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  • 2021-06-30 发布

丰台区2016届高三一模数学(理)试题及答案

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丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习(一) 2016.3 高三数学(理科) 第一部分 (选择题 共 40 分) 选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1.已知全集 ,集合 , ,那么集 合 等于( ) (A) (B) (C) (D) 2.在下列函数中,是偶函数,且在 内单调递增的是 (A) (B) (C) (D) 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调 查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估 计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度 超过 80km/h 的概率 (A) 75,0.25 (B)80,0.35 (C)77.5,0.25 (D)77.5,0.35 4. 若数列 满足 ,且 与 的等差中项是 5,则 等于 (A) (B) (C) (D) 5. 已知直线m,n和平面 ,若 ⊥ ,则“ ⊂ ”是“ ⊥ ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 6. 有三对师徒共 6 个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有 (A) 72 (B)54 (C) 48 (D) 8 U = R { }| 2 3A x x x= ≤ − ≥或 { }| 1 4B x x x= < − >或 ( )UC A B { }| 2 4x x− <≤ { }| 2 3x x− < < { }| 2 1x x− < < − { }| 2 1 3 4x x x或− < < − < < 0 +∞( , ) | |2 xy = 2 1y x = | lg |y x= cosy x= { }na * 1 2 ( 0, )Nn n na a a n+ = ¹ Î 2a 4a 1 2 na a a+ + + 2n 2 1n - 12n- 12 1n- - α n α m α n m 频率 组距 车速(km/h) 0.06 0.05 0.04 908580757065O 60 0.01 0.02 7.如图,已知三棱锥 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90O,侧面 PAB ⊥底面 ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是 (A) ,2,2 (B)4,2, (C) , ,2 (D) ,2, 8. 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴 来表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政 府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1 低 于均衡价格 P0 时,需求量大于供应量,价格会上升为 P2;当产品价格 P2 高 于均衡价格 P0 时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去, 产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是 (A) (B) (C) (D) P ABC- 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 俯视图 侧视图主视图 z y y x A B P C P2 P1 P0 数量 单价 需求曲线供应曲线 O P2 P1 P0 数量 单价 需求曲线 供应曲线 O 第二部分 (非选择题 共 110 分) 一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知双曲线 的一条渐近线为 ,那么双曲线的离 心率为_________. 10. 如图,BC 为⊙O 的直径,且 BC=6,延长 CB 与⊙O 在点 D 处的切线交于点 A,若 AD=4, 则 AB=________. 11. 在 中 角 , , 的 对 边 分 别 是 , , , 若 ,则 ________. 12. 在 梯 形 ABCD 中 , , , E 为 BC 中 点 , 若 ,则 x+y=_______. 13. 已知 满足 (k 为常数),若 最大值为 8,则 =________. 14.已知函数 若 ,则 的取值范围是______. 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= ABC∆ A B C a b c 3 sin cos cosb A c A a C= + sin A = //AB CD 2AB CD= AE xAB yAD  = + ,x y 0, , . x y x x y k ≥  ≤  + ≤ 2z x y= + k 1( 1), ( ) ( 1). x x f x x x + ≤=  > ( ) ( 1)f x f x> + x C B A D O 二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 . (Ⅰ)求 的最小正周期; (Ⅱ)当 时,求函数 的单调递减区间. 16.