【数学】2020届一轮复习北师大版 选讲部分 （文）作业 23页

‎2020届一轮复习北师大版 选讲部分 （文）作业 一、解答题 ‎1．【2018广东惠州高三4月模拟】选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为．‎ ‎（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；‎ ‎（2）， 为曲线上的两点，且，求△的面积最大值．‎ ‎【答案】(1)a=1;(2)见解析.‎ 试题解析：（1）由题意可得曲线是以为圆心，以为半径的圆； ‎ 直线的直角坐标方程为. ‎ 由直线与圆只有一个公共点，则可得. ‎ ‎∴（舍）或 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）法一：由题意，曲线的极坐标方程为.‎ 设的极角为， 的极角为，则： ‎ ‎∵ ‎ ‎∴当时， 取得最大值为. ‎ ‎∴的面积最大值为． ‎ ‎2．【2018河南郑州高三二模】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为 (为参数).‎ ‎(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；‎ ‎(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线 交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) .‎ 试题解析：(Ⅰ)由直线过点可得，故，‎ 则易得直线的直角坐标方程为 根据点到直线的距离方程可得曲线上的点到直线的距离 ‎，‎ ‎(Ⅱ)由（1）知直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（为参数）.‎ 又易知曲线的普通方程为.‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通方程可得，‎ ‎，依据参数的几何意义可知.‎ ‎【点睛】‎ 由直角坐标与极坐标互换公式实现普通方程与极坐标方程互化。‎ 直线过定点P，倾斜角为，的标准参数方程， 的几何意义是，直线上动点Q与定点P的距离，即。#‎ ‎3．【2018吉林吉林高三三调】选修4 — 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．‎ ‎（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线与曲线相交于两点，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ 试题解析：‎ ‎（1）将（为参数）消去参数可得,‎ ‎∴直线的普通方程为. ‎ ‎ 由，得，‎ 将代入上式，得，‎ 即，‎ ‎ ∴曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎ ∴，即 ，‎ 解得，符合题意．‎ ‎∴．‎ ‎4．【2018湖南衡阳高三二模】已知直线的参数方程为 (其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.‎ ‎(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为: ‎ 由点在曲线的内部， ,‎ 求得实数m的取值范围为.‎ ‎(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得 设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，‎ 则直线截得曲线的弦长为： .‎ 即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.‎ ‎6．【2018黑龙江大庆高三二模】选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.‎ ‎ (I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;‎ ‎ (Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）圆的极坐标方程为， 的平面直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为， ，‎ ‎∵圆的普通方程为，‎ ‎∴把代入方程得， ，‎ ‎∴的极坐标方程为， 的平面直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得； ， .‎ ‎∴的面积为 ‎∴的面积为.‎ ‎7．【2018贵州高三适应性考试】[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）过原点作直线，使与， 分别相交于点， （， 与点均不重合），求的最大值.‎ ‎【答案】(1) 和.(2)4.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 联立，解得或.‎ 所以与交点的直角坐标为和.‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为.‎ 设直线的极坐标方程为.‎ 则点的极坐标为，点的极坐标为.‎ 所以 ‎.‎ 当时， 取得最大值，最大值是4.此时， ， 与点均不重合.‎ ‎8．【2018广东惠州高三4月模拟】选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点， ‎ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为．‎ ‎（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；‎ ‎（2）， 为曲线上的两点，且，求△的面积最大值．‎ ‎【答案】(1)a=1;(2)见解析.‎ 试题解析：（1）由题意可得曲线是以为圆心，以为半径的圆； ‎ 直线的直角坐标方程为. ‎ 由直线与圆只有一个公共点，则可得. ‎ ‎∴（舍）或 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）法一：由题意，曲线的极坐标方程为.‎ 设的极角为， 的极角为，则： ‎ ‎∵ ‎ ‎∴当时， 取得最大值为. ‎ ‎∴的面积最大值为． ‎ 法二：∵曲线是以为圆心，以为半径的圆，且.‎ ‎∴由正弦定理得： ，即.‎ ‎∴由余弦定理得： ，则： ，当且仅当时取等号．‎ ‎∴的面积最大值为．‎ ‎9．【2018陕西咸阳高三二模】在平面直角坐标系中，曲线的方程是： ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设过原点的直线与曲线交于， 两点，且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 法3：设直线： ，与圆的方程联立，结合圆锥曲线的弦长公式可得直线的斜率为.‎ 法4：设直线： ，结合弦长公式可得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式解方程可得直线的斜率为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线： ，即，‎ 将， 代入得 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）法1：由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，‎ 如图，在中，易得，可知 直线的斜率为.‎ 法2：设直线： （为参数），代入中得，整理得，‎ 由得，即，‎ 解得，从而得直线的斜率为.‎ 法3：设直线： ，代入中得 ‎，即，‎ 由得，即，‎ 解得直线的斜率为.‎ 法4：设直线： ，则圆心到直线的距离为，‎ 由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，‎ 所以，解得直线的斜率为. …‎ ‎10．【2018湖南衡阳高三二模】已知直线的参数方程为 (其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.‎ ‎(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为: ‎ 由点在曲线的内部， ,‎ 求得实数m的取值范围为.‎ ‎(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得 设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，‎ 则直线截得曲线的弦长为： .‎ 即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.