新教材高中数学第四章对数运算和对数函数3对数函数第1课时对数函数的概念图象与性质课件北师大版必修第一册 40页

§3 　对数函数 第 1 课时　 对数函数 的 概念 、图象与性质 激趣诱思 知识点拨 某种细胞进行分裂 , 由 1 个分裂成 2 个 ,2 个分裂成 4 个 , …… , 则 1 个这样的细胞分裂 x 次后得到细胞个数 y 如何表示 ? 反之 , 如果知道一个细胞经过 x 次分裂后得到了 1 024 个细胞 , 该如何求解 x 的值呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、对数函数 1 . 对数函数的概念 (1) 一般地 , 函数 　　 　　　　　 叫作对数函数 , 其中 a 称为 　　　　 , 由定义可知 , 对数函数具有以下基本性质 : ① 定义域是 　　　　　 ; ② 图象过定点 　　　　　 .   (2) 指数函数 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 与对数函数 y= log a x ( a> 0, 且 a ≠1) 互为反函数 . 两者的定义域与值域正好互换 . 2 . 两种特殊的对数函数 以 　　　 为底的对数函数为常用对数函数 , 记作 y= lg x ; 以 　　　　　　 为底的对数函数为自然对数函数 , 记作 y= ln x.   y= log a x ( a> 0, 且 a ≠1 ) 底数 (0, +∞ ) 　 (0,1 ) 10 无理数 e 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 判断一个函数是不是对数函数的依据 : (1) 形如 y= log a x ; (2) 底数 a 满足 a> 0, 且 a ≠1; (3) 真数为 x , 而不是 x 的函数 . 2 . 根据指数式与对数式的关系知 , y= log a x 可化为 a y =x , 由指数函数的性质 , 可知在对数函数中 , 有 a> 0, 且 a ≠1, x> 0, y ∈ R . 3 . 同底的指数函数与对数函数互为反函数 , 它们的图象关于直线 y=x 对称 . 反函数的定义域是原函数的值域 , 反函数的值域是原函数的定义域 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 下列函数是对数函数的是 ( 　　 ) A. y= log a x+ 2( a> 0, 且 a ≠1, x> 0) 激趣诱思 知识点拨 微拓展 1 . 若函数 y=f ( x ) 图象上有一点 ( a , b ), 则点 ( b , a ) 必在其反函数图象上 ; 反之亦然 . 2 . 单调函数的反函数与原函数有相同的单调性 . 3 . 若一个奇函数存在反函数 , 则这个反函数也是奇函数 . 激趣诱思 知识点拨 二、对数函数 y= log a x ( a> 0, a ≠1) 的图象和 性质 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 对数函数的图象都在 y 轴的右侧 , y 轴可以看成对数函数图象的渐近线 , x 的取值越接近于 0, 图象越接近 y 轴 . 2 . 对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约 , 注意对底数 a 的分类讨论 . 3 . 两个底数都大于 1 的对数函数 , 图象在第一象限内越接近 x 轴 , 底数越大 ; 两个底数都大于 0 小于 1 的对数函数 , 图象在第四象限内越接近 x 轴 , 底数越小 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)( 多选题 ) 若函数 y= log a x 的图象如图所示 , 则 a 的值不可能是 ( 　　 ) A.0 . 5 　　　　　 B.2 C.e D. π (2) 下列函数中 , 在区间 (0, +∞ ) 上不单调递增的是 ( 　　 ) A. y= 5 x B. y= lg x+ 2 C. y=x 2 + 1 (3) 函数 f ( x ) = log a ( x- 2 ) 的 图象必经过定点 　　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 答案 : (1)BCD 　 (2)D 　 (3)(3,0 ) 解析 : (1) ∵ 函数 y= log a x 在 (0, +∞ ) 上单调递减 , ∴ 0 0, 且 m ≠1, 所以 m= 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 对数函数是一个形式定义 : 2 . 对数函数解析式中只有一个参数 a , 用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即 可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 若函数 f ( x ) = log ( a+ 1) x+ ( a 2 - 2 a- 8) 是对数函数 , 则 a= 　　　　　 .   (2) 点 A (8, - 3) 和 B ( n ,2) 在同一个对数函数图象上 , 则 n= 　　　　　 .   解得 a= 4 . (2) 设对数函数为 f ( x ) = log a x ( a> 0, 且 a ≠1) . 则由题意可得 f (8) =- 3, 即 log a 8 =- 3, 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 指数函数与对数函数关系的应用 例 2 (2020 四川宜宾高一检测 ) 已知函数 f ( x ) = log 2 x , 若函数 g ( x ) 是 f ( x ) 的反函数 , 则 f ( g (2)) = ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 : B 　 解析 : ∵ g ( x ) 是 f ( x ) 的反函数 , ∴ g ( x ) = 2 x . ∴ g (2) = 2 2 = 4, ∴ f ( g (2)) =f (4) = log 2 4 = 2 . 