高中数学函数知识点总结 7页

‎ ‎ 函数 ‎ 一、函数的定义：‎ 1． 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．‎ ‎（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；‎ ‎（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．‎ 2． 函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3． 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域 ‎（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。‎ ‎（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。‎ ‎4、函数图象知识归纳 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . ‎ ‎(2) 画法 A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。‎ ‎ （3）函数图像平移变换的特点：‎ ‎ 1）加左减右——————只对x ‎ 2）上减下加——————只对y ‎ 3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)‎ ‎4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)‎ ‎5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)‎ ‎6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得 函数y=| f(x)|‎ ‎7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)‎ 二、函数的基本性质 ‎1、函数解析式子的求法 ‎（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.‎ ‎（2）、求函数的解析式的主要方法有： ‎ ‎1）代入法：‎ ‎2）待定系数法：‎ ‎3）换元法：‎ ‎4)拼凑法：‎ ‎2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。‎ 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：‎ ‎(1)分式的分母不等于零； ‎ ‎(2)偶次方根的被开方数不小于零；‎ ‎ (3)对数式的真数必须大于零；‎ ‎(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. ‎ ‎(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.‎ ‎(6)指数为零底不可以等于零， ‎ ‎(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.‎ ‎3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）②定义域一致(两点必须同时备)‎ ‎4、区间的概念：‎ ‎（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 ‎（2）无穷区间 ‎（3）区间的数轴表示 ‎5、值域 （先考虑其定义域）‎ ‎（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； ‎ ‎（2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。‎ ‎(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 ‎ ‎(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。‎ ‎6.分段函数 ‎ ‎（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。‎ ‎（2）各部分的自变量的取值情况．‎ ‎（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． ‎ ‎（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 ‎7．映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”‎ 对于映射f：A→B来说，则应满足：‎ ‎(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；‎ ‎(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；‎ ‎(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。‎ ‎ ‎ 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数 ‎8、函数的单调性(局部性质)及最值 ‎（1）、增减函数 ‎（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x11，且∈*．‎ 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号 表示。‎ 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 （a>0）。‎ 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。‎ 当是奇数时，，当是偶数时，‎ 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 ‎ 3、 分数指数幂 ‎ 正数的分数指数幂的 ‎，‎ ‎0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 ‎（1）· ；‎ ‎（2） ；‎ ‎（3） ．‎ ‎5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。‎ ‎（二）、指数函数的性质及其特点 ‎1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．‎ 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？‎ ‎2、指数函数的图象和性质 a>1‎ ‎01时，若X11‎ ‎0