四川省成都市外国语学校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 21页

www.ks5u.com 成都外国语学校2019～2020学年度12月月考 高一数学试卷 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集为，集合，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式可得集合,再根据交集运算定义可求得.‎ ‎【详解】因为,所以且，所以,‎ 所以，又因为|，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式的解法,交集的运算,属于基础题.‎ ‎2.设 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由指数函数的图象与性质可知：，‎ 由对数函数的图象与性质可知：‎ ‎∴‎ 故选B ‎3.若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令得，代入原式，即可求出结果.‎ ‎【详解】令得，代入可得：.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由解析式求函数值，利用赋值法即可求解，属于基础题型.‎ ‎4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）‎ A. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.‎ B. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.‎ C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移.‎ D. 横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的平移和伸缩变换的规律求出即可.‎ ‎【详解】为了得到函数的图象，先把函数图像的纵坐标不变，‎ 横坐标缩短到原来的倍到函数y＝3sin2x的图象，‎ 再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin（2x+）的图象.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题．‎ ‎5.已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，函数是周期为的周期函数，可得出，结合函数在区间上的解析式计算即可.‎ ‎【详解】由于定义在上的函数满足，‎ 则函数是周期为的周期函数，当时，，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数值的计算，涉及函数周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称中心，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；将所给区间代入求得的范围，与的单调区间进行对应可得到结果.‎ ‎【详解】为函数的对称中心 ，‎ 解得：，‎ ‎ ‎ 当时，，此时不单调，错误；‎ 当时，，此时不单调，错误；‎ 当时，，此时不单调，错误；‎ 当时，，此时单调递增，正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果.‎ ‎7.函数的图象可能是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.‎ ‎【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ‎ ，当时，，‎ ‎，排除C.‎ 故选D .‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.‎ ‎8.设函数满足，且对任意、都有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得出，再令可得出，即可求出的值.‎ ‎【详解】对任意、都有，且，‎ 令，得，‎ 令，可得，，‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用赋值法求抽象函数值，解题的关键就是利用赋值法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的图象与性质，求出的值，根据的定义域与单调性，再把不等式化为等价的不等式组，求出它的解集即可.‎ ‎【详解】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，‎ 所以，解得，‎ 因为，所以或，‎ 当时，，图象关于轴对称，不满足题意； 当时，，图象关于原点对称，满足题意，‎ 不等式化为，‎ ‎，‎ 因为函数在上递减，‎ 所以，‎ 解这个不等式，得，‎ 即实数取值范围是，故选B .‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是基础题目.‎ ‎10.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出内层函数在区间上为增函数，且当时，，从而可得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】由于函数在上是减函数，‎ 外层函数为减函数，‎ 则内层函数在区间上为增函数，，得，‎ 当时，有，得，因此，实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数的取值范围，在分析内外层函数的单调性外，还应注意真数要恒大于零，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11.已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得知，，结合，可得出或，从而的最小值恰为函数图象相邻对称轴之间的距离，即为最小正周期的一半，由此可得出答案.‎ ‎【详解】由题意可知，，‎ ‎，或，‎ 所以，的最小值恰为函数图象相邻对称轴之间的距离，即为该函数最小正周期的一半，因此，的最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的基本性质，将问题转化为与三角函数周期相关的问题是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数和函数在区间的图象，由两个函数图象都关于直线对称，利用数形结合思想可得出函数的所有零点之和的值.‎ ‎【详解】令，得.‎ 作出函数和函数在区间的图象如下图所示：‎ 可知，函数和函数的图象都关于直线对称，‎ 两个函数在区间上的图象共有个交点，共对交点关于直线对称，‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点之和的计算，解题的关键就是利用数形结合思想，结合图象的对称性来求计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设集合A={2，8，a}，B=，且BA，则a=__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据子集的定义可得, 或,解这两个方程得解后,再检验集合中元素的互异性.‎ ‎【详解】因为集合A={2，8，a}，B=，且BA,‎ 所以或,‎ 当时,,解得或,经检验符合题意;‎ 当时,,解得,此时集合不满足元素的互异性,应舍去,‎ 综上,或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题考查了子集和集合中元素的互异性,属于基础题.容易忽视集合中元素的互异性导致增解.‎ ‎14.已知，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用弦化切的基本思想求出的值.