‎ ‎11．【2018陕西咸阳高三一模】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线过点且倾斜角为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点A,B，求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)7.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线，‎ 所以，即，‎ 得曲线的直线坐标方程为，‎ 直线的参数方程为为参数）.‎ ‎（2）将为参数）代入圆的方程，得，‎ 整理得，所以.‎ ‎12．【2018安徽宣城高三二调】选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是.以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ 试题解析：（1）由得 ‎∵， ， ，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）将代入圆的方程，化简得.‎ 设两点对应的参数分别为、，则 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即或.‎ ‎13．【2018广东高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当，时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当，时，的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 不等式等价于 或 或 解得或，即.所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由题设可得，‎ 所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.‎ 所以三角形的面积为.‎ 由题设知，，解得.‎ 点睛：求解含两个绝对值的不等式时，往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数对应的不等式组进行求解.%‎ ‎14．【2018安徽安庆高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析. ‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，.‎ 由，得，所以. ‎ 当时，.‎ 由，得，所以 ‎ 综上可知，. ‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以，， 即，. ‎ 所以 ‎，故.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎15．【2018湖南益阳高三4月调研】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 试题解析：（1）当时，.‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）由，得.‎ 令 作出的图象如图所示，‎ 由题意知的图象恒在函数的图象的下方.‎ 由图象可知，当经过点时，解得或.‎ 当时，的图象经过点，显然不成立；‎ 当时，的图象经过点，成立，‎ 所以，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎16．【2018东莞高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知，且对任意的恒成立.‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若正实数满足，求证.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.‎ 试题解析： (Ⅰ),‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)依题意，.‎ 要证，即证,‎ 即证,‎ 即证，此式显然成立，∴原不等式成立.‎ ‎17．【2018黑龙江大庆高三质检二】选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时,不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式的解集；（Ⅱ）当时，，设，求出在上的最大值，即可求得实数的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知，需解不等式.‎ 当时，上式化为，解得；‎ 当时，上式化为，无解；‎ 当时，①式化为，解得.‎ ‎∴的解集为或.‎ ‎（Ⅱ）当时，，则当，恒成立.‎ 设，则在上的最大值为.‎ ‎∴，即，得.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎18．【2018陕西咸阳高三二模】已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）设，且，求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎（2）法1：由题意可知 .当且仅当， ， 时取等号，题中的命题得证.‎ 法2：由题意结合柯西不等式有 ，即，命题得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）法1：由知，即.‎ 法2：由三角不等式得，即.‎ 法3：由绝对值不等式的几何意义知，即.‎ ‎（2）法1：∵，‎ ‎∴ ‎ ‎ .‎ 当且仅当，即， ， 时取等号，‎ 即.‎ 法2：∵，‎ ‎∴由柯西不等式得 ，‎ 整理得，‎ 当且仅当，即， ， 时取等号.‎ 点睛：绝对值不等式的解法： ‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎19．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（I）当时，解不等式；‎ ‎（II）若的解集为， （， ），求证： .‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 试题解析：‎ ‎（I）当时，不等式化为 ‎∵‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（II）根据得 ‎ ‎∵的解集为故，所以，‎ ‎∵， ‎ ‎∴，‎ 当且仅当， 时取等号 ‎∴‎ ‎20．【2018江西高三质监】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值为2，求的值；‎ ‎（2）若对， ，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） ，‎ 当且仅当取介于和之间的数时，等号成立， ‎ 故的最小值为， ； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，‎ 故，使成立， ‎ 即 ， ， . ‎ ‎21．【2018海南高三二模】[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：‎ 解：（1）因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 因为不等式的解集为，‎ 所以，解得.‎ ‎（2）由（1）得.不等式恒成立，‎ 只需，‎ 所以，即，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎22．【2018河南商丘高三二模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）依题意， ‎ 故不等式的解集为. ‎ ‎（2）由（1）可得，当时，取最小值， ‎ 对于恒成立，‎ ‎∴，即， ‎ ‎∴，解之得，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎23．【2018安徽宣城高三二调】选修4-5：不等式选讲 设函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（2）利用零点分段求得的最小值，结合题意即可求得实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）‎ 当时，显然不成立 当时，平方得： ‎ 综上： ‎ ‎（2）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于.‎ ‎∴，则