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丰台区 2015—2016 学年度第二学期统一练习(一) 2016.3
高三数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分)
选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项.
1.已知全集 ,集合 , ,那么集
合 等于( )
(A) (B)
(C) (D)
2.在下列函数中,是偶函数,且在 内单调递增的是
(A) (B)
(C) (D)
3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调
查,画出如下频率分布直方图.根据直方图估
计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度
超过 80km/h 的概率
(A) 75,0.25 (B)80,0.35
(C)77.5,0.25 (D)77.5,0.35
4. 若数列 满足 ,且 与 的等差中项是 5,则
等于
(A) (B) (C) (D)
5. 已知直线m,n和平面 ,若 ⊥ ,则“ ⊂ ”是“ ⊥ ”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
6. 有三对师徒共 6 个人,站成一排照相,每对师徒相邻的站法共有
(A) 72 (B)54 (C) 48 (D) 8
U = R { }| 2 3A x x x= ≤ − ≥或 { }| 1 4B x x x= < − >或
( )UC A B
{ }| 2 4x x− <≤ { }| 2 3x x− < <
{ }| 2 1x x− < < − { }| 2 1 3 4x x x或− < < − < <
0 +∞( , )
| |2 xy =
2
1y x
= | lg |y x= cosy x=
{ }na *
1 2 ( 0, )Nn n na a a n+ = ¹ Î 2a 4a
1 2 na a a+ + +
2n 2 1n
- 12n- 12 1n- -
α n α m α n m
频率
组距
车速(km/h)
0.06
0.05
0.04
908580757065O 60
0.01
0.02
7.如图,已知三棱锥 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90O,侧面 PAB
⊥底面 ABC,AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是
(A) ,2,2
(B)4,2,
(C) , ,2
(D) ,2,
8. 经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),而用横轴
来表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政
府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格 P1 低
于均衡价格 P0 时,需求量大于供应量,价格会上升为 P2;当产品价格 P2 高
于均衡价格 P0 时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,
产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是
(A) (B)
(C) (D)
P ABC-
2 3
2 2
2 3 2 2
2 3 2 2 俯视图
侧视图主视图
z
y
y
x
A
B
P
C
P2
P1
P0
数量
单价
需求曲线供应曲线
O
P2
P1
P0
数量
单价
需求曲线 供应曲线
O
第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.已知双曲线 的一条渐近线为 ,那么双曲线的离
心率为_________.
10. 如图,BC 为⊙O 的直径,且 BC=6,延长 CB
与⊙O 在点 D 处的切线交于点 A,若 AD=4,
则 AB=________.
11. 在 中 角 , , 的 对 边 分 别 是 , , , 若
,则 ________.
12. 在 梯 形 ABCD 中 , , , E 为 BC 中 点 , 若
,则 x+y=_______.
13. 已知 满足 (k 为常数),若 最大值为 8,则
=________.
14.已知函数 若 ,则 的取值范围是______.
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 3y x=
ABC∆ A B C a b c
3 sin cos cosb A c A a C= + sin A =
//AB CD 2AB CD=
AE xAB yAD = +
,x y
0,
,
.
x
y x
x y k
≥
≤
+ ≤
2z x y= + k
1( 1),
( )
( 1).
x x
f x
x x
+ ≤= >
( ) ( 1)f x f x> + x
C
B
A D
O
二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共 13 分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期;
(Ⅱ)当 时,求函数 的单调递减区间.
16.(本小题共 13 分)
从某病毒爆发的疫区返回本市若干人,为了迅速甄别是否有人感染病毒,对
这些人抽血,并将血样分成 4 组,每组血样混合在一起进行化验.
(Ⅰ)若这些人中有 1 人感染了病毒.
①求恰好化验 2 次时,能够查出含有病毒血样组的概率;
②设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X,求 E(X).
(Ⅱ)如果这些人中有 2 人携带病毒,设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y
的均值 E(Y),请指出(Ⅰ)②中 E(X)与 E(Y)的大小关系.(只写结
论,不需说明理由)
17.(本小题共 13 分)
如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且 BAD=60°,对角线
AC 与 BD 相交于 O;OF⊥平面 ABCD,
BC=CE=DE=2EF=2.