反思感悟 涉及 指数 函数 和 对数函数互为 反函数 的 问题 , 一定注意前提是 “ 同底数 ”, 且它们的图象关于直线 y=x 对称 ; 反之 , 两个函数图象关于直线 y=x 对称 , 则这两个函数互为反函数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知函数 g ( x ) =f ( x ) +x 2 是奇函数 , 当 x> 0 时 , 函数 f ( x ) 的图象与函数 y= log 2 x 的图象关于直线 y=x 对称 , 则 g ( - 1) +g ( - 2) = ( 　　 ) A. - 7 B. - 9 C. - 11 D. - 13 答案 : C 　 解析 : 由题意知 f ( x ) = 2 x , 所以当 x> 0 时 , g ( x ) = 2 x +x 2 . 又 ∵ g ( x ) 为奇函数 , ∴ g ( - 1) =-g (1) =- 3, g ( - 2) =-g (2) =- (2 2 + 2 2 ) =- 8 . ∴ g ( - 1) +g ( - 2) =- 11 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 与对数函数有关的定义域、值域问题 例 3 (1) 函数 f ( x ) = ln( x 2 -x ) 的定义域为 ( 　　 ) A.( -∞ ,0) ∪ (1, +∞ ) B.( -∞ ,0] ∪ [1, +∞ ) C.(0,1) D.[0,1] (2) 已知函数 f ( x ) = 2lo x 的值域为 [ - 1,1], 则函数 f ( x ) 的定义域是 　　　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 由题意得 x 2 -x> 0, 解得 x> 1 或 x< 0, 故函数的定义域是 ( -∞ ,0) ∪ (1, +∞ ) . 故选 A . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 定义域问题注意事项 (1) 要遵循以前已学习过的求定义域的方法 , 如分式分母不为零 , 偶次根式被开方式大于或等于零等 . (2) 遵循对数函数自身的要求 : 一是真数大于零 ; 二是底数大于零且不等于 1; 三是按底数的取值应用单调性 , 有针对性地解不等式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 对数函数的图象 例 4 函数 y= log 2 x , y= log 5 x , y= lg x 的图象如图所示 . (1) 指出三个函数分别对应于哪个图象 , 并说明理由 ; (3) 从 (2) 的图中你发现了什么 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : (1) ① 对应函数 y= lg x , ② 对应函数 y= log 5 x , ③ 对应函数 y= log 2 x. 这是因为当底数全大于 1 时 , 在 x= 1 的右侧 , 底数越大的函数图象越靠近 x 轴 . (2) 在题图中的平面直角坐标系中分别画出 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 对数函数图象的变化规律 : 1 . 对于几个底数都大于 1 的对数函数 , 底数越大 , 函数图象向右的方向越接近 x 轴 ; 对于几个底数都大于 0 且小于 1 的对数函数 , 底数越大 , 函数图象向右的方向越远离 x 轴 . 以上规律可总结成 x> 1 时 “ 底大图低 ” . 实际上 , 作出直线 y= 1, 它与各图象交点的横坐标即各函数的 底数 , 如图所示 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3 作出函数 y=| lg( x- 1) | 的图象 , 并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间 . 解 : 先画出函数 y= lg x 的图象 ( 如图 ① ) . 再将该函数图象向右平移 1 个单位长度得到函数 y= lg( x- 1) 的图象 ( 如图 ② ) . 最后把 y= lg( x- 1) 的图象在 x 轴下方的部分对称翻折到 x 轴上方 ( 原来在 x 轴上方的部分不变 ), 即得出函数 y=| lg( x- 1) | 的图象 ( 如图 ③ ) . 由图易知函数的定义域为在区间 (1, +∞ ), 值域为 [0, +∞ ), 函数在区间 (1,2] 上单调递减 , 在区间 (2, +∞ ) 上单调递增 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 利用对数函数的性质比较大小 例 5 比较下列各组中两个值的大小 : (1)log 3 1 . 9,log 3 2; (2)log 2 3,log 0 . 3 2; (3)log a π ,log a 3 . 141( a> 0, 且 a ≠1) . 分析 (1) 构造函数 f ( x ) = log 3 x , 利用其单调性比较大小 ; (2) 分别比较两个对数与 0 的大小 ; (3) 分类讨论底数 a 的取值范围 , 再利用单调性比较大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : (1)( 单调性法 ) 因为 f ( x ) = log 3 x 在 (0, +∞ ) 上是增函数 , 且 1 . 