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- 2021-06-30 发布
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5.2.2
同角三角函数的基本关系
必备知识
·
自主学习
同角三角函数的基本关系
(1)
基本关系
平方关系
商数关系
公式表示
_______________
=_______
(α≠ +kπ
,
k∈Z)
语言叙述
同一个角
α
的正弦、余弦
的平方和等于
1.
同一个角
α
的正弦、余弦的商
等于角
α
的
_____.
sin
2
α+cos
2
α=1
tan α
正切
(2)
本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系
.
(3)
应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简
.
【
思考
】
“
同角”一词的含义是什么?
提示:
一是
“
角相同
”
,如
sin
2
α+cos
2
β=1
就不一定成立
.
二是对任意一个角
(
在使得函数有意义的前提下
)
,关系式都成立,即与角的表达式形式无关,
如
sin
2
15°+cos
2
15°=1
,
sin
2
+cos
2
=1
等
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)
对任意角
θ
,
sin
2
+cos
2
=1
都成立
. (
)
(2)
对任意的角
α
,都有 成立
. (
)
(3)
存在角
α
,
β
,有
sin
2
α+cos
2
β=1. (
)
提示:
(1)√.
在
sin
2
α+cos
2
α=1
中,令
α=
可得
sin
2
+cos
2
=1.
(2)×.
当
α= +kπ
,
k∈Z
时就不成立
.
(3)√.
因为
sin
2
π+cos
2
=1
,所以存在
α
,
β
使得
sin
2
α+cos
2
β=1
成立
.
2.
化简 的结果是
(
)
A.cos B.-cos
C.sin D.-sin
【
解析
】
选
A.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
已知
α
是第二象限角,
sin α=
,则
cos α=
(
)
【
解析
】
选
A.
利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算
.
因为
α
为第二
象限角,所以
cos α=
关键能力
·
合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.(2020·
通州高一检测
)
已知
cos α=
,且
α∈(0
,
π)
,则
tan α= (
)
2.(2020·
东莞高一检测
)
已知
sin θ=
,
cos θ=
,若
θ
是第二象
限角,则
tan θ
的值为
(
)
3.
在△
ABC
中,
sin A·cos A=
,则
cos A-sin A
的值为
(
)
【
解析
】
1.
选
A.
因为
cos α=
,且
α∈(0
,
π)
,
所以
sin α=
所以
tan α=
2.
选
C.
因为
sin θ=
,
cos θ=
,
所以
sin
2
θ+cos
2
θ=
=1
,
解得:
a=0
或
a=4
,
因为
θ
为第二象限角,所以
sin θ>0
,
cos θ<0.
所以
a=4
,
所以可得:
sin θ=
,
cos θ=
,
tan θ= .
3.
选
B.
因为在△
ABC
中,
sin A
·
cos A=
,所以
A
为钝角,所以
cos A-
sin A<0
,
所以
cos A-sin A=
【
解题策略
】
利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点
(1)
定符号:根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号
.
(2)
定值:根据三角函数的基本关系确定函数值
.
【
补偿训练
】
(2020·
杭州高一检测
)
已知
tanθ=2
,
θ
为第三象限角,则
sin θ= (
)
【
解析
】
选
B.
因为
tan θ=2
,
θ
为第三象限角,
所以 解得
类型二 利用同角三角函数的关系求值
【
典例
】
1.
已知
tan α=2
,求下列各式的值:
(3)2sin
2
α-sin αcos α+cos
2
α.
四步
内容
理解
题意
条件:
tan α=2
结论:求三个齐次式的值
.
思路
探求
把齐次式的分子、分母分别除以
cos α(
或
cos
2
α)
四步
内容
题后
反思
已知正切求关于弦的式子的值时,可利用同角三角函数的关系弦化切,代入已知切值即可
.
2.
已知
sin α+cos α=
,
0<α<π.
(1)
求
sin αcos α
的值
.(2)
求
sin α-cos α
的值
.
【
思路导引
】
已知
sin α+cos α=
,两边平方再利用
sin
2
α+cos
2
α=1
,
即可求出
sin αcos α
,再把
sin α-cos α
两边平方即可,注意角
α
的范围
.
【
解析
】
(1)
由
sin α+cos α=
得
(sin α+cos α)
2
=
,
sin
2
α+2sin αcos α+cos
2
α=
,
sin αcos α= .
(2)
因为
0<α<π
,
sin αcos α<0
,
所以
sin α>0
,
cos α<0
⇒
sin α-cos α>0.
(sin α-cos α)
2
=1-2sin αcos α=
,
所以
sin α-cos α= .
【
解题策略
】
1.
已知角
α
的正切求关于
sin α
,
cos α
的齐次式的方法
(1)
关于
sin α
,
cos α
的齐次式就是分式中的每一项都是关于
sin α
,
cos α
的式子且它们的次数之和相同,设为
n
次,将分子、分母同除以
cos α
的
n
次幂,其式子可化为关于
tan α
的式子,再代入求值
.
(2)
若无分母时,把分母看作
1
,并将
1
用
sin
2
α+cos
2
α
来代换,将分子、分母同除以
cos
2
α
,可化为关于
tan α
的式子,再代入求值
.
2.