(Ⅰ)求证: EF//BC;
(Ⅱ)求直线 DE 与平面 BCFE 所成角的正弦值.
18.(本小题共 14 分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)若 在区间 上恒成立,求 的最小值.
( =cos (cos 3sin )f x x x x) +
( )f x
π[0, ]2x ∈ (f x)
∠
( ) lnf x x x=
( )y f x= (1, (1))f
( ) 1f x x≥ −
2 2( ) ( 0)f x ax aa
≥ + ≠ (0, )+∞ a
O
CD
A B
E
F
19.(本小题共 14 分)
已知椭圆 G: 的离心率为 ,短半轴长为 1.
(Ⅰ)求椭圆 G 的方程;
(Ⅱ)设椭圆 G 的短轴端点分别为 ,点 是椭圆 G 上异于点 的一动
点,直线 分别与直线 于 两点,以线段 MN 为直径作圆 .
① 当点 在 轴左侧时,求圆 半径的最小值;
②问:是否存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切?若存在,指出该
定圆的圆心和半径,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
20.(本小题共 13 分)
已知数列 是无穷数列, ( 是正整数), .
(Ⅰ)若 ,写出 的值;
(Ⅱ)已知数列 中 ,求证:数列 中有无穷项为 1;
(Ⅲ)已知数列 中任何一项都不等于 1,记
为 较大者).求证:数列 是单调递减数列.
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x 3
2
,A B P ,A B
,PA PB 4x = ,M N C
P y C
x C
{ }na 1 2= ,a a a b= ,a b 1 1
1
1
1
( 1),
=
( 1)
n n
n n
n
n n
n n
a a
a aa a a
a a
− −
+
−
−
>
≤
1 22, =1a a= 4 5,a a
{ }na *1 )ka k N(= ∈ { }na
{ }na 2 1 2=max{ , }( 1,2,3, ;n n nb a a n − =
max{ , }m n ,m n { }nb
丰台区 2016 年高三年级第二学期数学统一练习(一)
数 学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A C A D
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证
明过程.
解:(Ⅰ)
的最小正周期为 . ----------------------------------7 分
(Ⅱ)当 时,函数 单调递减,
即 的递减区间为: ,
由 = ,
所以 的递减区间为: . ------------------------------------13 分
16. 解:(Ⅰ)①恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件 A.
2 2 1
3
5
4
16
3
(0,1]
2( = 3sin cos cosf x x x x) +
3 1 cos2( = sin22 2
xf x x) ++
3 1 cos2( =( sin2 )2 2
xf x x) ++
1( =sin(2 )6 2f x x) π+ +
2 2
| | 2T
π π πω= = =
( )f x π
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ (f x)
( )f x 2[ , ],6 3k k k Z
π ππ π+ + ∈
2[0, ] [ , ]2 6 3k k
π π ππ π+ + [ , ]6 2
π π+ k Z∈
(f x) [ , ]6 2
π π
恰好化验 2 次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为 .-----4 分
②确定出含有病毒血样组的次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3.
,
, .
则 X 的分布列为:
所以:E(X)= --------------------------------------------11
分
(Ⅱ) ------------------------------------------------------------------13 分
17. 解:(Ⅰ)因为四边形 为菱形
所以 ∥ ,且 面 , 面
所以 ∥面 且面 面
所以 ∥ . ----------------------------------------------------------6 分
(Ⅱ)因为 面
所以 ,
又因为
以 为坐标原点, , ,
分别为 轴, 轴, 轴,建立空间
直角坐标系,取 的中点 ,连 . 易证 EM⊥平面 ABCD.
又因为 ,得出以下各点坐标:
向量 ,向量 ,向量
设面 的法向量为:
1( ) 4P A =
1
4
1( 1) 4P X = = 1( 2) 4P X = = 1( 3) 2P X = =
X 1 2 3
P 1
4
1
4
1
2
1 1 1 91 2 34 4 2 4
× + × + × =
( ) ( )E X E Y<
ABCD
AD BC BC ⊄ ADEF AD ⊂ ADEF
BC ADEF ADEF BCEF EF=
EF BC
FO ⊥ ABCD
FO AO⊥ FO OB⊥
OB AO⊥
O OA OB OF x y z
CD M ,OM EM
2 2BC CE DE EF= = = =
3 1(0,1,0), ( 3,0,0), (0, 1,0), (0,0, 3), ( , , 3)2 2B C D F E− − − −
3 1( , , 3)2 2DE = − ( 3, 1,0)BC = − − (0, 1, 3)BF = −
BCFE 0 0 0 0( , , )n x y z =
得到
令 时
设 与 所成角为 ,直线 与面 所成角为 .
= = = =
直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值为 .----------------------------------------13
分
18.设函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)若 在区间 上恒成立,求 的最小值.
解:(Ⅰ)设切线的斜率为
因为 ,切点为 .
切线方程为 ,化简得: .----------------------------4
分
(Ⅱ)要证:
只需证明: 在 恒成立,
当 时 , 在 上单调递减;
当 时 , 在 上单调递增;
当 时
0
0
0,
0
n BC
n BF
⋅ = ⋅ =
0 0
0 0
3 0
3 0
x y
y z
− − =
− + =
0 3y = 0 ( 1, 3,1)n = −
DF
0n ϕ DE BCEF θ
sinθ |cos |ϕ 0
0
| |
| | | |
n DE
n DE
⋅
⋅
2 2 2 2 2 2
3 1|( ) ( 1) 3 3 1|2 2
3 1( 1) ( 3) (1) ( ) ( ) ( 3)2 2
− × − + × + ×
−− + + ⋅ + +
15
5
15
5
( ) lnf x x x=
( )y f x= (1, (1))f
( ) 1f x x≥ −
2 2( ) ( 0)f x ax aa
≥ + ≠ (0, )+∞ a
k
( ) ln 1f x x′ = +
(1) ln1 1 1k f ′= = + =
(1) 1 ln1 0f = ⋅ = (1,0)
0 1 ( 1)y x− = ⋅ − 1y x= −
( ) 1f x x≥ −
( ) ln 1 0g x x x x= − + ≥ (0, )+∞
( ) ln 1 1 lng x x x′ = + − =
(0,1)x ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1)
(1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞
1x = min( ) (1) 1 ln1 1 1 0g x g= = ⋅ − + =
在 恒成立
所 以
.--------------------------------------------------------------------------10分
(Ⅲ)要使: 在区间在 恒成立,
等价于: 在 恒成立,
等价于: 在 恒成立
因为 = =
①当 时, , 不满足题意
②当 时,令 ,则 或 (舍).
所以 时 , 在 上单调递减;
时 , 在 上单调递增;
当 时
当 时,满足题意
所以 ,得到 的最小值为 -----------------------------------14分
19. 解:(Ⅰ)因为 的离心率为 ,短半轴长为 1.
所以 得到
所 以 椭 圆 的 方 程 为
.-----------------------------------------------------------3 分
(Ⅱ)① 设 ,
所以直线 的方程为:
( ) ln 1 0g x x x x= − + ≥ (0, )+∞
( ) 1f x x≥ −
2 2lnx x ax a
≥ + (0, )+∞
2ln x ax ax
≥ + (0, )+∞
2( ) ln 0h x x ax ax
= − − ≥ (0, )+∞
2
1 2( )h x ax ax
′ = − + 2 2
2
2a x ax
ax
− + + 2
2
1 2( )( )a x xa a
ax
− + −
0a > 2(1) ln1 0h a a
= − − < 0a >
0a < '( ) 0h x = 1x a
= − 2x a
=
1(0, )x a
∈ − ( ) 0h x′ < ( )h x 1(0, )a
−
1( , )x a
∈ − +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 1( , )a
− +∞
1x a
= − min
1 1( ) ( ) ln( ) 1 2h x h a a
= − = − + +
1ln( ) 3 0a
− + ≥
3 0e a− ≤ < a 3e−
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x 3
2
2 2 2
1
3 ,2
b
c
a
a b c
=
=
= +
2
1 ,
3
a
b
c
=
=
=
2
2 14
x y+ =
0 0( , )P x y (0,1), (0, 1)A B −
PA 0
0
11 yy xx
−− =
令 , 得 到 同 理 得 到 , 得 到
所以,圆 半径
当 时,圆 半径的最小值为 3. --------------------------------------9 分
② 当 在左端点时,圆 的方程为:
当 在右端点时,设 ,
所以直线 的方程为:
令 ,得到 同理得到 ,
圆 的方程为: ,
易知与定圆 相切, 半径
由前一问知圆 C 的半径
因为 , ,圆 的圆心坐标为
圆心距 = =
当 时, ,此时定圆与圆 内切;
当 时, ,此时定圆与圆 外切;
存在一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切,该定圆的圆心为 和半径 .