(本小题共 13 分) 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人,为了迅速甄别是否有人感染病毒,对 这些人抽血,并将血样分成 4 组,每组血样混合在一起进行化验. (Ⅰ)若这些人中有 1 人感染了病毒. ①求恰好化验 2 次时,能够查出含有病毒血样组的概率; ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X,求 E(X). (Ⅱ)如果这些人中有 2 人携带病毒,设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y),请指出(Ⅰ)②中 E(X)与 E(Y)的大小关系.(只写结 论,不需说明理由) 17.(本小题共 13 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且 BAD=60°,对角线 AC 与 BD 相交于 O;OF⊥平面 ABCD, BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ)求证: EF//BC; (Ⅱ)求直线 DE 与平面 BCFE 所成角的正弦值. 18.(本小题共 14 分) 已知函数 . (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)求证: ; (Ⅲ)若 在区间 上恒成立,求 的最小值. ( =cos (cos 3sin )f x x x x) + ( )f x π[0, ]2x ∈ (f x) ∠ ( ) lnf x x x= ( )y f x= (1, (1))f ( ) 1f x x≥ − 2 2( ) ( 0)f x ax aa ≥ + ≠ (0, )+∞ a O CD A B E F 19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 G: 的离心率为 ,短半轴长为 1. (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设椭圆 G 的短轴端点分别为 ,点 是椭圆 G 上异于点 的一动 点,直线 分别与直线 于 两点,以线段 MN 为直径作圆 . ① 当点 在 轴左侧时,求圆 半径的最小值; ②问:是否存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切?若存在,指出该 定圆的圆心和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由. 20.(本小题共 13 分) 已知数列 是无穷数列, ( 是正整数), . (Ⅰ)若 ,写出 的值; (Ⅱ)已知数列 中 ,求证:数列 中有无穷项为 1; (Ⅲ)已知数列 中任何一项都不等于 1,记 为 较大者).求证:数列 是单调递减数列. )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 2 ,A B P ,A B ,PA PB 4x = ,M N C P y C x C { }na 1 2= ,a a a b= ,a b 1 1 1 1 1 ( 1), = ( 1) n n n n n n n n n a a a aa a a a a − − + − −  >  ≤ 1 22, =1a a= 4 5,a a { }na *1 )ka k N(= ∈ { }na { }na 2 1 2=max{ , }( 1,2,3, ;n n nb a a n − = max{ , }m n ,m n { }nb 丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习(一) 数 学(理科)参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B A C A D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程. 解:(Ⅰ) 的最小正周期为 . ----------------------------------7 分 (Ⅱ)当 时,函数 单调递减, 即 的递减区间为: , 由 = , 所以 的递减区间为: . ------------------------------------13 分 16. 解:(Ⅰ)①恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件 A. 2 2 1 3 5 4 16 3 (0,1] 2( = 3sin cos cosf x x x x) + 3 1 cos2( = sin22 2 xf x x) ++ 3 1 cos2( =( sin2 )2 2 xf x x) ++ 1( =sin(2 )6 2f x x) π+ + 2 2 | | 2T π π πω= = = ( )f x π 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ (f x) ( )f x 2[ , ],6 3k k k Z π ππ π+ + ∈ 2[0, ] [ , ]2 6 3k k π π ππ π+ + [ , ]6 2 π π+ k Z∈ (f x) [ , ]6 2 π π 恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为 .-----4 分 ②确定出含有病毒血样组的次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3. , , . 则 X 的分布列为: 所以:E(X)= --------------------------------------------11 分 (Ⅱ) ------------------------------------------------------------------13 分 17. 