2020学年高一数学上学期第三次月考试题（含解析）人教版 13页

‎2019学年度高一年级第一学期第三次考试 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 选B.‎ ‎2. 下列结论正确的是（ ）‎ A. 空间中不同三点确定一个平面 B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C. 一条直线和一个点能确定一个平面 D. 梯形一定是平面图形 ‎【答案】D ‎..................‎ ‎3. 函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】为单调递增函数，且 ，所以零点所在的区间是，选B.‎ ‎4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 - 13 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，，当过时；若，，则可以与平行、相交或在面内；若，，则；若，，，则可以平行、相交或异面，所以选C.‎ ‎5. 已知（）是偶函数，且不恒等于零，则（ ）‎ A. 是奇函数 B. 可能是奇函数，也可能是奇函数 C. 是偶函数 D. 不是奇函数，也不是偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】因为 为偶函数，所以 ，即（ ‎ 所以 ‎ 因为 ，所以 即 又 不恒等于零， 所以为奇函数， 故选A．‎ ‎【点评】本题考查抽象函数奇偶性的判断，解题时利用定义是解决有关问题的强有力工具，必须熟练准确掌握．‎ ‎6. 圆柱被一个平面截去一部分与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】几何体如图，则体积为 ，选B.‎ - 13 -‎ ‎7. 奇函数在为减函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ 选D.‎ ‎8. 如图所示，正方体中，，分别是正方形和的中心，是的中点，则异面直线，所成的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ,所以异面直线，所成的角为 ‎ 所以，选A.‎ ‎9. 已知函数，，若在上为减函数，则实数 - 13 -‎ 的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ，选D.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎10. 已知，是半径为的球面上的两点，过作互相垂直的两个平面、，若，截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设球心为，两个截面圆的圆心分别为，线段的中点为，则四边形为矩形．设圆的半径分别为，，则．由可得，，则．选D.‎ ‎11. 已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作函数图知，时有四个不同的根，因此方程 在有两个不同的根，即 ，选A.‎ - 13 -‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎12. 已知函数满足：，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 ，则 ‎ （当且仅当时取等号），所以选B.‎ 点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，通过研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知幂函数（）的图象与轴、轴无交点且关于原点对称，则__________．‎ - 13 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ 当时不关于原点对称，所以 ‎ ‎14. 一个水平放置的平面图形的斜二直观图是一个底为，腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：原图形是上底为，下底为，高为的直角梯形．∴．‎ 考点：斜二测法．‎ ‎15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ‎ 所以根据奇函数作函数图，由图得 ‎ ‎16. 已知函数，函数有四个不同的零点，，，‎ - 13 -‎ 且满足，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作函数图，由图得 ，所以 ‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设集合为函数的定义域，集合为函数的值域．‎ 求：（1）与；（2）‎ ‎【答案】（1）,．(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据真数大于零得函数定义域，求得A；再根据基本不等式求函数值域得B,最后根据数轴求集合交与并（2）先求B的补集，再利用数轴求交集 试题解析：解：（1）由已知解得：，，则，．‎ ‎（2）‎ - 13 -‎ ‎18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，分别是，的中点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析 (2) 见解析 ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，利用平几知识得是平行四边形，再根据，利用线面平行判定定理证明结论（2）先根据等腰三角形性质得，再根据线面垂直得，由线面垂直判定定理得面，最后根据线线平行得面，由面面垂直判定定理得结论 试题解析：证明：（Ⅰ）取的中点，连结、‎ ‎∴为的中位线，，．‎ ‎∵四边形为矩形，为的中点，∴，．‎ ‎∴，，∴四边形 是平行四边形，‎ ‎∴又平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（Ⅱ）∵，∴‎ 平面，∴，‎ 又因为，，∴面 由（Ⅰ）得，∴面 又平面，∴平面平面．‎ ‎19. 信息科技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少．某银行现有职员人，平均每人每年可创利万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员人，则留岗职员每人每年多创利万元，但银行需付下岗职员每人每年 - 13 -‎ 万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得少于现有职员的，为使裁员后获得的经济效益最大，该银行裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？‎ ‎【答案】银行应裁员人时，所获经济效益最大为万元.‎ 试题解析：‎ 设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，‎ 由题意：，又且，‎ 因为对称轴：，‎ 所以函数在[0,80]单调递增，所以时，即银行裁员人，所获得经济效益最大为8160万元，‎ 答：银行应裁员80人时，所获经济效益最大为8160万元.‎ ‎20. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，．‎ ‎（1）证明：平面．‎ ‎（2）试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析 (2) 四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，． （3）4‎ - 13 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证平面，需在平面内找到两条相交的直线都与垂直，即证，即可；（2）根据锥体的体积公式表示出，，再利用之间的长度关系即可求得．‎ 试题解析：（1）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面平面，所以，又因为，点是的中点，所以，而，所以平面.由平面，平面可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是.‎ ‎（2）由已知，是阳马的高，所以；由（1）知：是鳖臑的高，，所以 在中，因为，点是的中点，所以，于是 考点：1、线面垂直的判定；2、柱锥台体的体积公式．‎ ‎【方法点睛】要判断一条直线与一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直；因此证明线面垂直的问题，应转化为先证明线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：①勾股定理的逆定理（已知长度），②等腰三角形的三线合一，③利用线面垂直的性质，④正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直．本题主要考查的是线面垂直的判定和性质，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎21. 已知函数，函数 - 13 -‎ ‎（1）若的定义域为，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求函数的最小值；‎ ‎（3）是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．‎ ‎【答案】（1） (2) （3）存在，满足题意 ‎【解析】试题分析：对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进行分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．‎ 试题解析：⑴定义域为．‎ 所以对一切成立． ……………………1分 当时，不可能对一切成立． ……………………2分 所以，即解得．‎ 综上． ……………………4分 ‎⑵，‎ 令，‎ 所以……………………5分 当时，． ……………………6分 当时，． ……………………7分 当时，． ……………………8分 所以……………………9分 ‎⑶在上是增函数，‎ - 13 -‎ 若存在非负实数、满足题意，则，………………………………10分 即、是方程的两非负实根，且，‎ 所以．‎ 即存在满足题意………………………………12分．‎ 考点：1、函数的定义域、值域；2、函数的单调性；3分段函数；4、函数与方程及分类讨论的思想．‎ ‎【方法点晴】本题是一个关于函数的定义域、值域、函数的单调性、分段函数、函数与方程及分类讨论的思想方法方面的综合性问题，属于难题．解决本题的基本思路及切入点是，对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进行分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．‎ ‎22. 已知函数，（）是偶函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由偶函数得，根据对数运算法则化简得的值；（2）化简方程得关于一元二次方程，先讨论时，是否满足条件，再根据实根分布讨论的取值范围．本题也可利用参变分离法，转化为讨论函数交点个数.‎ 试题解析：解：（1）∵（）是偶函数，‎ ‎∴对任意，恒成立 即：恒成立，∴‎ ‎（2）由于，所以定义域为，也就是满足 ‎∵函数与的图象有且只有一个交点，‎ ‎∴方程在上只有一解 ‎ - 13 -‎ 即：方程在上只有一解 ‎ 令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解 当时，解得，不合题意；‎ 当时，记，其图象的对称轴 ‎∴函数在上递减，而 ‎∴方程（*）在无解 当时，记，其图象的对称轴 所以，只需，即，此恒成立 ‎∴此时的范围为 综上所述，所求的取值范围为 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎ ‎ - 13 -‎