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  • 2021-06-30 发布

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

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5.2.2  同角三角函数的基本关系 必备知识 · 自主学习  同角三角函数的基本关系 (1) 基本关系 平方关系 商数关系 公式表示 _______________ =_______ (α≠ +kπ , k∈Z) 语言叙述 同一个角 α 的正弦、余弦 的平方和等于 1. 同一个角 α 的正弦、余弦的商 等于角 α 的 _____. sin 2 α+cos 2 α=1 tan α 正切 (2) 本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系 . (3) 应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简 . 【 思考 】 “ 同角”一词的含义是什么? 提示: 一是 “ 角相同 ” ,如 sin 2 α+cos 2 β=1 就不一定成立 . 二是对任意一个角 ( 在使得函数有意义的前提下 ) ,关系式都成立,即与角的表达式形式无关, 如 sin 2 15°+cos 2 15°=1 , sin 2 +cos 2 =1 等 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 对任意角 θ , sin 2 +cos 2 =1 都成立 . (    ) (2) 对任意的角 α ,都有 成立 . (    ) (3) 存在角 α , β ,有 sin 2 α+cos 2 β=1. (    ) 提示: (1)√. 在 sin 2 α+cos 2 α=1 中,令 α= 可得 sin 2 +cos 2 =1. (2)×. 当 α= +kπ , k∈Z 时就不成立 . (3)√. 因为 sin 2 π+cos 2 =1 ,所以存在 α , β 使得 sin 2 α+cos 2 β=1 成立 . 2. 化简 的结果是 (    ) A.cos B.-cos C.sin D.-sin 【 解析 】 选 A. 3.( 教材二次开发:例题改编 ) 已知 α 是第二象限角, sin α= ,则 cos α= (    ) 【 解析 】 选 A. 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算 . 因为 α 为第二 象限角,所以 cos α= 关键能力 · 合作学习 类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 通州高一检测 ) 已知 cos α= ,且 α∈(0 , π) ,则 tan α= (    ) 2.(2020· 东莞高一检测 ) 已知 sin θ= , cos θ= ,若 θ 是第二象 限角,则 tan θ 的值为 (    ) 3. 在△ ABC 中, sin A·cos A= ,则 cos A-sin A 的值为 (    ) 【 解析 】 1. 选 A. 因为 cos α= ,且 α∈(0 , π) , 所以 sin α= 所以 tan α= 2. 选 C. 因为 sin θ= , cos θ= , 所以 sin 2 θ+cos 2 θ= =1 , 解得: a=0 或 a=4 , 因为 θ 为第二象限角,所以 sin θ>0 , cos θ<0. 所以 a=4 , 所以可得: sin θ= , cos θ= , tan θ= . 3. 选 B. 因为在△ ABC 中, sin A · cos A= ,所以 A 为钝角,所以 cos A- sin A<0 , 所以 cos A-sin A= 【 解题策略 】 利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点 (1) 定符号:根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号 . (2) 定值:根据三角函数的基本关系确定函数值 . 【 补偿训练 】 (2020· 杭州高一检测 ) 已知 tanθ=2 , θ 为第三象限角,则 sin θ= (    ) 【 解析 】 选 B. 因为 tan θ=2 , θ 为第三象限角, 所以 解得 类型二 利用同角三角函数的关系求值 【 典例 】 1. 已知 tan α=2 ,求下列各式的值: (3)2sin 2 α-sin αcos α+cos 2 α. 四步 内容 理解 题意 条件: tan α=2 结论:求三个齐次式的值 . 思路 探求 把齐次式的分子、分母分别除以 cos α( 或 cos 2 α) 四步 内容 题后 反思 已知正切求关于弦的式子的值时,可利用同角三角函数的关系弦化切,代入已知切值即可 . 2. 已知 sin α+cos α= , 0<α<π. (1) 求 sin αcos α 的值 .(2) 求 sin α-cos α 的值 . 【 思路导引 】 已知 sin α+cos α= ,两边平方再利用 sin 2 α+cos 2 α=1 , 即可求出 sin αcos α ,再把 sin α-cos α 两边平方即可,注意角 α 的范围 . 【 解析 】 (1) 由 sin α+cos α= 得 (sin α+cos α) 2 = , sin 2 α+2sin αcos α+cos 2 α= , sin αcos α= . (2) 因为 0<α<π , sin αcos α<0 , 所以 sin α>0 , cos α<0 ⇒ sin α-cos α>0. (sin α-cos α) 2 =1-2sin αcos α= , 所以 sin α-cos α= . 【 解题策略 】 1. 