解:(Ⅰ)因为四边形 为菱形 所以 ∥ ,且 面 , 面 所以 ∥面 且面 面 所以 ∥ . ----------------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)因为 面 所以 , 又因为 以 为坐标原点, , , 分别为 轴, 轴, 轴,建立空间 直角坐标系,取 的中点 ,连 . 易证 EM⊥平面 ABCD. 又因为 ,得出以下各点坐标: 向量 ,向量 ,向量 设面 的法向量为: 1( ) 4P A = 1 4 1( 1) 4P X = = 1( 2) 4P X = = 1( 3) 2P X = = X 1 2 3 P 1 4 1 4 1 2 1 1 1 91 2 34 4 2 4 × + × + × = ( ) ( )E X E Y< ABCD AD BC BC ⊄ ADEF AD ⊂ ADEF BC ADEF ADEF  BCEF EF= EF BC FO ⊥ ABCD FO AO⊥ FO OB⊥ OB AO⊥ O OA OB OF x y z CD M ,OM EM 2 2BC CE DE EF= = = = 3 1(0,1,0), ( 3,0,0), (0, 1,0), (0,0, 3), ( , , 3)2 2B C D F E− − − − 3 1( , , 3)2 2DE = − ( 3, 1,0)BC = − − (0, 1, 3)BF = − BCFE 0 0 0 0( , , )n x y z = 得到 令 时 设 与 所成角为 ,直线 与面 所成角为 . = = = = 直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 .----------------------------------------13 分 18.设函数 . (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)求证: ; (Ⅲ)若 在区间 上恒成立,求 的最小值. 解:(Ⅰ)设切线的斜率为 因为 ,切点为 . 切线方程为 ,化简得: .----------------------------4 分 (Ⅱ)要证: 只需证明: 在 恒成立, 当 时 , 在 上单调递减; 当 时 , 在 上单调递增; 当 时 0 0 0, 0 n BC n BF    ⋅ = ⋅ = 0 0 0 0 3 0 3 0 x y y z − − = − + = 0 3y = 0 ( 1, 3,1)n = − DF 0n ϕ DE BCEF θ sinθ |cos |ϕ 0 0 | | | | | | n DE n DE     ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 3 1|( ) ( 1) 3 3 1|2 2 3 1( 1) ( 3) (1) ( ) ( ) ( 3)2 2 − × − + × + × −− + + ⋅ + + 15 5 15 5 ( ) lnf x x x= ( )y f x= (1, (1))f ( ) 1f x x≥ − 2 2( ) ( 0)f x ax aa ≥ + ≠ (0, )+∞ a k ( ) ln 1f x x′ = + (1) ln1 1 1k f ′= = + = (1) 1 ln1 0f = ⋅ = (1,0) 0 1 ( 1)y x− = ⋅ − 1y x= − ( ) 1f x x≥ − ( ) ln 1 0g x x x x= − + ≥ (0, )+∞ ( ) ln 1 1 lng x x x′ = + − = (0,1)x ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1) (1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞ 1x = min( ) (1) 1 ln1 1 1 0g x g= = ⋅ − + = 在 恒成立 所 以 .--------------------------------------------------------------------------10分 (Ⅲ)要使: 在区间在 恒成立, 等价于: 在 恒成立, 等价于: 在 恒成立 因为 = = ①当 时, , 不满足题意 ②当 时,令 ,则 或 (舍). 所以 时 , 在 上单调递减; 时 , 在 上单调递增; 当 时 当 时,满足题意 所以 ,得到 的最小值为 -----------------------------------14分 19. 解:(Ⅰ)因为 的离心率为 ,短半轴长为 1. 所以 得到 所 以 椭 圆 的 方 程 为 .-----------------------------------------------------------3 分 (Ⅱ)① 设 , 所以直线 的方程为: ( ) ln 1 0g x x x x= − + ≥ (0, )+∞ ( ) 1f x x≥ − 2 2lnx x ax a ≥ + (0, )+∞ 2ln x ax ax ≥ + (0, )+∞ 2( ) ln 0h x x ax ax = − − ≥ (0, )+∞ 2 1 2( )h x ax ax ′ = − + 2 2 2 2a x ax ax − + + 2 2 1 2( )( )a x xa a ax − + − 0a > 2(1) ln1 0h a a = − − < 0a > 0a < '( ) 0h x = 1x a = − 2x a = 1(0, )x a ∈ − ( ) 0h x′ < ( )h x 1(0, )a − 1( , )x a ∈ − +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 1( , )a − +∞ 1x a = − min 1 1( ) ( ) ln( ) 1 2h x h a a = − = − + + 1ln( ) 3 0a − + ≥ 