‎ ‎【详解】，即，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及弦化切思想求值，解题时要熟悉弦化切思想所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.设，其中、、、，若，则等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式可得出，然后利用诱导公式可得出的值.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要得出所求代数式与已知代数式之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，若集合，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数在时的解析式表示为分段函数，并作出函数的图象，然后得知关于的不等式在上恒成立，结合图形得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】若集合，‎ 则关于的不等式在上恒成立，‎ 当时，.‎ 若，则当时，，‎ 函数为奇函数，若，则，.‎ 综上，，此时函数为增函数，‎ 则不等式恒成立；‎ 若，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 如下图所示：‎ 由图象可知，若不等式恒成立，则，解得，‎ 此时.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，涉及奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，结合图象转化不等式恒成立问题是解题的关键，综合性较强，属于难题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，函数的定义域为，‎ ‎（1）当时，求，，‎ ‎（2）若求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）; ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由可得，再由交并补的定义可得，； （2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：当时和当时，列不等式分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意,当时, ,,‎ 则 ,‎ 又或,‎ 则；‎ 根据题意,若,则,‎ 分2种情况讨论：‎ 当时,有,解得：；‎ 当时,若有,必有 ，解得：,‎ 综上可得：的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题考查集合间关系的判断，涉及集合间的混合运算，（2）中注意可能为空集的情况，是基础题．‎ ‎18.（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）21；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分式、根式与指数运算的关系、分母有理化运算将式子化简为指数运算的形式，根据指数运算法则求得结果；‎ ‎（2）根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查根据指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题；关键是能够熟练掌握分式、偶次根式与指数幂的互化、对数运算的基本法则等知识，属于基础题.‎ ‎19.已知是关于的方程（）的两个根．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据韦达定理求出，．再化简得解；(2)化简即得解.‎ ‎【详解】（1）由题意，知原方程的判别式，即，所以或．‎ 又，‎ 所以，所以或（舍去）．‎ 所以．‎ ‎．‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数图象的最高点求出的值，并计算出函数的最小正周期，可得出的值，然后将点代入函数的解析式，结合求出的值，可求得函数的解析式，进而可得出的值；‎ ‎（2）由可计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求出该函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）由图象可得，由图象可得，得，‎ 此时，，则，得.‎ ‎，则，，则，，‎ ‎，因此，；‎ ‎（2），，‎ 当时，函数取得最小值，即.‎ 当时，函数取得最大值，即.‎ 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数值的计算，同时也考查了三角函数在定区间上最值的计算，利用图象得出三角函数的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．‎ ‎（1）求在上的解析式；‎ ‎（2）若，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的奇偶性求对称区间上的解析式；‎ ‎（2）将的表达式化简得到关于的二次函数的形式，讨论对称轴与所给区间的关系，求出最小值，满足题意，求出的值．‎ ‎【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以，‎ 不妨设，则，‎ ‎，‎ 若，则，故 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 当时，，‎ 所以 令，则，‎ 所以函数在上的最小值即为函数在上的最小值，‎ 对称轴为，‎ 当即时，函数在区间上是增函数，‎ 所以，解得，‎ 当，即时，，‎ 化简得，，解得或，‎ 因为，，所以此时，‎ 当，即时，函数在区间上减函数，‎ 所以，解得，‎ 所以，综上所述，存在，.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了二次函数最值的含参讨论，关键在于将化简成关于的二次函数的形式，利用二次函数求最值，属于难题.‎ ‎22.已知为偶函数．‎ ‎（1）求实数的值，并写出在区间上的增减性和值域（不需要证明）；‎ ‎（2）令，其中，若对任意、，总有，求取值范围；‎ ‎（3）令，若对任意、，总有，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（1），在上是增函数，值域为；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用偶函数的定义，作差变形可求出，结合函数的解析式写出该函数在区间上的单调性，并利用单调性得出函数在该区间上的值域；‎ ‎（2）由题意得出，且，换元，构造函数，由可得出二次函数的对称轴，分析函数在区间上的单调性，求出函数的最大值和最小值，结合不等式求出实数的取值范围；‎ ‎（3）由可得出，求出不等式右边代数式的取值范围，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数为偶函数，则，‎ 即，‎ 由题意知，对任意的，恒成立，则，，‎ ‎，该函数在区间上为增函数，且，‎ 所以，函数在区间上的值域为；‎ ‎（2）由题意知，，且，‎ 设，，则，且，‎ 设函数，则，二次函数的对称轴为直线.‎ ‎，，则函数在区间上单调递增，‎ 则，，‎ ‎，解得，‎ ‎，，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3），‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，‎ 可得，‎ ‎，‎ 由于函数在上单调递增，且，，‎ ‎，，又，，‎ 所以，，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、指数型函数不等式的综合问题，将问题转化为二次函数问题是解题的关键，同时也考查了参变量分离法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