4x = 0
0
4( 1) 1M
yy x
−= + 0
0
4( 1) 1N
yy x
+= −
0
8| | | 2 |MN x
= −
C 0
0
4|1 |( 2 0)r xx
= − − ≤ <
0 2x = − C
P C 2 2( 4) 9x y- + =
P (2,0)P (0,1), (0, 1)A B −
PA 11 2y x
−− =
4x = 1My = − 1Ny =
C 2 2( 4) 1x y- + =
2 2( 2) 1x y- + = 1R =
0
0
0
0
0
41 , 2 0
4|1 | 4 1,0 2
xxr x xx
− − ≤ <= − =
− < ≤
0
0
4( 1) 1M
yy x
−= + 0
0
4( 1) 1N
yy x
+= − C 0
0
4(4, )y
x
2 20
0
4(4 2) ( )yd x
= − +
2
0
2
0
16(1 )44
x
x
−
+
0
0
0
0
0
4 , 2 0
4
4| | ,0 2
xx
x xx
− − ≤ <=
< ≤
02 0x- £ <
0 0
4 4(1 ) 1d r R x x= - = - - =- C
00 2x< £
0 0
4 4( 1) 1d r R x x= + = - + = C
x C (2,0) 1R =
(注: 存在另一个圆心在 轴上的定圆与圆 相切,该定圆的圆心为 和
半 径 . 得 分 相 同 )
------------------------------------------------------------------------------------14 分
20..解:(Ⅰ) ;-----------------------------------------------------2 分
(Ⅱ) ,假设
①当 时,依题意有
②当 时,依题意有 ,
③ 当 时 , 依 题 意 有 , , , ,
由以上过程可知:若 ,在无穷数列 中,第 项后总存在数值为
1 的 项 , 以 此 类 推 , 数 列 中 有 无 穷 项 为 1.
--------------------------------------------------6 分
(Ⅲ)证明:由条件可知 ,
因为 中任何一项不等于 1,所以 .
①若 ,则 .
因为 ,所以 .
若 ,则 ,于是 ;
若 ,则 ,于是 ;
若 ,则 ,于题意不符;
所以 ,即 .
②若 ,则 .
因为 ,所以 ;
x C (6,0)
1R =
4 52, 1a a= =
*1 )ka k N(= ∈ 1ka m+ =
1m = 2 3 1k ka a+ += = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =
1m > 2ka m+ = 3 1ka + =
1m < 2
1
ka m+ = 3 2
1
ka m+ = 4
1
ka m+ = 5
1
ka m+ =
6 1ka + =
*1 )ka k N(= ∈ { }na k
{ }na
1( 1,2,3, )na n> =
{ }na +1 1,2,3, )n na a n≠ = (
2 1 2n na a− > 2 1n nb a −=
2 1
2 +1
2
= n
n
n
aa a
−
2 1 2 +1n na a− >
2 1
2
2
1n
n
a
a
− > 2 1
2 +2 2 12
2
n
n n
n
aa aa
−
−= < 2 -1 2 +2n na a>
2 1
2
2
1n
n
a
a
− <
2
2 2 2
2 +2 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2
n n n
n n n n
n n n
n
a a aa a a aa a a
a
−
− − −
= = = ⋅ < < 2 -1 2 +2n na a>
2 1
2
2
1n
n
a
a
− = 2 +2 1na =
2 1 2 +1 2 +2max{ , }n n na a a− > 1n nb b +>
2 1 2n na a− < 2n nb a=
2
2 +1
2 -1
= n
n
n
aa a 2 2 +1n na a>
因为 ,所以 ;
所以 ,即 .
综上所述,对于一切正整数 ,总有 ,所以数列 是单调递减数列.
-------------------------------------------------------------------------------13 分
2
2 +2
2 +1
= n
n
n
aa a 2 2 +2n na a>
2 2 +1 2 +2max{ , }n n na a a> 1n nb b +>
n 1n nb b +> { }nb
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