3 0e a− ≤ < a 3e− )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 2 2 2 2 1 3 ,2 b c a a b c =  =   = + 2 1 , 3 a b c  =  =  = 2 2 14 x y+ = 0 0( , )P x y (0,1), (0, 1)A B − PA 0 0 11 yy xx −− = 令 , 得 到 同 理 得 到 , 得 到 所以,圆 半径 当 时,圆 半径的最小值为 3. --------------------------------------9 分 ② 当 在左端点时,圆 的方程为: 当 在右端点时,设 , 所以直线 的方程为: 令 ,得到 同理得到 , 圆 的方程为: , 易知与定圆 相切, 半径 由前一问知圆 C 的半径 因为 , ,圆 的圆心坐标为 圆心距 = = 当 时, ,此时定圆与圆 内切; 当 时, ,此时定圆与圆 外切; 存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切,该定圆的圆心为 和半径 . 4x = 0 0 4( 1) 1M yy x −= + 0 0 4( 1) 1N yy x += − 0 8| | | 2 |MN x = − C 0 0 4|1 |( 2 0)r xx = − − ≤ < 0 2x = − C P C 2 2( 4) 9x y- + = P (2,0)P (0,1), (0, 1)A B − PA 11 2y x −− = 4x = 1My = − 1Ny = C 2 2( 4) 1x y- + = 2 2( 2) 1x y- + = 1R = 0 0 0 0 0 41 , 2 0 4|1 | 4 1,0 2 xxr x xx  − − ≤ <= − =   − < ≤ 0 0 4( 1) 1M yy x −= + 0 0 4( 1) 1N yy x += − C 0 0 4(4, )y x 2 20 0 4(4 2) ( )yd x = − + 2 0 2 0 16(1 )44 x x − + 0 0 0 0 0 4 , 2 0 4 4| | ,0 2 xx x xx − − ≤ <=   < ≤ 02 0x- £ < 0 0 4 4(1 ) 1d r R x x= - = - - =- C 00 2x< £ 0 0 4 4( 1) 1d r R x x= + = - + = C x C (2,0) 1R = (注: 存在另一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切,该定圆的圆心为 和 半 径 . 得 分 相 同 ) ------------------------------------------------------------------------------------14 分 20..解:(Ⅰ) ;-----------------------------------------------------2 分 (Ⅱ) ,假设 ①当 时,依题意有 ②当 时,依题意有 , ③ 当 时 , 依 题 意 有 , , , , 由以上过程可知:若 ,在无穷数列 中,第 项后总存在数值为 1 的 项 , 以 此 类 推 , 数 列 中 有 无 穷 项 为 1. --------------------------------------------------6 分 (Ⅲ)证明:由条件可知 , 因为 中任何一项不等于 1,所以 . ①若 ,则 . 因为 ,所以 . 若 ,则 ,于是 ; 若 ,则 ,于是 ; 若 ,则 ,于题意不符; 所以 ,即 . ②若 ,则 . 因为 ,所以 ; x C (6,0) 1R = 4 52, 1a a= = *1 )ka k N(= ∈ 1ka m+ = 1m = 2 3 1k ka a+ += = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = 1m > 2ka m+ = 3 1ka + = 1m < 2 1 ka m+ = 3 2 1 ka m+ = 4 1 ka m+ = 5 1 ka m+ = 6 1ka + = *1 )ka k N(= ∈ { }na k { }na 1( 1,2,3, )na n> =  { }na +1 1,2,3, )n na a n≠ = ( 2 1 2n na a− > 2 1n nb a −= 2 1 2 +1 2 = n n n aa a − 2 1 2 +1n na a− > 2 1 2 2 1n n a a − > 2 1 2 +2 2 12 2 n n n n aa aa − −= < 2 -1 2 +2n na a> 2 1 2 2 1n n a a − < 2 2 2 2 2 +2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n a a aa a a aa a a a − − − − = = = ⋅ < < 2 -1 2 +2n na a> 2 1 2 2 1n n a a − = 2 +2 1na = 2 1 2 +1 2 +2max{ , }n n na a a− > 1n nb b +> 2 1 2n na a− < 2n nb a= 2 2 +1 2 -1 = n n n aa a 2 2 +1n na a> 因为 ,所以 ; 所以 ,即 . 综上所述,对于一切正整数 ,总有 ,所以数列 是单调递减数列. -------------------------------------------------------------------------------13 分 2 2 +2 2 +1 = n n n aa a 2 2 +2n na a> 2 2 +1 2 +2max{ , }n n na a a> 1n nb b +> n 1n nb b +> { }nb