求三角函数值的方法
(1)
已知
sin θ(
或
cos θ)
求
tan θ
常用以下方法求解
(2)
已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题,我们可利用平方
关系或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及
(sin α±cos α)
2
=1±2sin αcos α
的等价转化,分析解决问题的突破口
.
【
跟踪训练
】
1.
已知
=2
,计算下列各式的值
.
(1)
(2)sin
2
α-2sin αcos α+1.
【
解析
】
由
=2
,化简,得
sin α=3cos α
,所以
tan α=3.
(1)
方法一:原式
=
方法二:原式
=
(2)
原式
=
2.(1)
已知
sin α+cos α=
,
α∈(0
,
π)
,则
tan α=_______.
(2)
已知
tan α=
,且
α
是第三象限角,求
sin α
,
cos α
的值
.
【
解析
】
(1)
因为
sin α+cos α=
,所以
(sin α+cos α)
2
=
,即
2sin αcos α= <0
,
又
α∈(0
,
π)
,则
sin α>0
,
cos α<0
,所以
α∈
,
故
sin α-cos α=
所以
sin α=
,
cos α=
,
tan α=
答案:
(2)
由
tan α=
得
sin α= cos α①
,
又
sin
2
α+cos
2
α=1②
,由①②得
cos
2
α+cos
2
α=1
,
即
cos
2
α= .
又
α
是第三象限角,
故
cos α=
,
sin α= cos α= .
类型三 利用同角三角函数的关系化简证明
角度
1
应用同角三角函数关系式化简
【
典例
】
已知
α
是第三象限角,化简
【
思路导引
】
首先将
tan α
化为 ,然后化简根式,最后约分
.
【
解析
】
原式
=
又因为
α
是第三象限角,所以
sin α<0.
所以原式
= =-1.
【
变式探究
】
如果本例条件不变,结果改为化简:
【
解析
】
原式
=
因为
α
是第三象限角,所以
cos α<0.
所以原式
= =-2tan α.
角度
2
利用同角三角函数关系证明
【
典例
】
求证:
【
思路导引
】
思路
1
:把左边分子分母同乘以
cos x
,再利用公式变形;思路
2
:把左边分子、分母同乘以
(1+sin x)
先满足右式分子的要求;思路
3
:用作
差法,化简等式为
0.
【
证明
】
方法一:左边
=
=
右边,所以原等式成立
.
方法二:左边
=
=
右边
.
方法三:因为
=0
,
所以
【
解题策略
】
证明三角恒等式的常用方法
(1)
从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性
.
(2)
左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等
.
(3)
作差法:两式作差,对差式变形化简,差式为零即得证
.
【
题组训练
】
1.(2020·
杭州高一检测
)
若
=4
,则
tan α=(
)
A. B. C.3 D.7
【
解析
】
选
D.
因为
=4
,
所以解得
tan α=7.
2.
化简:
【
解析
】
原式
=
=1.
3.
求证:
【
证明
】
方法一:左边
=
=
右边,所以原等式成立
.
方法二:右边
=
=
左边,
所以原等式成立
.
【
补偿训练
】
求证:
【
证明
】
方法一:
(
切化弦
)
左边
=
右边
=
因为
sin
2
α=1-cos
2
α=(1+cos α)(1-cos α)
,
所以 ,所以左边
=
右边
.
所以原等式成立
.
方法二:
(
由右至左
)
因为右边
=
=
左边,
所以原等式成立
.
同角三角函数
的基本关系
易错提醒
核心素养
基本关系式成立的条件是“同角”,还要注意成立时角的范围
数学运算:通过同角三角函数的基本关系的求值,培养数学运算的核心素养
逻辑推理:通过同角三角函数的基本关系的化简与证明,培养逻辑推理的核心素养
平方关系:
商数关系:
弦切互化求值的三种类型:
(
1
)形如 的分式,
分子、分母除以
cos
α
;
(
2
)形如
的分式,分子、分母除以
cos
2
α
;
(
3
)
形如
的式子,将分母看为
1
,变为
,分子、分母除以
cos
2
α
;
方法总结
核心知识
课堂检测
·
素养达标
1.
如果
α
是第二象限的角,下列各式中成立的是
(
)
A.tan α=
B.cos α=
C.sin α=
D.tan α=
【
解析
】
选
B.
由商数关系可知
A
,
D
项均不正确,当
α
为第二象限角时,
cos α<0
,
sin α>0
,故
B
项正确
.
2.
化简 的结果是
(
)
A.cos
B.sin
C.-cos D.-sin
【
解析
】
选
C.
因为
<π
,所以
cos <0
,
所以
=-cos
,
即
=-cos .
3.(
教材二次开发:练习改编
)(2020·
桂林高一检测
)
已知
α
是第一象限的
角,且
tan α=
,则
cos α= (
)
【
解析
】
选
D.
根据题意,
tan α=
,则 ,
又由
sin
2
α+cos
2
α=1
,
解得:
cos α=±
,
又
α
是第一象限的角,则
cos α= .
4.
若
tan α=2
,则 的值为
(
)
A.0 B.
C.1 D.
【
解析
】
选
B.
5.
已知
α
为钝角,且
sin α=
,则
tan α=_______.
【
解题指导
】
根据同角的三角函数关系以及
α
的取值范围求出
tan α
的值
.
【
解析
】
α
为钝角,当
sin α=
时,
cos α=
所以
tan α=
答案:
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