已知角 α 的正切求关于 sin α , cos α 的齐次式的方法 (1) 关于 sin α , cos α 的齐次式就是分式中的每一项都是关于 sin α , cos α 的式子且它们的次数之和相同,设为 n 次,将分子、分母同除以 cos α 的 n 次幂,其式子可化为关于 tan α 的式子,再代入求值 . (2) 若无分母时,把分母看作 1 ,并将 1 用 sin 2 α+cos 2 α 来代换,将分子、分母同除以 cos 2 α ,可化为关于 tan α 的式子,再代入求值 . 2. 求三角函数值的方法 (1) 已知 sin θ( 或 cos θ) 求 tan θ 常用以下方法求解 (2) 已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题,我们可利用平方 关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及 (sin α±cos α) 2 =1±2sin αcos α 的等价转化,分析解决问题的突破口 . 【 跟踪训练 】 1. 已知 =2 ,计算下列各式的值 . (1) (2)sin 2 α-2sin αcos α+1. 【 解析 】 由 =2 ,化简,得 sin α=3cos α ,所以 tan α=3. (1) 方法一:原式 = 方法二:原式 = (2) 原式 = 2.(1) 已知 sin α+cos α= , α∈(0 , π) ,则 tan α=_______.  (2) 已知 tan α= ,且 α 是第三象限角,求 sin α , cos α 的值 . 【 解析 】 (1) 因为 sin α+cos α= ,所以 (sin α+cos α) 2 = ,即 2sin αcos α= <0 , 又 α∈(0 , π) ,则 sin α>0 , cos α<0 ,所以 α∈ , 故 sin α-cos α= 所以 sin α= , cos α= , tan α= 答案: (2) 由 tan α= 得 sin α= cos α① , 又 sin 2 α+cos 2 α=1② ,由①②得 cos 2 α+cos 2 α=1 , 即 cos 2 α= . 又 α 是第三象限角, 故 cos α= , sin α= cos α= . 类型三 利用同角三角函数的关系化简证明  角度 1  应用同角三角函数关系式化简  【 典例 】 已知 α 是第三象限角,化简 【 思路导引 】 首先将 tan α 化为 ,然后化简根式,最后约分 . 【 解析 】 原式 = 又因为 α 是第三象限角,所以 sin α<0. 所以原式 = =-1. 【 变式探究 】  如果本例条件不变,结果改为化简: 【 解析 】 原式 = 因为 α 是第三象限角,所以 cos α<0. 所以原式 = =-2tan α.  角度 2  利用同角三角函数关系证明  【 典例 】 求证: 【 思路导引 】 思路 1 :把左边分子分母同乘以 cos x ,再利用公式变形;思路 2 :把左边分子、分母同乘以 (1+sin x) 先满足右式分子的要求;思路 3 :用作 差法,化简等式为 0. 【 证明 】 方法一:左边 = = 右边,所以原等式成立 . 方法二:左边 = = 右边 . 方法三:因为 =0 , 所以 【 解题策略 】 证明三角恒等式的常用方法 (1) 从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性 . (2) 左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等 . (3) 作差法:两式作差,对差式变形化简,差式为零即得证 . 【 题组训练 】 1.(2020· 杭州高一检测 ) 若 =4 ,则 tan α=(    ) A. B. C.3 D.7 【 解析 】 选 D. 因为 =4 , 所以解得 tan α=7. 2. 化简: 【 解析 】 原式 = =1. 3. 求证: 【 证明 】 方法一:左边 = = 右边,所以原等式成立 . 方法二:右边 = = 左边, 所以原等式成立 . 【 补偿训练 】 求证: 【 证明 】 方法一: ( 切化弦 ) 左边 = 右边 = 因为 sin 2 α=1-cos 2 α=(1+cos α)(1-cos α) , 所以 ,所以左边 = 右边 . 所以原等式成立 . 方法二: ( 由右至左 ) 因为右边 = = 左边, 所以原等式成立 . 同角三角函数 的基本关系 易错提醒 核心素养 基本关系式成立的条件是“同角”,还要注意成立时角的范围 数学运算:通过同角三角函数的基本关系的求值,培养数学运算的核心素养 逻辑推理:通过同角三角函数的基本关系的化简与证明,培养逻辑推理的核心素养 平方关系: 商数关系: 弦切互化求值的三种类型: ( 1 )形如 的分式, 分子、分母除以 cos α ; ( 2 )形如 的分式,分子、分母除以 cos 2 α ; ( 3 ) 形如 的式子,将分母看为 1 ,变为 ,分子、分母除以 cos 2 α ; 方法总结 核心知识 课堂检测 · 素养达标 1. 如果 α 是第二象限的角,下列各式中成立的是 (    ) A.tan α= B.cos α= C.sin α= D.tan α= 【 解析 】 选 B. 由商数关系可知 A , D 项均不正确,当 α 为第二象限角时, cos α<0 , sin α>0 ,故 B 项正确 . 2. 化简 的结果是 (    ) A.cos       B.sin C.-cos D.-sin 【 解析 】 选 C. 因为 <π ,所以 cos <0 , 所以 =-cos , 即 =-cos . 3.( 教材二次开发:练习改编 )(2020· 桂林高一检测 ) 已知 α 是第一象限的 角,且 tan α= ,则 cos α= (    ) 【 解析 】 选 D. 根据题意, tan α= ,则 , 又由 sin 2 α+cos 2 α=1 , 解得: cos α=± , 又 α 是第一象限的角,则 cos α= . 4. 若 tan α=2 ,则 的值为 (    ) A.0 B. C.1 D. 【 解析 】 选 B. 5. 已知 α 为钝角,且 sin α= ,则 tan α=_______.  【 解题指导 】 根据同角的三角函数关系以及 α 的取值范围求出 tan α 的值 . 【 解析 】 α 为钝角,当 sin α= 时, cos α= 所以 tan α= 答案: