论，写出定义域及单调性即可（3）写出，利用换元法求其值域即可.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 所以对任意都有.‎ 因为其反函数为，‎ 当时，‎ ‎，‎ 所以对任意都有.‎ ‎（2）因，‎ 所以，‎ 当时，解得，且函数在上为增函数 当时，解得，且函数在上为增函数 所以时函数定义域为，函数在上为增函数；当时函数定义域为，函数在上为增函数.‎ ‎（3）当时， ,‎ 令，‎ 则 因为对称轴为，‎ 所以当时，，当时，，‎ 故函数的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数对数函数性质及运算，换元法，二次函数求值域，属于中档题.‎ ‎21.已知函数是定义在上的奇函数；‎ ‎(1)求实数的值.‎ ‎(2)试判断函数的单调性的定义证明；‎ ‎(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1（2）减函数，证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可（3）根据函数的奇偶性，单调性可得恒成立，只需求函数 的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，即，经检验符合题意.‎ ‎（2）由（1）知 函数为R上的减函数，证明如下；‎ 设，‎ 则 因为，，‎ 故，‎ 则是R上的减函数.‎ ‎（3）因为为奇函数，‎ 所以 又是R上的减函数，‎ 所以恒成立，‎ 令，‎ 因为，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以时，不等式恒成立.‎ 故实数的取值范围..‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及证明，二次不等式恒成立，属于难题.‎ ‎22.已知二次函数满足①对于任意，都有；②‎ ‎；③的图像与轴的两个交点之间的距离为4.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）记 ‎①若为单调函数，求的取值范围；‎ ‎②记的最小值为，讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）①或②详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件可知二次函数对称轴，的图像与轴的两个交点之间的距离为4可求出交点，利用交点式求函数解析式（2）①写出二次函数，根据对称轴与区间关系可求出的取值范围②分类讨论求出函数的最小值，换元后作出函数图象，再利用数形结合研究函数的零点，注意分类讨论思想在解题中的应用.‎ ‎【详解】（1）因为二次函数中，‎ 所以对称轴，‎ 又的图像与轴的两个交点之间的距离为4，‎ 所以与轴交点为 设，‎ 又，‎ 所以 即.‎ ‎（2）① ,‎ 对称轴为，‎ 因为为单调函数，‎ 所以或 解得或.‎ 故取值范围是或.‎ ‎②,‎ 对称轴为，‎ 当，即时，，‎ 当，即时，，‎ 当，即时，‎ 综上 函数零点即为方程的根，‎ 令，即的根，‎ 作出的简图如图所示：‎ ‎（i）当时，，或，‎ 解得或，有3个零点.‎ ‎（ii）当时，有唯一解，解得，有2个零点.‎ ‎（iii）当时，有两个不同解，‎ 解得或，有4个零点.‎ ‎（iv）当时，，，解得，有2个零点.‎ ‎（v）当时，无解，无零点.‎ 综上：当时，无零点；‎ 当时，4个零点；‎ 当时，有3个零点；‎ 当或时，有2个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，单调性，最值，函数的零点，涉及分类讨论思想及数形结合，属于难题.‎ ‎ ‎