9 < 2, 所以 f (1 . 9) log 2 1 = 0,log 0 . 3 2 < log 0 . 3 1 = 0, 所以 log 2 3 > log 0 . 3 2 . (3)( 分类讨论法 ) 当 a> 1 时 , 函数 y= log a x 在定义域内是增函数 , 则有 log a π > log a 3 . 141; 当 0 1 时 ,log a π > log a 3 . 141; 当 0 0, 且 a ≠1); (3)log 3 0 . 2,log 4 0 . 2; (4)log 3 π ,log π 3 . 解 : (1) 因为函数 y= ln x 在定义域内是增函数 , 且 0 . 3 < 2 , 所以 ln 0 . 3 < ln 2 . (2) 当 a> 1 时 , 函数 y= log a x 在 (0, +∞ ) 上是增函数 , 又 3 . 1 < 5 . 2, 所以 log a 3 . 1 < log a 5 . 2; 当 0 log a 5 . 2 . 故当 a> 1 时 ,log a 3 . 1 < log a 5 . 2; 当 0 log a 5 . 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (3)( 方法一 ) 因为 0 > log 0 . 2 3 > log 0 . 2 4 , ( 方法二 ) 画出 y= log 3 x 与 y= log 4 x 的图象 , 如图所示 , 由图可知 log 4 0 . 2 > log 3 0 . 2 . ( 4) 因为函数 y= log 3 x 在定义域内是增函数 , 且 π > 3, 所以 log 3 π > log 3 3 = 1 . 同理 ,1 = log π π > log π 3, 所以 log 3 π > log π 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 互为反函数的两个函数图象间的关系 我们知道 , 指数函数 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 与对数函数 y= log a x ( a> 0, 且 a ≠1) 互为反函数 . 它们的 图象有 什么关系呢 ? 下面 , 请你运用所学的数学知识和计算工具 , 探索几个问题 , 亲自发现其中的奥秘吧 ! (1) 在同一直角坐标系中 , 画出指数函数 y= 2 x 及其反函数 y= log 2 x 的图象 . 你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗 ? (2) 取 y= 2 x 图象上的几个点 , 如 P 1 , P 2 (0,1), P 3 (1,2), P 1 , P 2 , P 3 关于直线 y=x 的对称点的坐标是什么 ? 它们在 y= log 2 x 的图象上吗 ? 为什么 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (3) 如果点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在函数 y= 2 x 的图象上 , 那么 P 0 关于直线 y=x 的对称点在函数 y= log 2 x 的图象上吗 ? 为什么 ? (4) 根据上述探究过程 , 你可以得到什么结论 ? (5) 上述结论对于指数函数 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 及其反函数 y= log a x ( a> 0, 且 a ≠1) 也成立吗 ? 为什么 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : (1) y= 2 x 与 y= log 2 x 的图象关于直线 y=x 对称 . (2 ) 点 P 1 , P 2 , P 3 关于直线 y=x 的对称点的坐标分别为 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (4) y= 2 x 与 y= log 2 x 的图象关于直线 y=x 对称 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 A.[ - 1,3) B.( - 1,3) C.( - 1,3] D.[ - 1,3] A.[ - 1,0] B .[0,1] C.[1, +∞ ) D.( -∞ , - 1] 答案 : C 　 答案 : A 　 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 A. y 0, 且 a ≠1) 的图象恒过定点 P , 则点 P 的坐标是 　　　　　 .   5 . 若 a= log 0 . 2 0 . 3, b= log 2 6, c= log 0 . 2 4, 则 a , b , c 的大小关系为 　　　　　 .   答案 : (2,2) 　 解析 : 令 x- 1 = 1, 得 x= 2 . ∵ f (2) = 2, ∴ f ( x ) 的图象恒过定点 (2,2) . 答案 : b>a>c 　 解析 : 因为 f ( x ) = log 0 . 2 x 在定义域内为减函数 , 且 0 . 2 < 0 . 3 < 1 < 4, 所以 log 0 . 2 0 . 2 > log 0 . 2 0 . 3 > log 0 . 2 1 > log 0 . 2 4, 即 1 >a> 0 >c. 同理 log 2 6 > log 2 2 = 1, 所以 b>a>c. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 6 . 已知函数 f ( x ) = log 3 x. (1) 作出这个函数的图象 ; (2) 若 f ( a )